Inseparabilitatea de formare

Inseparabilitatea (entanglementul) de formare este o mărime care măsoară inseparabilitatea unei stări cuantice bipartite.[1][2]

Definiție

Pentru o stare cuantică bipartită pură |ψ⟩_AB, folosind descompunerea Schmidt, observăm că matricile de densitate reduse ale sistemelor A și B, ρ_A și ρ_B, au același spectru. Entropia von Neumann S(ρ_A) = S(ρ_B) a matricei de densitate reduse poate fi utilizată pentru a măsura inseparabilitatea stării |ψ⟩_AB. Notăm acest tip de măsură ca E_f(|ψ⟩_AB) = S(ρ_A) = S(ρ_B) și o numim entropie de inseparabilitate. Aceasta este cunoscută și sub numele de inseparabilitate de formare a unei stări pure.

Pentru o stare bipartită mixtă ρ_AB, o generalizare naturală este de a lua în considerare toate realizările de ansamblu ale stării mixte. Definim inseparabilitatea formării pentru stări mixte prin minimizarea peste toate aceste realizări de ansamblu,

E_f(ρ_AB) = inf{∑_i p_i E_f (|ψi⟩_AB)},

unde infimum este preluat peste toate modurile posibile în care se poate descompune ρ_AB în stări pure ρ_AB = ∑_i p_i |ψ_i⟩ ⟨ψ_i|_AB.

Acest tip de extensie a unei mărimi definite pe o mulțime (aici stările pure) la învelișul său convex (aici stările mixte) se numește construcție de acoperiș convex.

Proprietăți

Inseparabilitatea de formare cuantifică cât de multă inseparabilitate (măsurată în ebiți) este necesară, în medie, pentru a pregăti starea. Măsura coincide în mod clar cu entropia inseparabilității pentru stările pure. Este zero pentru toate stările separabile și diferită de zero pentru toate stările inseparabile. Prin construcție, E_f este convexă.

Inseparabilitatea de formare este cunoscută ca fiind o măsură neaditivă a inseparabilității.[3] Adică, există stări cuantice bipartite ρ_AB, σ_AB astfel încât inseparabilitatea de formare a stării comune ρ_AB ⊗ σ_AB este mai mică decât suma inseparabilității stărilor individuale, adică E_f(ρ_AB ⊗ σ_AB) < E_f(ρ_AB ) + E_f(σ_AB). Rețineți că pentru alte stări (de exemplu, stări pure sau separabile) egalitatea este valabilă.

În plus, s-a demonstrat că inseparabilitatea regularizată de formare este egală cu costul inseparabilității. Adică, pentru valori mari n, inseparabilitatea de formare a n copii ale unei stări ρ  împărțită la n converge la costul inseparabilității[4]

lim_n→∞ E_f(ρ ⊗ n)/n = E_c(ρ)

Neaditivitatea lui E_f implică astfel că există stări cuantice pentru care există o „reducere în vrac” atunci când sunt preparate din stări pure prin operații locale: este mai ieftin, în medie, să prepari mai multe împreună decât fiecare separat.

Relația cu concurența

Pentru stările a doi qubiți, inseparabilitatea de formare are o relație strânsă cu concurența. Pentru o stare dată ρ_AB, inseparabilitatea sa de formare E_f(ρ_AB) este legată de concurența sa C:

E_f = h (1 + √(1 − C²)/2

unde h(x) este funcția de entropie Shannon,

h(x) = − xlog₂x − (1 − x)log₂(1 − x).

Referințe

1. Hill, Scott; Wootters, William K. (1997-06-30). „Entanglement of a Pair of Quantum Bits”. Physical Review Letters. 78 (26). American Physical Society (APS): 5022–5025. arXiv:quant-ph/9703041. doi:1103/physrevlett.78.5022. ISSN0031-9007.
2.  Wootters, William K. (1998-03-09). „Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits”. Physical Review Letters. 80 (10). American Physical Society (APS): 2245–2248. arXiv:quant-ph/9709029. doi:1103/physrevlett.80.2245. ISSN 0031-9007.
3.  Horodecki, Ryszard; Horodecki, Pawel; Horodecki, Michal; Horodecki, Karol (2009). „Quantum entanglement”. Rev. Mod. Phys. 81: 907–908. arXiv:quant-ph/0702225. doi:1103/RevModPhys.81.865.
4. Hayden, Patrick M.; Horodecki, Michal; Terhal, Barbara M. (200). „The asymptotic entanglement cost of preparing a quantum state”. J. Phys. A: Math. Gen. 34 (35): 6891–6898. arXiv:quant-ph/0008134. doi:1088/0305-4470/34/35/314.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)