Partajarea secretelor cuantice cu stări grafice cu qudit

Cuantificarea inseparabilității a atras o atenție largă în ultimii ani, dar cuantificarea inseparabilității primește o soluție mai bună doar pentru sistemele cuantice bipartite. Și cuantificarea inseparabilității multipartite este încă deschisă chiar și pentru o stare multipartită pură. Până în prezent, o varietate de măsuri diferite de inseparabilitate au fost propuse pentru configurarea multipartită, cum ar fi robustețea inseparabilității, entropia relativă a inseparabilității, iar cuantificarea inseparabilității multipartite este încă deschisă chiar și pentru o stare multipartită pură. Din fericire, există speranță pentru a obține valoarea exactă a inseparabilității multipartite a stărilor grafice, care sunt stări cuantice multipartite utile în procesarea informațiilor cuantice.

Cuantificarea inseparabilității stării grafice este relativ simplă, deoarece poate fi descrisă prin limbaj grafic. Până în prezent, studiul inseparabilității stărilor grafurilor abia a început, cele mai recente rezultate ale cercetărilor constând în determinarea limitelor superioare și inferioare ale inseparabilității stărilor grafurilor utilizând operații locale și comunicare clasică, ceea ce poate confirma doar inseparabilitatea stărilor grafurilor cu limite egale. Însă pentru stările grafurilor cu limite inegale, se poate oferi doar un interval de inseparabilitate, dar nu și valoarea exactă.

În calculul cuantic, o stare graf este un tip special de stare multiqubit care poate fi reprezentată de un graf. Fiecare qubit este reprezentat de un vârf al grafului și există o muchie între fiecare pereche de qubiți care interacționează. În special, acestea reprezintă o modalitate convenabilă de a reprezenta anumite tipuri de stări inseparate.

Dat fiind un graf G = (V, E) cu mulțimea vârfurilor V și mulțimea muchiilor E, graful corespunzător

|G⟩ =∏_(a,b)∈E U^{a,b}|+⟩^⊗V,   (E19)

unde operatorul U^{a,b} este interacțiunea controlată-Z dintre cele două vârfuri (qubiți) a, b,

U{a,b} = (1 0 0 0 / 0 1 0 0 / 0 0 1 0 / 0 0 0 -1).

Și |+⟩ = 1/√2 (|0⟩ + |1⟩). Cu fiecare graf G = (V, E), asociem o stare a grafului. O stare grafică este o anumită stare cuantică pură pe un spațiu Hilbert H_V = (C²)^⊗V.

O definiție alternativă și echivalentă este următoarea. Prin urmare, fiecare vârf etichetează un sistem cuantic pe două niveluri sau un qubit – o noțiune care poate fi extinsă la sisteme cuantice de dimensiune finită d. Fiecărui vârf a ∈ V al graficului G = (V, E) îi este atașat un operator hermitian

K^(a)_G = σ^(a)_x ∏_b∈Na σ^(b)_z.   (E20)

În termenii matricei de adiacență, aceasta poate fi exprimată ca

K^(a)_G = σ^(a)_x ∏_b∈V (σ^(b)_z)^Γab.   (E21)

Ca de obicei, matricile σ^(a)_x, σ^(a)_y, σ^(a)_z sunt matricile Pauli, unde indicele superior specifică spațiul Hilbert asupra căruia acționează operatorul. K^(a)_G este o observabilă a qubiților asociați cu vârful a și toți vecinii săi b ∈ N_a. Starea grafului |G⟩ este atunci definită ca starea proprie simultană a operatorilor N = |V|, {K^(a)_G}_a∈V, cu valoarea proprie 1:

K^(a)_G |G⟩ = |G⟩.   (E22)

Aici, se iau în considerare trei varietăți specifice ale unor astfel de scheme demonstrate anterior în stări graf. Se observă că toate formele existente de partajare a secretelor care au fost propuse se încadrează într-una dintre aceste categorii: [60]

• Schema CC: Secretul este clasic, dealerul este conectat la jucător prin canale cuantice private și toți jucătorii sunt conectați prin canale clasice private.
• Schema CQ: Secretul este clasic, dealerul partajează canale cuantice publice cu fiecare jucător, iar jucătorii sunt conectați la fiecare prin canale clasice private.
• Schema QQ: Secretul este cuantic, dealerul partajează canale cuantice private sau publice cu fiecare jucător, iar jucătorii sunt conectați între ei prin canale cuantice private sau clasice.

Acum să vedem un exemplu de QSS cu stări grafice. Este al treilea scenariu prezentat în schema QQ anterioară. Această schemă QQ propusă este ușor generalizabilă la qudit-uri. În această schemă, secretul care trebuie partajat este o stare cuantică |s⟩ într-un spațiu Hilbert d-dimensional, deținută inițial de dealer, care o distribuie celorlalte părți printr-o operațiune comună asupra stării secrete și a stării grafice partajate a părților, într-un mod analog teleportării cuantice. Descriem protocolul general explicit mai jos.

Notând quditul secret al dealerului ca

|s⟩_D = ∑_i=0^d−1 α_i|i⟩_D.   (E23)

Dealerul pregătește starea |s⟩_D|G⟩_D,V. Corespunzând unei stări grafice G pentru quditul dealerului D și quditurile V ale tuturor jucătorilor. Dealerul distribuie quditurile jucătorilor către aceștia. Dealerul își măsoară apoi cele două qudituri în baza Bell generalizată {|ψ⟩_mn}, unde

|ψ_mn⟩ : = 1/√d ∑_j ω^jn |j⟩ |j+m⟩   (E24)

Dacă rezultatul măsurătorii dealerului este (m,n), corespunzător stării |ψ⟩_mn, atunci din regulile pentru măsurarea proiectivă rezultă că starea rezultantă pentru toate părțile este

|ψ_mn⟩_D ⟨ψ_mn||s⟩_D |G⟩_D,V

∝   |ψ_mn⟩_D ∑α_jω^−jn∣g_{z = (j + m)(AD1, AD2, ⋯, ADN)}⟩_{V   (}E25)

unde |g_z⟩ este starea grafică redusă codificată pe jucătorii 1, ⋯, n cu etichete z.

Dacă dealerul informează jucătorii despre rezultatul măsurătorii lor (m,n), atunci un set de jucători ∈V poate aplica un operator de corecție

U_mn : = K_a^−nNDa−1Z^−mAD   (E26)

pentru a obține starea

|s_g⟩^V = ∑_j α_j∣_{gz= j(AD1, AD2, ⋯, ADN)}⟩_V.   (E27)

Proprietățile de acces ale acestei stări finale depind de starea grafică utilizată. Calitativ, pentru anumite stări grafice inițiale, starea |sg⟩_V poate fi considerată o suprapunere de stări grafice etichetate ortogonal, ale căror etichete au aceeași structură de acces ca și protocoalele CC. Astfel, capacitatea de a recupera secretul cuantic corespunde capacității de a recupera aceste etichete clasice, oferind o extensie naturală a protocoalelor clasice la cazul cuantic.

Sursa: Xiaoqing Tan (2012). ”Introduction to Quantum Cryptography”, din Theory and Practice of Cryptography and Network Security Protocols and Technologies, Cap. 5, http://dx.doi.org/10.5772/56092, licența CC BY 3.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu