Legea lui Snell și unghiul Brewster

© 2025 Nicolae Sfetcu

 

Sfetcu, Nicolae (2025). ”Legea lui Snell și unghiul Brewster”, în Index Academic, I 2025, DOI: 10.58679/IA33219

 

PDF: https://www.indexacademic.ro/pdf/legea-lui-snell-si-unghiul-brewster/

HTML: https://www.telework.ro/ro/legea-lui-snell-si-unghiul-brewster/

 

Concepte: refracție, polarizare.
Ce faci: laser printr-un vas dreptunghiular cu apă; notezi unghiurile cu un raportor.
Măsori: n din sini și sinr. Cu ochelari polarizanți găsești unghiul Brewster.
Extinde: soluții cu zahăr/sare → variația lui n.

 

Cuprins

Legea lui Snell și unghiul Brewster 1

Rezumat 2

Concepte cheie. 2

Refracția luminii 2

Polarizarea luminii și unghiul Brewster 3

Materiale și metodă. 3

Montaj 3

Măsurători de refracție. 4

Determinarea unghiului Brewster 4

Experiment didactic. 5

1) Obiective. 5

2) Siguranță și bune practici 6

3) Materiale. 6

4) Configurare și calibrare. 6

5) Metodologie de măsurare. 7

6) Prelucrarea datelor 7

7) Surse de eroare și îmbunătățiri 8

8) Exemplu de calcule (date fictive) 8

Extensii experimentale. 9

Soluții cu zahăr/sare. 9

Dispersie și lungime de undă. 9

Extensii teoretice (nivel universitar) 9

Ecuațiile Fresnel 9

Dispersie optică. 9

Polarimetre și aplicații 10

Interfețe multiple și modele Maxwell 10

Fișă de laborator 10

Idei de proiect (pentru elevi/studenți) 10

Notă metodologică pentru profesori 10

Bibliografie. 10

 

Rezumat

Lucrarea prezintă concepte fundamentale de optică — refracția și polarizarea luminii — printr-un experiment didactic accesibil elevilor și studenților.

Se explică legea lui Snell, care descrie relația dintre unghiurile de incidență și refracție și indicii de refracție ai mediilor, precum și unghiul Brewster, un unghi special la care lumina reflectată devine complet polarizată.

Experimentul propus folosește un laser, un vas transparent cu apă, un raportor și un polarizor. Prin măsurători succesive, se determină indicele de refracție al apei și se identifică unghiul Brewster, valorile obținute fiind comparate cu cele teoretice. Sunt descrise metode de prelucrare a datelor, estimarea incertitudinilor, surse de eroare și îmbunătățiri posibile.

Lucrarea include și extensii experimentale: soluții cu zahăr/sare pentru studiul variației indicelui de refracție, utilizarea mai multor lungimi de undă pentru analiza dispersiei, precum și extensii teoretice (ecuațiile lui Fresnel, legea lui Malus, modele de dispersie, aplicații polarimetrice).

Documentul conține o fișă de laborator structurată, recomandări metodologice pentru profesori și idei de proiecte pentru elevi/studenți. Bibliografia oferă resurse suplimentare pentru aprofundarea fenomenelor optice.

Cuvinte cheie: optică, refracția luminii, polarizarea luminii, experiment, legea lui Snell, unghiul Brewster, fișă de laborator

Concepte cheie

Refracția luminii

Fenomenul de schimbare a direcției de propagare a luminii la trecerea printr-o interfață între două medii cu indici de refracție diferiți (Sfetcu 2018). Legea lui Snell afirmă că sinusurile unghiurilor de incidență și de refracție se află în raportul indicilor de refracție ai mediilor (n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂) (Sfetcu 2018). În practică, la trecerea luminii laser din aer (n₁≈1) în apă (n₂≈1,33), vom observa că sin θ₁/sin θ₂ ≈ 1,33. Indicele de refracție al mediului din aval (de exemplu apa) se poate determina astfel din relația n = sinθ₁/sinθ₂.

Polarizarea luminii și unghiul Brewster

Lumina naturală este, în general, nepolarizată (vectorul câmp electric oscilează aleator), în timp ce lumina polarizată are o direcție de oscilație preferențială. La un anumit unghi de incidență, numit unghiul Brewster θ_B, raza reflectată de la o suprafață dielectrică devine complet polarizată (într-un plan fix) (Lectii-Virtuale 2025). Acest unghi se obține când planurile razelor reflectată și refractată sunt perpendiculare (Ciobanu et al. 2022). Legea lui Brewster dă relația tan θ_B = n₂/n₁ (Ciobanu et al. 2022) (unde n₁, n₂ sunt indicii mediilor). În practică, pentru aer→apă (n₁≈1, n₂≈1,33) rezultă tan θ_B≈1,33, deci θ_B≈53°. La acest unghi lumina reflectată are vibrațiile electrice în planul suprafeței, ceea ce înseamnă că un polarizor plasat cu axa verticală (de ex. ochelari polarizanți) va bloca complet lumina reflectată (Ciobanu et al. 2022).

Materiale și metodă

Un setup pe masă cu laserul pe suport, vasul transparent, fasciculul marcat cu linii luminoase colorate, un raportor și un polarizor (ochelari) la raza reflectată.

