Nous trouverons que, dans nos processus de calcul, nous devons faire face aux petites quantités de differents degrés de petitesse.
Nous trouverons également apprendre dans quelles circonstances nous pouvons considérer que les petites quantités sont si petites que nous pouvons les omettre de la considération. Tout dépend d’une petitesse relative.
Avant de fixer les règles, pensez à certains cas familiers. Il y a 60 minutes dans une heure, 24 heures par jour, 7 jours par semaine. Il y a donc 1440 minutes dans une journée et 10080 minutes dans une semaine.
Évidemment, 1 minute est une très petite quantité de temps par rapport à une semaine entière. En effet, nos ancêtres l’ont considéré comme petit par rapport à une heure, une fraction minuscule – à savoir 1/60 d’une heure. Quand ils ont exigé des subdivisions encore plus petites, ils ont divisé chaque minute en 60 parties encore plus petites, ce qu’ils ont appelé «deuxième minute» (c.-à-d., petites quantités du deuxième ordre de la minute). De nos jours, nous appelons ces petites quantités du deuxième ordre de petitesse «secondes». Mais peu de gens savent pourquoi ils s’appellent comme ça.
Maintenant, si une minute est si petite par rapport à une journée entière, combien plus petit par comparaison est une seconde!
Encore une fois, pensez à un farthing (une ancienne unité monétaire et une monnaie du Royaume-Uni, retirée en 1961, égale à un quart d’un vieux penny) par rapport à un sovereign: il vaut seulement un peu plus d’une partie 1/1000. Un peu plus ou moins est d’une importance précieuse par rapport à un sovereign (une ancienne monnaie d’or britannique valant une livre sterling): il peut certainement être considéré comme une petite quantité. Mais comparez un farthing avec £1000: par rapport à cette somme plus grande, le farthing n’a plus d’importance que 1/1000 d’un farthing serait à un sovereign. Même un sovereign doré est une quantité relativement négligeable dans la richesse d’un millionnaire.
Maintenant, si nous fixons sur toute fraction numérique comme constituant la proportion qui, à n’importe quel but, nous appelons relativement faible, nous pouvons facilement déclarer d’autres fractions d’un plus haut degré de petitesse. Ainsi, si, pour le temps, 1/60 s’appelle une petite fraction, alors 1/60 de 1/60 (étant une petite fraction d’une petite fraction) peut être considérée comme une petite quantité du deuxième ordre de la petitesse. (Les mathématiciens parlent du deuxième ordre de «magnitude» (c’est-à-dire de la grandeur) quand ils signifient vraiment le deuxième ordre de la petitesse. Cela est très déroutant pour les débutants.)
Ou, si, pour quelque raison que ce soit, nous devions prendre 1 pour cent. (c.-à-d., 1/100) comme une petite fraction, alors 1 pour cent, de 1 pour cent (c’est-à-dire 1/10.000) serait une petite fraction du deuxième ordre de petitesse; et 1/1.000.000 serait une petite fraction du troisième ordre de petitesse, étant 1 pour cent, de 1 pour cent, de 1 pour cent.
Enfin, supposons que pour un but très précis, nous devrions considérer 1/1.000.000 comme «petit». Ainsi, si un chronomètre de premier ordre ne doit pas perdre ou gagner plus d’une demi-minute dans un an, il doit garder le temps avec une précision de 1 partie en 1.051.200. Maintenant, si, à tel point, nous considérons 1/1.000.000 (ou un millionième) comme une petite quantité, alors 1/1.000.000 de 1/1.000.000, étant 1/1.000.000.000.000 (ou un milliardième) sera une petite quantité du deuxième ordre de petitesse, et peut être totalement ignoré, par comparaison.
Ensuite, nous voyons que plus petite est une petite quantité, plus négligeable est la petite quantité correspondante du deuxième ordre. Par conséquent, nous savons que dans tous les cas, nous sommes justifiés de négliger les petites quantités des ordres deuxième ou troisième (ou plus haut), si seulement nous prenons la petite quantité de premier ordre assez petite en soi.
Mais il faut se rappeler que de petites quantités, si elles se produisent dans nos expressions en tant que facteurs multipliés par un autre facteur, peuvent devenir importantes si l’autre facteur est lui-même grand. Même un farthing devient important si seulement il est multiplié par quelques centaines.
Maintenant, dans le calcul, nous écrivons dx pour un peu de x. Ces choses, telles que dx, du et dy, sont appelées «différentiels», le différentiel de x, ou de u, ou de y, selon le cas. Si dx est un petit peu de x, et relativement petit de lui-même, il ne s’ensuit pas que des quantités telles que x·dx, ou x2dx, ou axdx sont négligeables. Mais dx·dx serait négligeable, étant une petite quantité de deuxième ordre.
Un exemple très simple servira comme l’illustration.
Pensons à x comme une quantité qui peut croître d’une petite quantité afin de devenir x+dx, où dx est le petit incrément ajouté par la croissance. Le carré de ceci est x2+ 2x·dx+(dx)2. Le deuxième terme n’est pas négligeable car il s’agit d’une quantité de premier ordre; tandis que le troisième terme est du deuxième ordre de petitesse, étant un peu de x. Ainsi, si nous supposions que dx signifie numériquement, disons, 1/60 de x, alors le deuxième terme serait 2/60 de x2, alors que le troisième terme serait 1/3600 de x2. Ce dernier terme est clairement moins important que le second. Mais si nous allons plus loin et considérons que dx signifie seulement 1/1000 de x, alors le deuxième terme sera de 2/1000 de x2, tandis que le troisième terme ne sera que de 1/1 000 000 de x2.
Fig. 1.
Géométriquement, cela peut être représenté comme suit: Dessinez un carré (Fig. 1) dont le côté représente x. Supposons maintenant que le carré se développe en ajoutant un bit dx à sa taille de chaque côté. Le carré agrandi se compose du carré original x2, des deux rectangles en haut et à droite, dont chacun est de surface x·dx (ou ensemble 2x·dx) et le petit carré au coin en haut et droite qui est (dx)2. Dans la Fig. 2 nous avons pris dx comme une grande fraction de x – environ 1/5. Mais supposons que nous l’avions pris seulement 1/100 – environ l’épaisseur d’une ligne encrée dessinée avec un stylo fin. Ensuite, le petit coin carré aura une superficie de seulement 1/10.000 de x2 et sera pratiquement invisible. De toute évidence (dx)2 est négligeable si seulement nous considérons que l’augmentation dx est elle-même assez petite.
Fig. 2.
Fig. 3.
Considérons une comparaison.
Supposons qu’un millionnaire dise à sa secrétaire: la semaine prochaine, je vais vous donner une petite fraction de l’argent qui me vient. Supposons que le secrétaire disait à son garçon: je vais vous donner une petite fraction de ce que je reçois. Supposons que la fraction dans chaque cas soit 1/100 partie. Maintenant, si M. Millionaire a reçu pendant la semaine prochaine £1000, le secrétaire recevrait £10 et le garçon 2 shillings. Dix livres seraient une petite quantité par rapport à £1000; mais deux shillings est effectivement une petite petite quantité, d’un ordre très secondaire. Mais quelle serait la disproportion si la fraction, au lieu d’être 1/100, avait été réglée à 1/1000 partie? Ensuite, alors que M. Millionaire a obtenu son £1000, M. le Secrétaire obtiendrait seulement £1, et le garçon moins d’un farthing!
Le spirituel Dean Swift (On Poetry – Rhapsody (p. 20), imprimé 1733 – habituellement mal cité) écrivait une fois:
« Alors, observent les naturalistes, une puce
« Ont des puces plus petites qui l’en proie sur lui.
« Et celles-ci ont des petites puces qui les mordent,
« Et ça alors, à continuer ad infinitum.»
Un bœuf pourrait s’inquiéter d’une puce de taille ordinaire – une petite créature du premier ordre de la petitesse. Mais il ne se dérangerait probablement pas sur les puces d’une puce; étant du deuxième ordre de petitesse, ce serait négligeable. Même une brute de puces des puces serait ignorée par le bœuf.
Traduit par Nicolae Sfetcu de «Calculus Made Easy», par Silvanus Thompson
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