Home » Articole » Articole » Știință » Matematica » Matematica interferenței undelor

Matematica interferenței undelor

Figura 3.7(a) arată cum se determină diferența de lungime a căii Δl pentru undele care călătoresc de la două fante la un punct comun pe un ecran. Dacă ecranul este la o distanță mare în comparație cu distanța dintre fante, atunci unghiul θ dintre cale și o linie de la fante la ecran [partea (b)] este aproape același pentru fiecare cale. Cu alte cuvinte, r1 și r2 sunt în esență paralele. Lungimile lui r1 și r2 diferă prin Δl, așa cum este indicat de cele două linii întrerupte din figură. Trigonometria simplă arată

(3.3)   Δl = dsinθ

unde d este distanța dintre fante. Combinând acest rezultat cu ecuația 3.1, obținem interferență constructivă pentru o fantă dublă atunci când diferența de lungime a căii este un multiplu integral al lungimii de undă, sau

(3.4)   dsinθ = mλ, pentru m = 0, ±1, ±2, ±3,… (interferență constructivă).

În mod similar, pentru a obține interferență distructivă pentru o fantă dublă, diferența de lungime a căii trebuie să fie un multiplu semi-integral al lungimii de undă sau

(3.5)   dsinθ = (m + 1/2)λ, pentru m = 0, ±1, ±2, ±3,… (interferență distructivă)

unde λ este lungimea de undă a luminii, d este distanța dintre fante și θ este unghiul față de direcția inițială a fasciculului, așa cum s-a discutat mai sus. Numim m ordinea interferenței. De exemplu, m = 4 este interferența de ordinul al patrulea.

Interferența undelor

Figura 3.7 (a) Pentru a ajunge la P, undele luminoase de la S1 și S2 trebuie să parcurgă distanțe diferite. (b) Diferența de cale dintre cele două raze este Δl.

Ecuațiile pentru interferența cu fantă dublă implică faptul că se formează o serie de linii luminoase și întunecate. Pentru fante verticale, lumina se extinde orizontal de fiecare parte a fasciculului incident într-un model numit franjuri de interferență (Figura 3.8). Cu cât fantele sunt mai apropiate, cu atât franjurile strălucitoare se despart. Putem vedea acest lucru examinând ecuația

dsinθ = mλ, pentru m = 0, ±1, ±2, ±3…. Pentru λ și m fixe, cu cât d este mai mic, cu atât θ trebuie să fie mai mare, deoarece sinθ = mλ/d. Acest lucru este în concordanță cu afirmația noastră că efectele undelor sunt cele mai vizibile atunci când obiectul pe care unda îl întâlnește (aici, fante la o distanță d) este mic. d mic dă θ mare, prin urmare, un efect mare.

Referindu-ne la partea (a) a figurii, θ este de obicei suficient de mic încât sinθ ≈ tanθ ≈ ym/D, unde ym este distanța de la maximul central până la a m-a franjură luminoasă și D este distanța dintre fantă și ecran . Ecuația 3.4 poate fi apoi scrisă ca

d ym/D = mλ

sau

(3.6)   ym = mλD/d.

Interferența undelor

Figura 3.8 Modelul de interferență pentru o fantă dublă are o intensitate care scade odată cu unghiul. Imaginea prezintă mai multe linii luminoase și întunecate, sau franjuri, formate de lumina care trece printr-o fantă dublă.

EXEMPLUL 3.1

Găsirea unei lungimi de undă dintr-un model de interferență

Să presupunem că treceți lumina de la un laser He-Ne prin două fante separate de 0,0100 mm și găsiți că a treia linie strălucitoare de pe un ecran este formată la un unghi de 10,95° față de fasciculul incident. Care este lungimea de undă a luminii?

Strategie

Fenomenul este interferența cu două fante, așa cum este ilustrat în Figura 3.8, iar a treia linie strălucitoare se datorează interferenței constructive de ordinul trei, ceea ce înseamnă că m = 3. Ni se da d = 0,0100 mm și θ = 10,95°. Lungimea de undă poate fi astfel găsită folosind ecuația dsinθ = mλ pentru interferența constructivă.

Soluție

Rezolvând dsinθ = mλ pentru lungimea de undă λ

λ = dsinθ/m.

Înlocuirea valorilor cunoscute are ca rezultat

λ = (0,0100 mm)(sin10,95°)/3 = 6,33 × 10−4 mm = 633 nm.

Semnificație

La trei cifre, aceasta este lungimea de undă a luminii emise de laserul comun He-Ne. Nu întâmplător, această culoare roșie este similară cu cea emisă de luminile de neon. Totuși, mai important este faptul că modelele de interferență pot fi utilizate pentru a măsura lungimea de undă. Young a făcut asta pentru lungimi de undă vizibile. Această tehnică analitică este încă utilizată pe scară largă pentru măsurarea spectrelor electromagnetice. Pentru un anumit ordin, unghiul pentru interferența constructivă crește cu λ, astfel încât să se poată obține spectre (măsurători de intensitate în funcție de lungimea de undă).

 

EXEMPLUL 3.2

Calculul celui mai mare ordin posibil

Modelele de interferență nu au un număr infinit de linii, deoarece există o limită la cât de mare poate fi m. Care este interferența constructivă de ordinul cel mai înalt posibil cu sistemul descris în exemplul precedent?

Strategie

Ecuația dsinθ = mλ (pentru m = 0, ±1, ±2, ±3…) descrie interferența constructivă din două fante. Pentru valori fixe ale lui d și λ, cu cât m este mai mare, cu atât sinθ este mai mare. Cu toate acestea, valoarea maximă pe care o poate avea sinθ este 1, pentru un unghi de 90°. (Unghiurile mai mari implică faptul că lumina merge înapoi și nu ajunge deloc pe ecran.) Să aflăm ce valoare a lui m corespunde acestui unghi maxim de difracție.

Soluție

Rezolvând ecuația dsinθ = mλ pentru m

m = dsinθ/λ.

Luând sinθ = 1 și înlocuind valorile lui d și λ din exemplul precedent dă

m = (0,0100 mm)(1)/633 nm ≈ 15,8.

Prin urmare, cel mai mare număr întreg m poate fi 15, sau m = 15.

Semnificație

Numărul de franjuri depinde de lungimea de undă și de separarea fantei. Numărul de franjuri este foarte mare pentru separări mari de fante. Totuși, amintiți-vă (vezi Propagarea luminii și Introducerea pentru acest capitol) că interferența undelor este proeminentă numai atunci când unda interacționează cu obiecte care nu sunt mari în comparație cu lungimea de undă. Prin urmare, dacă separarea fantelor și dimensiunile fantelor devin mult mai mari decât lungimea de undă, modelul de intensitate al luminii de pe ecran se schimbă, așa că există doar două linii luminoase permise de fante, așa cum era de așteptat, atunci când lumina se comportă ca razele. De asemenea, remarcăm că franjurile devin mai slabe mai departe de centru. În consecință, nu toate cele 15 franjuri pot fi observabile.

 

EXERCIȚIUL 3.1

În sistemul folosit în exemplele precedente, la ce unghi se formează prima și a doua franjură strălucitoare?

Răspuns

 

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2021 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Electricitate și magnetism - Electromagnetism fenomenologic
Electricitate și magnetism – Electromagnetism fenomenologic

O introducere în lumea electricității și a magnetismului, explicată în principal fenomenologic, cu ajutorul unui aparat matematic minimal, și cu exemple și aplicații din viața reală. O prezentare compactă, clară și precisă a unui domeniu care reprezintă o parte importantă … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4.99$8.81 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *