Pendulul fizic și factorul Q

Lucrarea prezintă un experiment simplu și accesibil de studiu al pendulului fizic, având ca obiective măsurarea accelerației gravitaționale locale și determinarea factorului de calitate Q, care caracterizează amortizarea oscilațiilor.

Se pornește de la conceptele fundamentale ale pendulului simplu: perioada depinde de lungimea firului și de accelerația gravitațională, dar nu de masa bobului, atâta timp cât oscilațiile sunt de amplitudine mică. Prin măsurarea perioadei pentru diverse lungimi se poate calcula g.

În continuare, este analizată amortizarea: energia pendulului scade treptat datorită frecărilor, iar amplitudinea descrește exponențial. Factorul Q exprimă raportul dintre energia stocată și cea pierdută pe ciclu, indicând cât timp sistemul rămâne în oscilație. Se propun metode de determinare a lui Q (cronometrarea timpului de amortizare, logaritmul decrementului, analiza digitală).

Experimentul poate fi extins la pendulul compus (rigid), la studierea efectului amplitudinilor mari sau la analiza avansată a amortizării (rezistență liniară vs. quadratică). Utilizarea smartphone-ului cu senzori sau cameră video permite măsurători de mare precizie.

Concluzia este că experimentul pendulului fizic, realizabil cu mijloace minime, ilustrează elegant concepte fundamentale din fizică – de la legea perioadei până la fenomenele de amortizare și rezonanță – oferind o intuiție clară asupra mișcării oscilatorii.

Cuvinte cheie: experiment, fizica, pendulul fizic, factorul Q, oscilații, accelerația gravitațională, amortizare

Introducere și concepte de bază

Figura 1: Un pendul simplu constă dintr-un bob masiv suspendat de un fir. Dacă este deviat cu un unghi mic față de verticală și eliberat fără a-i imprima viteză inițială, bobul oscilează în plan vertical în jurul poziției de echilibru (verticala).

Un pendul simplu este alcătuit dintr-un obiect masiv (numit bob) suspendat de un fir sau o tijă, care poate oscila liber sub acțiunea gravitației (vezi figura de mai jos). Când pendulul este deviat cu un unghi mic și eliberat, el va oscila înainte și înapoi în jurul poziției de echilibru.

Perioada pendulului (notată T) este timpul necesar pentru o oscilație completă (dus-întors). Pentru oscilații de amplitudine mică (sub ~10°), perioada pendulului depinde în principal de lungimea firului L și de accelerația gravitațională g, conform relației:

T ≈ 2π √(L/g) {1}

Această relație implică faptul că masa bobului nu influențează perioada (în aproximația unghiurilor mici). Dacă menținem unghiul inițial mic, perioada rămâne practic constantă (pendulul este izocron), proprietate descoperită de Galileo. În practică, pentru un unghi de pornire sub 10°, eroarea datorată aproximației este sub 0,1% (Eclat 2025). Prin măsurarea perioadei și cunoscând lungimea, putem estima accelerația gravitațională locală folosind formula echivalentă:

g = 4π L/T² {2}

(obținută prin rearanjarea ecuației 1) (Eclat 2025).

În absența forțelor de frecare, un pendul ideal ar oscila indefinit cu amplitudine constantă. În realitate însă, pendulul pierde treptat energie la fiecare oscilație – în principal prin frecare cu aerul și frecări la punctul de suspensie. Acest fenomen se numește amortizare (damping). Pe măsură ce energia se disipă sub formă de căldură sau mișcare a aerului, amplitudinea oscilațiilor scade exponențial în timp. Cu alte cuvinte, vârfurile oscilațiilor urmează o anvelopă exponențială descendentă (linia punctată roșie în graficul de mai jos)

Figura 2: Oscilație amortizată a unui pendul. Curba albastră reprezintă oscilația (deplasarea x sau unghiul în timp), iar liniile roșii punctate arată scăderea treptată a amplitudinii maxime. Amplitudinea descrește exponențial, fiecare oscilație pierzând o fracțiune din energie.

În grafic este ilustrată o oscilație amortizată: curba albastră arată deplasarea (unghiul sau poziția bobului) în timp, iar liniile roșii punctate arată scăderea treptată a amplitudinii. Fiecare oscilație pierde o mică parte din energie, astfel că amplitudinea maximă AAA scade aproximativ conform legii A(t) = A₀e^−t/τ, unde τ este o constantă de timp caracteristică amortizării.

Factorul de calitate Q este o mărime adimensională ce caracterizează cât de puțin amortizat este un sistem oscilant. Formal, Q este definit ca 2π înmulțit cu raportul dintre energia stocată și energia disipată într-un ciclu (IOP 2025). Intuitiv, Q indică aproximativ câte oscilații complete are pendulul înainte ca energia lui să se piardă aproape complet – cu cât Q este mai mare, cu atât pendulul oscilează mai mult timp înainte să se oprească (IOP 2025). Un pendul simplu în aer are de obicei un Q destul de ridicat (de ordinul sutelor sau chiar ~1000) (IOP 2025), deoarece pierderile prin frecare sunt mici. Un Q mare înseamnă amortizare slabă (oscilațiile descresc lent), iar un Q mic indică amortizare puternică (oscilațiile se sting rapid).

Materiale necesare

Masă suspendată (bob de pendul): un obiect mic și greu, de preferință dens (ex: o piuliță metalică mare, un șurub, un bolovan mic, o greutate de plumb etc.). Masa bobului ar trebui să fie suficient de mare pentru a diminua efectul rezistenței aerului, dar nu atât de grea încât să fie periculos de manevrat.
Fir lung sau sfoară: ~1–2 m de lungime, flexibil și inextensibil. Poate fi sfoară subțire, fir de pescuit sau o cordelină. (Opțional, o tijă rigidă pentru varianta de pendul compus – de ex. o riglă sau o bară metalică – vezi secțiunea de extinderi.)
Suport pentru pendul: un punct de prindere stabil de care să legați firul. De exemplu, o grindă, tocul ușii, o bară transversală, un stativ de laborator sau chiar un trepied improvizat. Asigurați-vă că punctul de suspensie este suficient de înalt astfel încât pendulul să poată oscila liber fără să atingă podeaua (ideal 1–1,5 m de pendulare).
Metru sau ruletă: pentru a măsura lungimea L a pendulului (distanța de la punctul de suspensie până la centrul de masă al bobului).
Cronometru (stopwatch) sau dispozitiv pentru măsurarea timpului: poate fi un cronometru manual, aplicația de ceas a telefonului sau, și mai bine, o metodă digitală automată (vezi mai jos). Precizia de măsurare a perioadei va afecta rezultatul, deci ideal e să minimizați erorile de reacție umană.
Smartphone (opțional, dar recomandat): Vă poate servi în mai multe moduri:
- Ca senzor de mișcare – multe telefoane au accelerometru și giroscop. Cu aplicații gratuite precum Phyphox sau Physics Toolbox Sensor Suite, telefonul poate detecta oscilațiile și cronometra perioadele cu precizie de ~ 0,001 (Eclat 2025). Telefonul poate fi atașat chiar ca bob al pendulului (ex. introdus într-un săculeț agățat de sfoară) pentru a-i folosi senzorii, sau poate sta nemișcat în apropiere dacă folosiți altă metodă de măsurare.
- Ca o cameră video – filmarea pendulului (eventual cu încetinitorul) ajută la analizarea ulterioară a mișcării, permițând măsurarea precisă a perioadelor și amplitudinilor din cadre.
- Ca instrument de analiză video – există aplicații ce pot urmări mișcarea pendulului în video (de ex. software-ul gratuit Tracker pe PC sau unele aplicații mobile de analiză video). Acestea permit determinarea poziției și vitezei pendulului în timp și calculul amplitudinii în fiecare oscilație.
Raportor sau riglă gradată (opțional): util pentru a măsura unghiul inițial de oscilație. Puteți lipi un raportor lângă punctul de suspendare pentru a ști cu ce unghi trageți pendulul înainte de eliberare (ex: 5°, 10°, 30° etc.). Alternativ, puteți marca pe podea/extremități distanța laterală corespondentă unui anumit unghi.
Burete sau bandă adezivă (mic truc opțional): dacă pendulul are tendința să se rotească sau firul să se răsucească, puneți un mic marcaj (ex. o bandă) pe bob ca să aveți un reper al planului de oscilație, și asigurați-vă că începeți oscilația strict într-un plan vertical.

Procedura experimentală

1. Montarea pendulului și calibrarea inițială

Asamblare: Atașați bobul (greutatea) la un capăt al firului. Prindeți celălalt capăt ferm de suportul ales (tavan, grindă, stativ). Asigurați-vă că nodul de prindere este bine strâns și că bobul atârnă liber, fără să atingă nimic când oscilează. Măsurați lungimea L a pendulului de la punctul de suspensie până la centrul bobului cu o ruletă (notați această valoare și incertitudinea sa, ~ ±1 mm). Dacă intenționați să variați lungimea, pregătiți moduri de a ajusta lungimea (de ex. legând firul la diferite puncte sau având mai multe fire).
Poziție de echilibru: Identificați poziția de repaus (verticală) a pendulului – bobul atârnă direct în jos. Este util să puneți o mică bandă pe podea sub poziția de echilibru sau un fir cu plumb de referință, ca să observați deviațiile.
Unghiul inițial: Deplasați bobul într-o parte cu un unghi mic față de verticală (de ex. ~ 5° sau 10°). Puteți folosi un raportor plasat lângă fir, sau măsurați orizontal o mică deplasare laterală corespunzătoare unghiului dorit (pentru unghiuri mici, s ≈ L * θ). Marcarea cu bandă a poziției de lansare poate ajuta la consistență dacă repetați. Avertisment: Nu depășiți ~ 15° la această etapă, pentru a păstra valabilitatea ecuației perioadei (1) și a evita erorile mari (Eclat 2025). De asemenea, nu împingeți bobul când îl eliberați – lăsați-l să pornească din repaus pentru a nu induce mișcare suplimentară.
Senzori/Filmare (opțional): Dacă folosiți smartphone-ul ca senzor, fixați-l acum (de exemplu, puneți telefonul în interiorul unui săculeț de pânză legat la capătul firului, asigurându-vă că nu se poate desprinde) (Eclat 2025). Deschideți aplicația de senzori (Phyphox, SensorLog) și selectați modul Pendulum sau Accelerometer. Dacă filmați, poziționați camera astfel încât planul de oscilație să fie perpendicular pe direcția de filmare, cu pendulul și eventual un fundal gradat (riglă/metru) în cadru. Înregistrați la 30 sau 60 fps (sau slow-motion la 120+ fps pentru detalii mai fine).

2. Măsurarea perioadei în funcție de lungime (determinarea lui g)

Scopul acestei părți este să verificăm relația dintre T și L și să estimăm accelerația gravitațională g. Vom măsura perioada pendulului pentru diferite lungimi ale firului:

Măsurare pentru o lungime dată: Eliberați pendulul de la un mic unghi inițial (ex ~ 10°). Lăsați-l să oscileze câteva perioade pentru ca mișcarea să se stabilizeze. Apoi începeți cronometrul sincronizat cu trecerea pendulului prin poziția de echilibru (sau un reper fix) – alternativ, puteți cronometra de la o extremă la următoarea aceeași extremă (de exemplu, când bobul revine la punctul maxim stânga).
1. Metodă manuală: Măsurați timpul pentru, să zicem, 10 oscilații complete consecutive, apoi împărțiți timpul total la 10 pentru a obține perioada medie T. Cronometrarea mai multor oscilații reduce eroarea de reacție umană. Repetați măsurarea de 2-3 ori și faceți media pentru acuratețe.
2. Metodă cu telefonul: Dacă utilizați aplicația de senzori, aceasta poate înregistra automat oscilațiile. De exemplu, un accelerometru al telefonului atașat bobului va arăta un maxim de accelerație la capetele de oscilație. Măsurând intervalul dintre maxime consecutive (sau efectuând un FFT pentru a extrage frecvența) puteți obține T foarte precis (Eclat 2025). În mod similar, un giroscop poate detecta inversările de direcție la capete. Multe aplicații (Phyphox, etc.) pot chiar afișa direct perioada medie pe baza acestor date.
3. Metodă video: Dacă ați filmat, ulterior identificați momentul în care pendulul trece prin poziția de echilibru (sau atinge un maxim) în cadrele video. Determinați numărul de cadre între două treceri identice și, cunoscând frame-rate-ul, calculați perioada. De exemplu, la 60 fps, dacă între două poziții identice trec 120 de cadre, perioada este 120/60 = 2 s. Pentru precizie, luați intervalul peste 5-10 oscilații filmate și împărțiți la numărul de oscilații.
Variați lungimea și repetați: Ajustați lungimea pendulului (de ex. la ~ 0,5 m, 1 m, 1,5 m – puteți alege 3–5 valori diferite). Pentru fiecare lungime L, măsurați perioada T după metoda de mai sus. Notați cu atenție L (cu incertitudinea sa) și T
Analiza datelor – relația T² L: Conform ecuației (1), dacă T=2π √(L/g), atunci T² = 4π²/g L. Așadar, graficul T² în funcție de L ar trebui să fie o linie dreaptă ce trece prin origine (Eclat 2025). Trasați un tabel și un grafic cu valorile măsurate. Determinați panta dreaptă (folosind două puncte sau o regresie liniară). Panta ar trebui să fie aproximativ 4π²/g. Din panta obținută, calculați valoarea lui g:

