Tocmai am discutat despre viteza unghiulară pentru mișcarea circulară uniformă, dar nu toate mișcările sunt uniforme. Imaginați-vă un patinator care se învârte cu brațele întinse – când își trage brațele spre interior, viteza lui unghiulară crește. Sau gândiți-vă la un hard disk al computerului care încetinește până la oprire pe măsură ce viteza unghiulară scade. Vom explora aceste situații mai târziu, dar putem deja să vedem necesitatea de a defini o accelerație unghiulară pentru a descrie situațiile în care ω se modifică. Cu cât variația lui ω este mai rapidă, cu atât accelerația unghiulară este mai mare. Definim accelerația unghiulară instantanee α ca fiind derivata vitezei unghiulare în raport cu timpul:
| 10.6 α = limΔt→0Δω/Δt = dω/dt = d2θ/dt2, |
unde am luat limita accelerației unghiulare medii, α– = Δω/Δt cu Δt→0.
Unitățile de măsură ale accelerației unghiulare sunt (rad/s)/s sau rad/s2.
În același mod în care am definit vectorul asociat cu viteza unghiulară ω⃗ , putem defini α⃗, vectorul asociat cu accelerația unghiulară (Figura 10.7). Dacă viteza unghiulară este de-a lungul axei z pozitive, ca în figura 10.5, și dω/dt este pozitivă, atunci accelerația unghiulară α⃗ este pozitivă și este direcționată de-a lungul axei +z. În mod similar, dacă viteza unghiulară ω⃗ este de-a lungul axei z pozitive și dω/dt este negativă, atunci accelerația unghiulară este negativă și este direcționată de-a lungul axei –z.
Figura 10.7 Rotația este în sens invers acelor de ceasornic atât în (a) cât și în (b) cu viteza unghiulară în aceeași direcție. (a) Accelerația unghiulară este în aceeași direcție cu viteza unghiulară, ceea ce crește viteza de rotație. (b) Accelerația unghiulară este în direcția opusă vitezei unghiulare, ceea ce scade viteza de rotație.
Putem exprima vectorul de accelerație tangențială ca un produs încrucișat al accelerației unghiulare și al vectorului de poziție. Această expresie poate fi găsită luând derivata în timp a lui v⃗ =ω⃗ ×r⃗ și este lăsată ca exercițiu:
(10.7) a⃗ = α⃗ × r⃗ .
Relațiile vectoriale pentru accelerația unghiulară și accelerația tangențială sunt prezentate în Figura 10.8.
Figura 10.8 (a) Accelerația unghiulară este în direcția z pozitivă și produce o accelerație tangențială în sens invers acelor de ceasornic. (b) Accelerația unghiulară este în direcția z negativă și produce o accelerație tangențială în sensul acelor de ceasornic.
Putem raporta accelerația tangențială a unui punct de pe un corp în rotație la o distanță de axa de rotație în același mod în care am raportat viteza tangențială la viteza unghiulară. Dacă diferențiem ecuația 10.4 în funcție de timp, observând că raza r este constantă, obținem
(10.8) at = rα.
Astfel, accelerația tangențială at este raza înmulțită cu accelerația unghiulară. Ecuația 10.4 și ecuația 10.8 sunt importante pentru discuția despre mișcarea de rulare (vezi Momentul unghiular).
Să aplicăm aceste idei la analiza câtorva scenarii simple de rotație cu axă fixă. Înainte de a face acest lucru, prezentăm o strategie de rezolvare a problemelor care poate fi aplicată cinematicii rotaționale: descrierea mișcării de rotație.
| STRATEGIA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
Cinematica rotațională 1. Examinați situația pentru a determina dacă este implicată cinematica de rotație (mișcarea de rotație). 2. Identificați exact ceea ce trebuie determinat în problemă (identificați necunoscutele). O schiță a situației este utilă. 3. Faceți o listă completă a ceea ce este dat sau poate fi dedus din problema așa cum a fost menționată (identificați datele cunoscute). 4. Rezolvați ecuația sau ecuațiile potrivite pentru mărimea de determinat (necunoscuta). Poate fi util să gândiți în termenii unui analog de translație, deoarece până acum sunteți familiarizat cu ecuațiile mișcării de translație. 5. Înlocuiți valorile cunoscute împreună cu unitățile lor în ecuația corespunzătoare și obțineți soluții numerice complete cu unități. Asigurați-vă că utilizați unități de radiani pentru unghiuri. 6. Verificați răspunsul pentru a vedea dacă este rezonabil: are sens răspunsul tău? |
Acum să aplicăm această strategie de rezolvare a problemelor la câteva exemple specifice.
