Un exemplu ilustrativ al relației dintre disipație și entropia relativă

Sursa: Jordan Horowitz and Christopher Jarzynski (2009). An illustrative example of the relationship between dissipation and relative entropy, https://doi.org/10.48550/arXiv.0901.0576

 

Articolul semnat de Jordan Horowitz și Christopher Jarzynski explică, printr-un model fizic simplu și rezolvabil exact, legătura profundă dintre disiparea energiei într-un proces termodinamic ireversibil și entropia relativă, o mărime din teoria informației care măsoară cât de ușor pot fi deosebite două distribuții de probabilitate. Punctul de plecare este rezultatul formulat de Kawai, Parrondo și Van den Broeck, potrivit căruia lucrul mecanic disipat într-un proces termodinamic este legat de diferența informațională dintre evoluția directă a sistemului și evoluția sa inversată în timp. Cu alte cuvinte, cu cât este mai ușor să distingem „filmul” unui proces de filmul rulat invers, cu atât procesul este mai ireversibil și cu atât mai mare este disiparea.

Autorii pornesc de la un sistem clasic aflat inițial în echilibru termic, asupra căruia se acționează prin modificarea unui parametru extern. Într-un proces ideal reversibil, lucrul mecanic mediu ar fi egal cu diferența de energie liberă, dar în procesele reale apare un surplus de lucru, numit lucru disipat. Acesta reprezintă energia pierdută ireversibil în mediul termic. Formula centrală discutată în articol arată că produsul dintre inversul temperaturii și lucrul disipat este mai mare sau egal cu entropia relativă dintre distribuția de fază a procesului direct și distribuția corespunzătoare procesului invers. În cazul unei dinamici deterministe hamiltoniene, relația devine egalitate, deoarece evoluția păstrează toată informația microscopică. În schimb, pentru sisteme stocastice, în care mediul produce fluctuații și zgomot, entropia relativă oferă doar o limită inferioară pentru disipare.

Pentru a ilustra concret acest rezultat, autorii aleg modelul unei particule browniene într-o capcană armonică unidimensională al cărei centru este deplasat cu viteză constantă. Capcana armonică poate fi imaginată ca un potențial elastic care „ține” particula în jurul unei poziții centrale, iar mutarea acestei poziții centrale forțează particula să urmeze mișcarea impusă. Modelul este important deoarece este suficient de simplu pentru calcule analitice, dar și relevant experimental, fiind apropiat de situații realizabile cu particule coloidale sau sisteme manipulate optic. Deoarece deplasarea capcanei nu schimbă energia liberă prin simetrie de translație, tot lucrul mecanic mediu efectuat în plus apare ca lucru disipat.

Prima analiză este realizată pentru dinamica hamiltoniană, adică pentru cazul în care sistemul este izolat termic după pregătirea inițială. Distribuțiile în spațiul fazelor rămân gaussiene, iar autorii calculează explicit mediile și variațiile poziției și impulsului. Rezultatul confirmă exact relația teoretică: entropia relativă dintre distribuțiile procesului direct și invers este egală cu lucrul disipat înmulțit cu factorul termic. Aceasta arată că, atunci când nu se pierde informație microscopică în mediu, ireversibilitatea termodinamică este complet reflectată în posibilitatea de a distinge traiectoria directă de cea inversă.

A doua etapă tratează regimul Langevin supramortizat, în care impulsul se relaxează instantaneu și contează doar poziția particulei. Aici sistemul rămâne cuplat la un rezervor termic, iar evoluția este stocastică. Autorii obțin expresii pentru poziția medie și pentru distribuțiile directe și inverse, apoi compară lucrul disipat cu entropia relativă. Figura 1 arată clar că entropia relativă este sub lucrul disipat, confirmând caracterul de limită inferioară al relației. Diferența apare deoarece descrierea doar prin starea sistemului la un singur moment pierde informația despre istoria fluctuațiilor și despre schimbul microscopic cu rezervorul.

Articolul continuă cu analiza Langevin completă în spațiul fazelor, incluzând atât poziția, cât și impulsul. Deși soluțiile analitice sunt mai complicate, concluzia este ilustrată prin figura 2: pe măsură ce coeficientul de frecare scade, adică sistemul este mai slab cuplat la rezervor, raportul dintre lucrul disipat și entropia relativă se apropie de unu. Aceasta înseamnă că, atunci când interacțiunea cu mediul este slabă, se pierde mai puțină informație microscopică, iar distribuțiile sistemului păstrează mai bine urmele ireversibilității. În limita în care frecarea dispare, dinamica redevine hamiltoniană, iar egalitatea este recuperată.

Un rezultat important al articolului este extinderea analizei la distribuții definite la două momente de timp. Autorii arată că, dacă nu cunoaștem doar starea sistemului la un singur moment, ci la două momente de-a lungul traiectoriei, entropia relativă obținută este mai mare și oferă o limită inferioară mai bună pentru lucrul disipat. Figura 3 compară entropia relativă cu o singură măsurare, entropia relativă cu două măsurări și lucrul disipat, arătând că informația suplimentară despre evoluție apropie rezultatul de valoarea reală a disipării. Această idee confirmă interpretarea informațională a ireversibilității: cu cât păstrăm mai multă informație despre traiectoria microscopică, cu atât putem estima mai precis energia disipată.

În concluzie, articolul oferă o demonstrație pedagogică și riguroasă a faptului că disiparea termodinamică este legată de „săgeata timpului”. Un proces ireversibil nu este doar unul în care se pierde energie utilă, ci și unul în care direcția temporală devine statistic recognoscibilă. În sistemele deterministe, informația microscopică completă permite identificarea exactă a disipării prin entropie relativă. În sistemele stocastice, unde mediul absoarbe o parte din informație, entropia relativă calculată din date parțiale subestimează disiparea, dar această estimare devine mai bună atunci când sunt incluse mai multe informații despre evoluția sistemului. Articolul reușește astfel să lege elegant termodinamica, mecanica statistică și teoria informației într-o imagine comună a ireversibilității.