Rezonanța acustică într-un tub închis la un capăt

Așa cum am discutat în Unde, undele staționare sunt formate din două unde care se mișcă în direcții opuse. Când două unde sinusoidale identice se mișcă în direcții opuse, undele pot fi modelate ca

𝑦₁(𝑥,𝑡) = 𝐴sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) și 𝑦₂(𝑥,𝑡) = 𝐴sin(𝑘𝑥+𝜔𝑡).

Când aceste două unde interferează, unda rezultată este o undă staționară:

𝑦_R(𝑥,𝑡) = [2𝐴sin(𝑘𝑥)]cos(𝜔𝑡).

Rezonanța poate fi produsă datorită condițiilor limită impuse unei unde. În Unde, am arătat că rezonanța poate fi produsă într-o coardă sub tensiune care are condiții limită simetrice, mai exact, un nod la fiecare capăt. Am definit un nod ca un punct fix în care coarda nu se mișcă. Am constatat că condițiile limită simetrice au dus la rezonanța unor frecvențe și la producerea de unde staționare, numite și moduri normale, în timp ce alte frecvențe interferează distructiv. Undele sonore pot rezona într-un tub gol, iar frecvențele undelor sonore care rezonează depind de condițiile limită.

Să presupunem că avem un tub închis la un capăt și deschis la celălalt. Dacă ținem un diapazon vibrant lângă capătul deschis al tubului, o undă sonoră incidentă trece prin tub și se reflectă pe capătul închis. Sunetul reflectat are aceeași frecvență și lungime de undă ca unda sonoră incidentă, dar se deplasează în direcția opusă. La capătul închis al tubului, moleculele de aer au foarte puțină libertate de a oscila și apare un nod. La capătul deschis, moleculele sunt libere să se miște, iar la frecvența potrivită, apare un antinod. Spre deosebire de condițiile limită simetrice pentru undele staționare de pe coardă, condițiile limită pentru un tub deschis la un capăt și închis la celălalt capăt sunt antisimetrice: un nod la capătul închis și un antinod la capătul deschis.

Dacă diapazonul are exact frecvența potrivită, coloana de aer din tub rezonează puternic, dar la majoritatea frecvențelor vibrează foarte puțin. Această observație înseamnă doar că coloana de aer are doar anumite frecvențe naturale. Luați în considerare cea mai mică frecvență care va face tubul să rezoneze, producând un sunet puternic. Va exista un nod la capătul închis și un antinod la capătul deschis, așa cum se arată în Figura 17.19.

Figura 17.19 Rezonanța aerului într-un tub închis la un capăt, cauzată de un diapazon care vibrează la cea mai joasă frecvență ce poate produce rezonanță (frecvența fundamentală). Există un nod la capătul închis și un antinod la capătul deschis.

Unda staționară formată în tub are un antinod la capătul deschis și un nod la capătul închis. Distanța de la un nod la un antinod este un sfert dintr-o lungime de undă, iar aceasta este egală cu lungimea tubului; astfel, 𝜆₁ = 4𝐿. Aceeași rezonanță poate fi produsă de o vibrație introdusă la sau în apropierea capătului închis al tubului (Figura 17.20). Cel mai bine este să considerăm aceasta o vibrație naturală a coloanei de aer, independent de modul în care este indusă.

Figura 17.20 Aceeași undă staționară este creată în tub de o vibrație introdusă în apropierea capătului său închis.

Având în vedere că deplasările maxime ale aerului sunt posibile la capătul deschis și niciuna la capătul închis, alte lungimi de undă mai scurte pot rezona în tub, cum ar fi cea prezentată în Figura 17.21. Aici, unda staționară are trei sferturi din lungimea sa de undă în tub, sau ¾ 𝜆₃ = 𝐿, astfel încât 𝜆₃ = 4/3 𝐿. Continuarea acestui proces dezvăluie o serie întreagă de sunete cu lungimi de undă mai scurte și frecvență mai mare care rezonează în tub. Folosim termeni specifici pentru rezonanțele din orice sistem. Cea mai mică frecvență de rezonanță se numește fundamentală, în timp ce toate frecvențele de rezonanță mai mari se numesc supratonuri. Frecvențele de rezonanță care sunt multipli integrali ai fundamentalei sunt numite colectiv armonice. Fundamentala este prima armonică, a doua armonică este de două ori frecvența primei armonice și așa mai departe. Unele dintre aceste armonice pot să nu existe pentru un anumit scenariu. Figura 17.22 prezintă armonica fundamentală și primele trei supratonuri (sau prima, a treia, a cincea și a șaptea armonice) într-un tub închis la un capăt.

Figura 17.21 O altă rezonanță pentru un tub închis la un capăt. Această undă staționară are o deplasare maximă a aerului la capătul deschis și niciuna la capătul închis. Lungimea de undă este mai scurtă, trei sferturi din 𝜆′ fiind egale cu lungimea tubului, astfel încât 𝜆′ = 4𝐿/3. Această vibrație de frecvență mai mare este prima supratonă.

Figura 17.22 Supratonul fundamental și primele trei supratonuri pentru un tub închis la un capăt. Toate au deplasări maxime ale aerului la capătul deschis și niciuna la capătul închis.

Relația pentru lungimile de undă rezonante ale unui tub închis la un capăt este

𝜆𝑛 = 4/𝑛 𝐿 𝑛 = 1,3,5,… (17.13)

 

Acum să căutăm un model în frecvențele rezonante pentru un tub simplu care este închis la un capăt. Fundamentala are 𝜆 = 4𝐿, iar frecvența este legată de lungimea de undă și de viteza sunetului, așa cum este dată de 𝑣 = 𝑓𝜆.

Rezolvând pentru f în această ecuație rezultă

𝑓 = 𝑣/𝜆 = 𝑣/4𝐿,

unde v este viteza sunetului în aer. În mod similar, primul supraton are 𝜆 = 4 𝐿/3 (vezi Figura 17.22), astfel încât

𝑓₃ = 3 𝑣/4𝐿 = 3𝑓₁.

Deoarece 𝑓₃ = 3𝑓₁, numim primul supraton a treia armonică. Continuând acest proces, vedem un model care poate fi generalizat într-o singură expresie. Frecvențele de rezonanță ale unui tub închis la un capăt sunt

𝑓𝑛 = 𝑛 𝑣/4𝐿, 𝑛 = 1,3,5,…,   (17.14)

 

unde 𝑓₁ este fundamentala, 𝑓₃ este primul supraton și așa mai departe. Este interesant faptul că frecvențele de rezonanță depind de viteza sunetului și, prin urmare, de temperatură. Această dependență reprezintă o problemă vizibilă pentru orgile din catedralele vechi neîncălzite și este, de asemenea, motivul pentru care muzicienii își aduc de obicei instrumentele de suflat la temperatura camerei înainte de a cânta la ele.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2025 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1