g ≈ 4π²/panta.

De exemplu, dacă obțineți o pantă de ~ 0,102 s²/cm (doar un exemplu), atunci g = 4π²/0,102 ≈ 9,65 m/s². Comparați valoarea obținută cu valoarea standard 9,81 m/s². Diferența ar putea proveni din erorile de măsurare (cronometrare, măsurarea lungimii) sau din efecte sistematice (unghi inițial neglijat prea mare, extensia firului, rezistența aerului – deși mică, etc.). Menționați aceste posibile erori. În special, dacă unghiul inițial a fost ceva mai mare, T real va fi ușor mai mare decât formula teoretică (1) – există o corecție de ordinul (1 + θ₀²/16) pentru unghiul inițial θ₀ (Eclat 2025). Păstrând θ₀ < 10^∘, eroarea de la acest efect rămâne sub 0,1% (Eclat 2025), deci practic neglijabilă în comparație cu erorile de măsurare manuală.

Observații calitative: În timpul acestor măsurători, probabil veți observa că pendulul nu menține exact aceeași amplitudine. În decursul celor 10 oscilații cronometrate, oscilațiile se micșorează ușor în deschidere. Deși acest efect nu influențează prea mult perioada (pentru unghiuri mici, perioada rămâne aproape constantă chiar dacă amplitudinea scade), este un indiciu al amortizării, despre care vom vorbi imediat. De asemenea, asigurați-vă că oscilațiile pendulului rămân plane; dacă firul se răsucește sau bobul începe să descrie o elipsă, opriți experimentul și reporniți, deoarece mișcarea ne-plană complică analiza.

3. Observarea amortizării și determinarea factorului Q

După ce ați măsurat perioada, puteți lăsa pendulul să continue să oscileze liber și veți observa treptat cum amplitudinea scade. Acum ne concentrăm pe acest fenomen de amortizare și vom cuantifica cât de repede își pierde pendulul energia, calculând factorul Q.

Observație calitativă: Notați vizual amplitudinile oscilațiilor succesive. De exemplu, dacă inițial pendulul avea un unghi de ~10°, după câteva minute veți vedea că oscilează cu un unghi mult mai mic. Practic, la fiecare oscilație pendulul pierde o mică parte din energie (transformată în frecare aerodinamică sau căldură la nivelul firului).

Pentru a măsura cantitativ amortizarea, există mai multe metode, în funcție de echipamentele disponibile:

Metoda cronometrării timpului de amortizare: Alegeți o fracțiune a amplitudinii inițiale (de exemplu jumătate din amplitudine) și măsurați cât timp îi trebuie pendulului să ajungă la acea amplitudine. De exemplu, dacă pendulul a pornit de la 10° și după ~3 minute ajunge la ~5°, puteți estima că în 3 minute amplitudinea a scăzut la jumătate. Acest timp corespunde câtorva zeci de oscilații (puteți determina și câte oscilații au avut loc în acel interval, știind T). Din acest tip de măsurătoare se poate deriva Q aproximativ: dacă amplitudinea scade cu un factor de 2 în N oscilații, atunci logaritmul decrementei δ = ln(A₀/A_N) = ln(2) și se poate arăta că Q ≈ πN/ln(A₀/A_N). În exemplul nostru numeric, ln(2) = 0,693; dacă în 3 minute pendulul a făcut ~90 de oscilații, atunci Q ≈ π⋅90/0,693 ≈ Observăm că Q este destul de mare – pendulul efectuează multe oscilații până să-și diminueze mult amplitudinea, ceea ce corespunde amortizării slabe. (Notă: O definiție aproximativ echivalentă este că Q este circa numărul de oscilații necesare pentru ca energia să se disipe complet (IOP 2025). Energia scade cu factorul e^−2π după Q oscilații, deci dacă Q este ~400, după 400 de oscilații energia scade de ~535 de milioane de ori; practic pendulul se oprește mult mai devreme din cauza forțelor statice, dar asta oferă ordinea de mărime.)
Metoda logaritmului decrementului: O tehnică mai precisă este să măsurați amplitudinile a mai multor oscilații consecutive. De exemplu, filmați pendulul sau observați poziția extremă față de un reper. Puteți marca pe fundal poziția maximă atinsă de pendul pentru primele, să zicem, 10 oscilații. Veți obține o serie de amplitudini: A₀,A₁,A₂,…A₁₀. Pentru amortizare exponențială, raportul amplitudinilor succesive ar trebui să fie constant: A_n+1/A_n = e^−δ (unde δ se numește decrement logaritmic). Calculați ln(A_n/A_n+1) pentru câteva valori n și faceți media – veți obține δ (aproximativ constant). Apoi factorul Q se poate obține din relația Q ≈ π/δ pentru amortizare ușoară. Alternativ, dacă luați direct A₀ și A_N după N oscilații: Q ≈ πN/ln(A₀/A_N), cum am menționat mai sus. De exemplu, dacă la oscilația 0 amplitudinea unghiulară era 10°, iar la oscilația 20 amplitudinea a scăzut la 3°, atunci A₀/A₂₀ ≈ 10/3 ≈ 3,33, ln(3,33) = 1,20, N = 20, deci Q ≈ π⋅20/1,20 ≈ (Acesta este un exemplu fictiv cu amortizare mai puternică; un pendul real probabil va avea un Q mai mare.)
Metoda fitului exponențial (analiză digitală): Dacă ați înregistrat video sau cu senzorii, puteți obține o mulțime de puncte (amplitudine vs. timp sau vs. numărul oscilațiilor). Reprezentați grafic amplitudinea în funcție de timp și verificați dacă punctele se aliniază pe o curbă exponențială. De exemplu, în graficul cu anvelopa roșie de mai sus, amplitudinea maximă scade ca A(t) = A₀e^−t/τ. Determinând constantă de timp τ (de exemplu, timpul la care amplitudinea scade la ~37% din valoarea inițială), puteți calcula Q. Relația teoretică pentru un pendul amortizat slab este Q = ω₀τ, unde ω₀ = 2π/T este pulsația naturală neamortizată. Deci, dacă din fitul exponențial reiese τ = 60 s și pendulul are T = 2 s (ω₀ ≈ 3,14 s⁻¹, atunci Q ≈ 3,14⋅60 ≈

Indiferent de metodă, factorul Q al pendulului dumneavoastră va rezulta probabil de câteva sute. Un Q ridicat confirmă că pendulul este foarte puțin amortizat (pierde doar o mică fracțiune din energie pe oscilație). Spre exemplu, un pendul de ceas lung are Q de ordinul 500–1000 în aer (IOP 2025). Dacă doriți, puteți compara amortizarea pendulului în diferite medii: de exemplu, oscilați același pendul cu bobul cufundat parțial în apă – veți observa o scădere dramatică a lui Q (pendulul se oprește mult mai repede, deci Q este mult mai mic, ceea ce indică amortizare puternică datorită vâscozității apei).

Notă: Factorul Q nu are unități și este legat de pierderea de energie per ciclu. Dacă Q este foarte mare, metodele de mai sus pot avea incertitudini mari (diferențe mici între amplitudini succesive sunt greu de măsurat). În astfel de cazuri, puteți crește unghiul inițial puțin (ceea ce crește forțele de rezistență ale aerului și reduce Q) sau puteți atașa o mică aripioară de hârtie/carton pe bob pentru a crește amortizarea, măsurând apoi Q al sistemului cu amortizare suplimentară.

Extinderi și discuții suplimentare

Experimentul descris este realizabil acasă cu mijloace simple și se pot obține rezultate surprinzător de bune. Pentru elevii de liceu, el consolidează concepte de bază de oscilații (perioadă, dependența de lungime, conservarea energiei și pierderile de energie prin frecare). Cei interesați pot explora și mai departe, inclusiv aspecte mai avansate sau aplicații la nivel universitar:

Pendulul compus (pendulul fizic rigid): În loc de un fir cu bob, puteți folosi un corp rigid (o bară, o riglă, o tijă fixă mare etc.) suspendat de un capăt ca pendul. În acest caz, formula perioadei diferă deoarece masa este distribuită de-a lungul pendulului, nu concentrată într-un punct. Perioada unui pendul compus este dată de T = 2π√(I_O/mgd), unde I_O este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație, iar d este distanța de la axă la centrul de masă (Wikipedia 2025). De exemplu, pentru o bară uniformă de lungime L pivotată la un capăt, I_O = 1/3 mL² și d = L/2. Introducând acestea, rezultă T = 2π √(1/3 mL²/(mg(L/2 = 2π √(3/2 L/g). Cu alte cuvinte, o bară rigidă are aceeași perioadă ca un pendul simplu de lungime 2/3 L (Wikipedia 2025). Puteți testa acest lucru: construiți un pendul cu o riglă de 1 m și măsurați-i perioada; apoi găsiți ce lungime de fir produce aceeași perioadă. (Pendulul compus este relevant în pendulele de precizie: de exemplu, pendulul reversibil Kater folosește două puncte de suspensie pentru a determina g foarte precis.)
Efectul amplitudinii mari (oscilații neliniare): Pentru unghiuri de oscilație mari, pendulul nu mai urmează legea simplificată (1). Perioada crește ușor cu amplitudinea inițială. Extinzând teoria, perioada exactă a pendulului este T = 2π √(L/g)⋅1/√(1 − sin²(θ₀/2) (folosind funcția integrală eliptică) – o formulare complicată, dar se poate aproxima în serie de puteri: T ≈ 2π √(L/g) (1 + θ₀²/16 + 11θ₀⁴/3072 +…). Primul termen de corecție θ₀² arată că la amplitudini moderate, creșterea perioadei e mică (Eclat 2025) (la 20° creșterea este ~1,5%, la 45° ~5%). Puteți verifica experimental: cronometrați perioada pendulului pentru un unghi inițial mic (~5°) și pentru un unghi mare (~40°) folosind aceeași lungime L. Veți observa că pendulul cu unghi mare oscilează puțin mai lent. Acesta este un comportament neliniar; la nivel universitar se poate discuta despre energia potențială a pendulului (E_p = mgL(1 − cosθ) și despre ecuația diferențială neliniară θ¨ + g/L sinθ = 0 al cărei timp de soluție nu este strict periodică simplă. Un efect asociat interesant: la amplitudini foarte mari (ex. peste 90°) pendulul își petrece o parte semnificativă a traiectoriei “cățărat” contra gravitației, astfel încât perioada crește vizibil.
Studiu avansat al amortizării: La nivel de facultate, se poate investiga natura forțelor de rezistență la înaintare. Pentru pendule care se deplasează lent prin aer, forța de rezistență este aproximativ proporțională cu viteza (damping liniar, F_d = −bv), ceea ce duce la scăderea exponențială discutată și un Q independent de amplitudine. Pentru viteze mai mari sau obiecte mai puțin aerodinamice, rezistența aerului crește cu pătratul vitezei (F_d ∝ v²), caz în care amortizarea devine neliniară – Q poate depinde de amplitudine (oscilațiile mari pierd energie mai rapid decât cele mici). Un experiment avansat ar fi măsurarea amplitudinilor pe parcursul timpului și încercarea unui fit cu model de amortizare vâscoasă vs. amortizare cu v². De exemplu, un student la nivel universitar a constatat pentru un pendul cu bob sticlă (sticlă cu apă) Q ~310 asumând model liniar, dar a obținut o descriere mai bună a datelor folosind un model quadratic de rezistență a aerului (Xue 2020). Acest tip de analiză implică cunoștințe de ecuații diferențiale și ajustare a datelor, dar demonstrează frumusețea ascunsă în mișcarea aparent simplă a pendulului.

