Analyse dimensionnelle

En ingénierie et en science, l’analyse dimensionnelle est l’analyse des relations entre différentes grandeurs physiques en identifiant leurs quantités de base (telles que la longueur, la masse, le temps et la charge électrique) et les unités de mesure (telles que les miles par rapport aux kilomètres ou les livres par rapport aux kilogrammes) et le suivi de ces dimensions lors de calculs ou de comparaisons. La conversion d’unités d’une unité dimensionnelle à une autre est souvent plus facile dans le système métrique ou SI que dans d’autres, en raison de la base régulière de 10 dans toutes les unités. L’analyse dimensionnelle, ou plus spécifiquement la méthode facteur-étiquette, également connue sous le nom de méthode étiquette-unité, est une technique largement utilisée pour de telles conversions en utilisant les règles de l’algèbre.

Le concept de dimension physique a été introduit par Joseph Fourier en 1822. Les grandeurs physiques de même nature (également appelées commensurables) (par exemple, longueur, ou temps, ou masse) ont la même dimension et peuvent être directement comparées à d’autres grandeurs physiques du même nature, même si elles sont à l’origine exprimées en différentes unités de mesure (telles que verges et mètres). Si les grandeurs physiques ont des dimensions différentes (telles que la longueur par rapport à la masse), elles ne peuvent pas être exprimées en termes d’unités similaires et ne peuvent pas être comparées en quantité (également appelée incommensurable). Par exemple, demander si un kilogramme est supérieur à une heure n’a pas de sens.

Toute équation physiquement significative (et toute inégalité) aura les mêmes dimensions sur ses côtés gauche et droit, une propriété connue sous le nom d’homogénéité dimensionnelle. La vérification de l’homogénéité dimensionnelle est une application courante de l’analyse dimensionnelle, servant de contrôle de plausibilité sur les équations et les calculs dérivés. Il sert également de guide et de contrainte pour dériver des équations qui peuvent décrire un système physique en l’absence d’une dérivation plus rigoureuse.

Nombres concrets et unités de base

De nombreux paramètres et mesures en sciences physiques et en génie sont exprimés sous la forme d’un nombre concret – une quantité numérique et une unité dimensionnelle correspondante. Souvent, une quantité est exprimée en termes de plusieurs autres quantités; par exemple, la vitesse est une combinaison de longueur et de temps, par ex. 60 kilomètres par heure ou 1,4 kilomètres par seconde. Les relations composées avec « par » sont exprimées avec division, par ex. 60 km/1 h. D’autres relations peuvent impliquer une multiplication (souvent représentée par un point centré ou une juxtaposition), des puissances (comme m² pour des mètres carrés) ou des combinaisons de celles-ci.

Un ensemble d’unités de base pour un système de mesure est un ensemble d’unités choisi de manière conventionnelle, dont aucune ne peut être exprimée comme une combinaison des autres et en termes duquel toutes les unités restantes du système peuvent être exprimées. Par exemple, les unités de longueur et de temps sont normalement choisies comme unités de base. Les unités de volume, cependant, peuvent être prises en compte dans les unités de base de longueur (m³), elles sont donc considérées comme des unités dérivées ou composées.

Parfois, les noms d’unités masquent le fait qu’il s’agit d’unités dérivées. Par exemple, un newton (N) est une unité de force, qui a des unités de masse (kg) multipliées par des unités d’accélération (m∙s⁻²). Le newton est défini comme 1 N = 1 kg∙m∙s⁻².

Pourcentages et dérivés

Les pourcentages sont des quantités sans dimension, car ce sont des rapports de deux quantités avec les mêmes dimensions. En d’autres termes, le signe % peut être lu comme des « centièmes », puisque 1% = 1/100.

Prendre une dérivée par rapport à une quantité ajoute la dimension de la variable que l’on différencie par rapport, au dénominateur. Donc:

• la position (x) a la dimension L (longueur);
• la dérivée de position par rapport au temps (dx/dt, vitesse) a la dimension LT⁻¹ – longueur à partir de la position, temps dû à la dérivée;
• la dérivée seconde (d²x/dt² = d(dx/dt)/dt, accélération) a la dimension LT^-2.

En économie, on distingue les stocks et les flux: un stock a des unités d ‘ »unités » (disons, des widgets ou des dollars), tandis qu’un flux est un dérivé d’un stock, et a des unités d’ « unités/temps » (disons dollars/an).

Dans certains contextes, les quantités dimensionnelles sont exprimées sous forme de quantités sans dimension ou de pourcentages en omettant certaines dimensions. Par exemple, les ratios dette/PIB sont généralement exprimés en pourcentages: l’encours total de la dette (dimension de la monnaie) divisé par le PIB annuel (dimension de la monnaie) – mais on peut soutenir que, en comparant un stock à un flux, le PIB annuel devrait avoir des dimensions de monnaie/temps (dollars/an, par exemple) et donc la dette/PIB devrait avoir des unités d’années, ce qui indique que la dette/PIB est le nombre d’années nécessaires pour qu’un PIB constant puisse payer la dette, si tout le PIB est consacré à la dette et que la dette est par ailleurs inchangée.

Facteur de conversion

Dans l’analyse dimensionnelle, un rapport qui convertit une unité de mesure en une autre sans changer la quantité est appelé un facteur de conversion. Par exemple, kPa et bar sont tous deux des unités de pression et 100 kPa = 1 bar. Les règles de l’algèbre permettent de diviser les deux côtés d’une équation par la même expression, donc cela équivaut à 100 kPa/1 bar = 1. Comme toute quantité peut être multipliée par 1 sans la changer, l’expression « 100 kPa/1 bar « peut être utilisé pour convertir des barres en kPa en le multipliant par la quantité à convertir, unités comprises. Par exemple, 5 bar × 100 kPa/1 bar = 500 kPa car 5 × 100/1 = 500, et bar/bar s’annule, donc 5 bar = 500 kPa.