Structura cauzală și geometria globală în relativitatea generală

(Diagrama Penrose-Carter a unui univers Minkowski infinit)

În fizica modernă (în special în relativitatea generală) spațiu-timpul este reprezentat de o varietate lorentziană. Relațiile cauzale dintre punctele din varietate sunt interpretate ca descriind care evenimente în spațiu-timp pot influența celelalte evenimente.

Spațiu-timpul Minkowski este un exemplu simplu de varietate lorentziană. Relațiile cauzale dintre punctele din spațiu-timpul Minkowski iau o formă deosebit de simplă, deoarece spațiul este plat.

Structura cauzală a unei varietăți arbitrare (posibil curbată) lorentziană este complicată de prezența curburii. Discuțiile despre structura cauzală pentru astfel de varietăți trebuie să fie formulate în termeni de curbe netede care unesc perechi de puncte. Condițiile pentru vectorii tangenți ai curbelor definesc apoi relațiile de cauzalitate.

Vectori tangenți

Dacă (M, g) este o varietate lorentziană (pentru metrica g pe varietatea M) atunci vectorii tangenți la fiecare punct al varietății pot fi clasificați în trei tipuri diferite. Un vector tangent X este

temporal dacă g(X, X) < 0
nul sau de lumină dacă g(X, X) = 0
spațial dacă g(X, X) > 0

(Aici folosim semnătura metrică (-, +, +, +, …). Un vector tangent este numit „non-spațial” dacă este nul sau temporal.

Aceste denumiri provin din cazul mai simplu al spațiu-timpului Minkowski.

Orientabilitate temporală

În fiecare punct al lui M, vectorii tangenți temporali în spațiul tangent al punctului pot fi împărțiți în două clase. Pentru a face acest lucru, definim mai întâi o relație de echivalență pe perechi de vectori tangenți temporali.

Dacă X și Y sunt doi vectori temporali tangenți într-un punct, spunem că X și Y sunt echivalenți (scris X ~ Y) dacă g(X, Y) < 0.

Există apoi două clase de echivalență care între ele conțin toți vectorii tangenți temporali în acest punct. Putem (arbitrar) să numim una dintre aceste clase de echivalență „direcționată în viitor” și să numim cealaltă „direcționată întrecut”. Din punct de vedere fizic, această desemnare a celor două clase de vectori temporali direcționați în viitor și în trecut corespunde cu alegerea unei săgeți a timpului în acest punct. Denumirile direcționat în viitor și în trecut pot fi extinse la vectori nuli într-un punct prin continuitate.

O varietate Lorentziană este orientabilă temporal [1] dacă se poate face o desemnare continuă a vectorilor direcționați spre viitor și direcționați spre trecut pentru vectori non-spațiali, pe întreaga varietate.

Curbe

O cale în M este o hartă continuă μ : Σ → M unde Σ este un interval nedegenerat (adică un set conectat care conține mai mult de un punct) în ℝ. O cale netedă are μ diferențiabil de un ordin adecvat (de obicei C^∞) și o cale obișnuită are o derivată care nu dispare.

O curbă în M este imaginea unei căi sau, mai corect, o clasă de echivalență a imaginilor de cale legate de re-parametrizare, adică homeomorfisme sau diffeomorfisme ale lui Σ. Când M este orientabil temporal, curba este orientată dacă modificarea parametrilor trebuie să fie monotonică.

Curbele (sau căile) netede obișnuite în M pot fi clasificate în funcție de vectorii lor tangenți. O astfel de curbă este

cronologică (sau temporală) dacă vectorul tangent este temporal în toate punctele din curbă.
nulă dacă vectorul tangent este nul în toate punctele din curbă.
spațială dacă vectorul tangent este spațial în toate punctele din curbă.
cauzală (sau non-spațială) dacă vectorul tangent este temporal sau nul în toate punctele din curbă.

Cerințele de regularitate și nondegenerare a lui Σ asigură că curbele de cauzalitate închise (cum ar fi cele formate dintr-un singur punct) nu sunt admise în mod automat de toate spațiu-timpurile.

Dacă varietatea este orientabilă temporal, atunci curbele non-spațiale pot fi mai departe clasificate în funcție de orientarea lor în funcție de timp.

O curbă cronologică, nulă sau cauzală în M este

direcționată în viitor dacă, pentru fiecare punct al curbei, vectorul tangent este orientat spre viitor.
direcționată în trecut dacă, pentru fiecare punct al curbei, vectorul tangent este orientat spre trecut.

Aceste definiții se aplică doar curbelor cauzale (cronologice sau nule), deoarece numai vectorilor tangenți temporali sau nuli li se poate atribui o orientare în funcție de timp.

O curbă temporală închisă este o curbă închisă, care este peste tot direcționată temporal spre viitor (sau peste tot direcționată temporal spre trecut).
O curbă nulă închisă este o curbă închisă care este peste tot nulă direcționată spre viitor (sau peste tot nulă direcționată spre trecut).
Holonomia raportului dintre rata de schimbare a parametrului afin în jurul unui geodezice nulă închisă este factorul de deplasare spre roșu.

Relații cauzale

Există două tipuri de relații cauzale între punctele x și y în varietatea M.

x precede cronologic y (adesea denotat x « y) dacă există o curbă cronologică (temporală) direcționată în viitor de la x la y.
x precede strict cauzal y (adesea denotat x < y) dacă există o curbă cauzală (non-spațială) direcționată în viitor de la x la y.
x precede cauzal y (adesea denotat x ≤ y) dacă x precede strict cauzal y sau x = y.
x horismos (con lumină) y [2] (adesea denotat x → y) dacă x precede cauzal y și x nu precede cronologic y.

Aceste relații sunt tranzitive: [3]

x « y, y « z implică x « z
x ≤ y, y ≤ z implică x ≤ z

și satisfac [3]

x « y implică x ≤ y (aceasta rezultă trivial din definiție)
x « y, y ≤ z implică x « z
x ≤ y, y « z implică x « z

Pentru un punct x în varietatea M definim [3]

Viitorul cronologic al lui x, numit I⁺(x), ca setul tuturor punctelor y în M astfel încât x precede cronologic y:I⁺(x) = {y ϵ M | x « y}
Trecutul cronologic al lui x, numit I^–(x), ca setul tuturor punctelor y în M astfel încât y precede cronologic x:I^–(x) = {y ϵ M | y « x}

Definim în mod similar

Viitorul cauzal (numit și viitorul absolut) al lui x, denotat J⁺(x), ca setul tuturor punctelor y în M, astfel încât x precede cauzal y:J⁺(x) = {y ϵ M | x ≤ y}
Trecutul cauzal (numit și trecutul absolut) al lui x, denotat J^–(x), ca setul tuturor punctelor y în M, astfel încât y precede cauzal x:J^–(x) = {y ϵ M | y ≤ x}

Punctele conținute în I⁺(x), de exemplu, pot fi obținute din x printr-o curbă temporală direcționată spre viitor. Punctul x poate fi atins, de exemplu, din punctele conținute în J^–(x) printr-o curbă non-spațială direcționată spre viitor.

Ca un exemplu simplu, în spatiu-timpul Minkowski setul I⁺(x) este interiorul conului de lumină viitor la x. Setul J⁺(x) este conul de lumină viitor la x, inclusiv conul în sine.

Aceste seturi I⁺(x), I^–(x), J⁺(x), J^–(x) definite pentru toate x în M, sunt colectiv numite structura cauzală a lui M.