| EXEMPLUL 10.2
O roată de bicicletă care se învârte Un mecanic de biciclete montează o bicicletă pe suportul de reparații și pornește roata din spate să se rotească din repaus până la o viteză unghiulară finală de 250 rpm în 5,00 s. (a) Calculați accelerația unghiulară medie în rad/s2. (b) Dacă acum pune frâna, provocând o accelerație unghiulară de -87,3 rad/s2, cât timp durează până când roata se va opri? Strategie Accelerația unghiulară medie poate fi găsită direct din definiția sa α– = Δω/Δt deoarece sunt date viteza unghiulară și timpul final. Vedem că Δω = ωfinal – ωinițial = 250 rev/min și Δt este 5,00 s. Pentru partea (b), cunoaștem accelerația unghiulară și viteza unghiulară inițială. Putem găsi timpul de oprire utilizând definiția accelerației unghiulare medii și rezolvând pentru Δt, rezultând Δt = Δω/α. Soluție A. Introducând informații cunoscute în definiția accelerației unghiulare, obținem α– = Δω/Δt = 250 rpm/5.00 s. Deoarece Δω este în rotații pe minut (rpm) și dorim unitățile standard de rad/s2 pentru accelerația unghiulară, trebuie să convertim de la rpm la rad/s: Δω = 250 rev/min⋅2π rad/rev⋅1 min/60 s = 26,2 radiani. Introducând această cantitate în expresia pentru α, obținem α = Δω/Δt = 26,2 rad/s/5,00 s = 5,24 rad/s2. b. Aici viteza unghiulară scade de la 26,2 rad/s (250 rpm) la zero, astfel încât Δω este -26,2 rad/s, iar α este dat ca fiind –87,3 rad/s2. Prin urmare, Δt = −26,2 rad/s/−87,3 rad/s2 = 0,300 s. Semnificație Rețineți că accelerația unghiulară pe măsură ce mecanicul învârte roata este mică și pozitivă; este nevoie de 5 s pentru a produce o viteză unghiulară apreciabilă. Când el începe să frâneze, accelerația unghiulară este mare și negativă. Viteza unghiulară ajunge rapid la zero. |
| EXERCIȚIUL 10.1
Paletele ventilatorului unui motor cu reacție turboventilator (prezentat mai jos) accelerează de la repaus până la o rată de rotație de 40,0 r/s în 20 s. Creșterea vitezei unghiulare a ventilatorului este constantă în timp. (Motorul turboventilator GE90-110B1 montat pe un Boeing 777, așa cum se arată, este în prezent cel mai mare motor turboventilator din lume, capabil de tracțiuni de 330-510 kN.) (a) Care este accelerația unghiulară medie? (b) Care este accelerația unghiulară instantanee în orice moment în primele 20 de secunde?
|
| EXEMPLUL 10.3
Turbină eoliană O turbină eoliană (Figura 10.10) dintr-un parc eolian este oprită pentru întreținere. Este nevoie de 30 s pentru ca turbina să treacă de la viteza unghiulară de funcționare la o oprire completă în care funcția viteză unghiulară este ω(t) = [(ts−1 − 30,0)2/100,0] rad/s. Dacă turbina se rotește în sens invers acelor de ceasornic privind în pagină, (a) care sunt direcțiile vectorilor viteză unghiulară și accelerație? (b) Care este accelerația unghiulară medie? (c) Care este accelerația unghiulară instantanee la t = 0,0, 15,0, 30,0 s?
Strategie a. Ni se oferă sensul de rotație al turbinei, care este în sens invers acelor de ceasornic în planul paginii. Folosind regula mâinii drepte (Figura 10.5), putem stabili direcțiile vectorilor viteză unghiulară și accelerație. b. Calculăm vitezele unghiulare inițiale și finale pentru a obține accelerația unghiulară medie. Stabilim semnul accelerației unghiulare din rezultatele din (a). c. Ni se dă forma funcțională a vitezei unghiulare, deci putem găsi forma funcțională a funcției de accelerație unghiulară luând derivata acesteia în raport cu timpul. Soluție a. Deoarece turbina se rotește în sens invers acelor de ceasornic, viteza unghiulară ω⃗ indică în afara paginii. Dar, deoarece viteza unghiulară este în scădere, accelerația unghiulară α⃗ indică în pagină, în sens opus vitezei unghiulare. b. Viteza unghiulară inițială a turbinei, setarea t = 0, este ω = 9,0 rad/s. Viteza unghiulară finală este zero, deci accelerația unghiulară medie este α– = Δω/Δt = (ω − ω0)/(t − t0) = (0 – 9, 0 rad/s)/(30,0 – 0 s) = −0,3 rad/s2. c. Luând derivata vitezei unghiulare în raport cu timp, rezultă α = dω/dt = (t − 30.0)/50,0 rad/s2 α(0,0 s) = −0,6 rad/s2, α(15,0 s) = −0,3 rad/s2 și α(30,0 s) = 0 rad/s. Semnificație Din calculele din (a) și (b) am constatat că accelerația unghiulară α și accelerația unghiulară medie α– sunt negative. Turbina are o accelerație unghiulară în sens opus vitezei sale unghiulare. Acum avem un vocabular de bază pentru a discuta cinematica rotațională cu axă fixă și relațiile dintre variabilele de rotație. Discutăm mai multe definiții și conexiuni în secțiunea următoare. |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu
© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Lasă un răspuns