În concluzie, experimentul pendulului fizic permite explorarea unei varietăți de fenomene fizice: de la relația perioadă-lungime folosită istoric la măsurarea gravitației, până la comportamentul sistemelor oscilații amortizate și concepte de rezonanță (un pendul cu Q mare are un vârf de rezonanță ascuțit dacă ar fi forțat periodic). Cu echipamente simple și, eventual, ajutat de tehnologia smartphone-urilor moderne, puteți măsura cu precizie timpii de oscilație (la nivel de milisecundă) (Eclat 2025) și variația amplitudinii, obținând o confirmare experimentală a teoriei și o intuiție mai puternică despre mișcarea oscilatorie. Fie că îl realizați în sufragerie sau în laborator, pendulul rămâne o experiență fundamentală și captivantă în studiul fizicii.

Fișă de laborator

Titlul experimentului

Determinarea accelerației gravitaționale și a factorului de calitate 𝑄 folosind pendulul simplu.

Scopul lucrării

Măsurarea perioadei pendulului în funcție de lungime pentru a determina 𝑔.
Observarea amortizării oscilațiilor și calculul factorului 𝑄.

Noțiuni teoretice

Perioada pendulului simplu:

T = 2π√(L/g), g = 4π²L/T²

Amortizare: amplitudinea scade treptat din cauza pierderii de energie (frecare cu aerul, la suspensie).
Factorul de calitate:

Q ≈ πN/ln(A₀/A_N)

unde 𝐴0 = amplitudinea inițială, 𝐴_𝑁 = amplitudinea după 𝑁 oscilații.

Materiale necesare

Fir de 0,5–1,5 m.
Bob (obiect mic și greu: piuliță, șurub etc.).
Suport fix (toc de ușă, stativ).
Cronometru (sau aplicație de pe telefon).
Riglă/ruletă pentru măsurarea lungimii.
(Opțional) Telefon pentru filmare sau aplicații de analiză video.

Desfășurarea lucrării

Montați pendulul (fir + bob). Măsurați lungimea 𝐿 (până la centrul bobului).
Deplasați bobul cu un unghi mic (< 10°) și eliberați fără a împinge.
Cronometrați timpul pentru 10 oscilații complete → calculați perioada 𝑇.
Repetați pentru 3–5 lungimi diferite. Notați valorile într-un tabel.
Lăsați pendulul să oscileze liber și observați scăderea amplitudinii.
Notați amplitudinea inițială 𝐴₀ și amplitudinea 𝐴𝑁 după un anumit număr 𝑁 de oscilații.
Calculați 𝑄 folosind formula de mai sus.

Tabele de date

Tabel 1 – Perioada în funcție de lungime

L (m)	Timp pentru 10 oscilații (s)	T (s)	T² (s²)

Tabel 2 – Amplitudinea oscilațiilor

Nr. oscilații	Amplitudinea (° sau cm)
0 (inițial)
N

Prelucrarea datelor

Reprezentați grafic 𝑇² în funcție de 𝐿.
Determinați panta și calculați 𝑔 = 4𝜋²/panta.
Folosiți datele din tabelul 2 pentru a calcula 𝑄.

Întrebări pentru elevi

Cum depinde perioada de lungimea firului?
Masa bobului influențează perioada? De ce?
De ce trebuie ca unghiul inițial să fie mic?
Ce semnifică factorul 𝑄 obținut?

Bibliografie

Eclat. 2025. „Measuring g Using a Smartphone Pendulum for A-Level Physics Practicals”. Measuring g Using a Smartphone Pendulum for A-Level Physics Practicals. https://eclatinstitute.sg/blog/Measuring-g-Using-Smartphone-Pendulum.
IOP. 2025. „Forced Vibrations and Resonance | IOPSpark”. https://spark.iop.org/collections/forced-vibrations-and-resonance.
Wikipedia. 2025. „Pendulum”. În Wikipedia. iulie 5. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pendulum&oldid=1298843894.
Xue, QiLin. 2020. „Determining the Q Factor of a Homemade Pendulum”. https://xueqilin.me/engsci-2t4/phy180/labs/lab-2/lab-pendulum-1.pdf.

PDF: https://www.telework.ro/ro/e-books/pendulul-fizic-si-factorul-q/

Descoperă mai multe la MultiMedia

Abonează-te ca să primești ultimele articole prin email.

Pendulul fizic și factorul Q

Rezumat

Introducere și concepte de bază

Materiale necesare

Procedura experimentală

1. Montarea pendulului și calibrarea inițială

2. Măsurarea perioadei în funcție de lungime (determinarea lui g)

3. Observarea amortizării și determinarea factorului Q

Extinderi și discuții suplimentare