Pentru S un subset al lui M definim [3]

I^±(S) = ∪_x_ϵ_S I^±(x)

J^±(S) = ∪_x_ϵ_S J^±(x)

Pentru S, T două subseturi ale lui M, se definesc

Viitorul cronologic al lui S relativ la T, I⁺(S;T), este viitorul cronologic al lui S considerat ca o subvarietate a lui T. Rețineți că acesta este un concept destul de diferit de I⁺(S) ∩ T care dă setul de puncte în T care poate fi atins de curbele direcționate în viitor începând cu S. În primul caz curbele trebuie să fie situate în T, în cel de-al doilea caz în care nu trebuie să fie situate în T. Vezi Hawking și Ellis.
Viitorul cauzal al S în relație cu T, J⁺(S;T), este viitorul cauzal al lui S considerat ca o subvarietate a lui T. Rețineți că acesta este un concept destul de diferit de J⁺(S) ∩ T care dă setul de puncte în T care poate fi atins de curbele de cauzalitate direcționate în viitor începând de la S. În primul caz curbele trebuie să fie situate în T în cel de-al doilea caz în care nu trebuie să fie situate în T. Vezi Hawking și Ellis.
Un set viitor este un set închis sub viitor cronologic.
Un set trecut este un set închis sub trecut cronologic.
Un set trecut indecompozabil este un set trecut care nu este uniunea a două subseturi proprii trecute deschise diferite.
I^–(x) este un set trecut indecompozabil propriu (PIP)
Un set trecut indecompozabil terminal (TIP) este un set indecompozabil propriu care nu este un PIP.
Dezvoltarea Cauchy viitoare a lui S, D⁺(S), este mulțimea tuturor punctelor x pentru care fiecare curbă cauzală inextensibilă direcționată către trecut prin x se intersectează S cel puțin o dată. În mod similar pentru dezvoltarea Cauchy trecută. Dezvoltarea Cauchy este o uniune a evoluțiilor dezvoltărilor Cauchy viitoare și trecute. Dezvoltările Cauchy sunt importante pentru studiul determinismului.
Un subset S al lui M este acronal dacă nu există q, r ϵ S astfel încât r ϵ I⁺(q), sau echivalent dacă S este disjunct de la I⁺(S).
O suprafață Cauchy este un set închis acronal a cărui dezvoltare Cauchy este M.
O metrică este hiperbolică globală dacă poate fi foliată de suprafețele Cauchy.
Setul de încălcare a cronologiei reprezintă setul de puncte prin care trec curbele temporale închise.
Setul de încălcare a cauzalității este setul de puncte prin care trec curbele de cauzalitate închise.
Pentru o curbă de cauzalitate γ, diamantul cauzal este J⁺(γ) ∩ J^– (γ) (aici folosim definiția mai liberă a „curbei”, respectiv doar un set de puncte). Cuvântul diamant cauzal al unei linii de univers a particulelor γ este setul tuturor evenimentelor care se află atât în trecutul unui anumit punct din γ, cât și în viitorul unui anumit punct din γ.

Proprietăți

Un punct x este în I^–(y) dacă și numai dacă y este în I⁺(x).
x ≤ y ⇒ I^–(x) este subset al lui I^–(y)
x ≤ y ⇒ I⁺(y) este subset al lui I⁺(x)
I⁺[S] = I⁺[I⁺[S]] este subset al lui J⁺[S] = J⁺[J⁺[S]]
I^–[S] = I^–[I^–[S]] este subset al lui J^–[S] = J^–[J^–[S]]
Horismos este generat de congruențe geodezice nule.

Proprietăți topologice:

I^±(x) este deschisă pentru toate punctele x în M.
I^±[S] este deschisă pentru toate subseturile S incluse în M.
I^±[S] = I^±[S] pentru toate subseturile S incluse în M. Aici S este închiderea unui subset S.
J^±[S] este inclus în I^±[S]

Geometria conformală

Două metrici g și g^ sunt legate conformal [4] dacă g^ = Ω²g pentru o anumită funcție reală Ω numită factor conformal.

Privind definițiile unde vectorii tangenți sunt temporali, nuli și spațiali, vedem că rămân neschimbați dacă folosim g sau g^. De exemplu, presupunem că X este un vector tangenttemporal ce se referă la metrica g. Aceasta înseamnă că g(X, X) < 0. Atunci, avem g^(X, X) = Ω²g(X, X) < 0 astfel încât X este de asemenea un vector tangent temporal față de g^.

Din aceasta rezultă că structura cauzală a unei varietăți lorentziene nu este afectată de o transformare conformală.