Montaj

Se folosește un fascicul laser colimat (ex. He–Ne roșu) îndreptat spre un vas dreptunghiular transparent umplut cu apă. Se trasează norma la suprafața apei (linie de referință perpendiculară pe suprafață) și pe pereții vasului. Laserul și vasul se poziționează pe o masă stabilă, astfel încât fasciculul să poată fi reglat la diferite unghiuri față de normală.

Măsurători de refracție

Pentru fiecare poziție a fasciculului, măsurați unghiul de incidență θ₁ (între fascicul și normală) și unghiul de refracție θ₂ al fasciculului refractat în apă, folosind raportorul. Calcul: aplicați legea lui Snell, n = sinθ₁/sinθ₂ (cu n₁≈1 pentru aer) pentru a determina indicele refracției apei (Sfetcu 2018). Operația se poate repeta pentru câteva seturi de unghiuri pentru a verifica constanța indicelui.

Determinarea unghiului Brewster

Puneți în calea fasciculului reflectat un polarizor liniar (de ex. un ochelar polarizat) și ajustați unghiul de incidență al fasciculului laser. La un anumit unghi θ_incident = θ_B, lumina reflectată observată prin polarizor dispare (intensitatea devine minimă), deoarece este polarizată perpendicular pe axa polarizatorului (Ciobanu et al. 2022) (Lectii-Virtuale 2025). Acest unghi este unghiul Brewster al interfeței apă–aer. Formula tan θ_B = n (din legea lui Brewster (Ciobanu et al. 2022)) poate fi folosită pentru a calcula n (sau invers, se compară unghiul măsurat cu valoarea teoretică).

Experiment didactic

Schiță schematică simplă (tip diagramă didactică) – arată vasul dreptunghiular cu apă, fasciculul laser incident, raza refractată și cea reflectată, normala și unghiurile 𝜃₁, 𝜃₂, respectiv 𝜃_𝐵.

1) Obiective

Determinarea indicelui de refracție al apei (și al unor soluții apă–zahăr/sare) din măsurători unghiulare folosind Legea lui Snell.

• Identificarea unghiului Brewster pentru interfața aer–apă și verificarea relației tan𝜃_𝐵 = 𝑛_𝑎𝑝ă/𝑛_𝑎𝑒𝑟.
• Introducere în polarizare; verificarea calitativă (și, opțional, cantitativă) a polarizării luminii reflectate la 𝜃_𝐵 cu un polarizor.
• Formarea deprinderilor de: aliniere optică, evaluarea incertitudinilor, regresie liniară și compararea rezultatelor obținute prin metode diferite.

2) Siguranță și bune practici

 

• Laser clasa 2/3R (≤ 5 mW): nu priviți direct în fascicul, evitați reflexiile spre ochi. Purtați ochelari de protecție dacă aveți acces la ei; țineți fasciculul sub nivelul ochilor.
• Asigurați masa de lucru anti-alunecare; fixați vasul și raportorul. Ștergeți imediat scurgerile de apă/soluții.
• Nu folosiți pahare cu muchii ciobite; manevrați sticla cu atenție.

3) Materiale

Optică și măsurare

• Pointer laser colimat (roșu ~650 nm; opțional: verde ~520 nm pentru studiul dispersiei) + suport reglabil.
• Vas dreptunghiular transparent (sticlă/Plexiglas), min. 10×5×5 cm.
• Raportor semicircular (0–180°) sau goniometru cu bază; riglă milimetrică; ecran A4 (hârtie) pentru trasarea razelor.
• Marker fin, bandă adezivă, hârtie milimetrică.
• Polarizor liniar (ochelari polarizanți) +, opțional, un al doilea polarizor rotativ cu gradații.
• Termometru (pentru temperatura apei/soluțiilor), opțional luxmetru (aplicație telefon sau senzor dedicat) pentru intensitate relativă.

Pentru soluții

• Zahăr cristalin și/sau sare (NaCl).
• Balanță (±0,1 g) și cilindru gradat (±1 mL) / pahar Berzelius gradat.
• Apă distilată/deionizată.

4) Configurare și calibrare

1. Așezați foaia A4 pe masă și lipiți raportorul astfel încât centrul (originea) să coincidă cu marginea exterioară a vasului (interfața aer–apă proiectată pe hârtie). Trasați normala la interfață (linie 0°/90°).
2. Umpleți vasul cu apă până la 3–4 cm. Notați temperatura lichidului (n depinde slab de T; pentru apă la ~20–25 °C, n≈1,333).
3. Aliniați laserul astfel încât fasciculul să atingă interfața apă–aer exact în centrul raportorului și să se poată varia 𝜃₁ (unghiul de incidență față de normală) între ~10° și ~70°.
4. Marcați traseele razei incidente, refractate și reflectate pe hârtie pentru un test inițial; verificați că punctul de incidență rămâne același la schimbarea unghiului (reduce paralaxa).

5) Metodologie de măsurare

5.1. Refracția (Legea lui Snell)

1. Setați un 𝜃₁ inițial (ex. 20°). Marcați pe hârtie direcția razei incidente și a celei refractate în apă (printr-o față a vasului). Folosiți rigla pentru a prelungi razele ~8–10 cm pentru acuratețe.
2. Măsurați: 𝜃₁ (față de normală, în aer) și 𝜃₂ (față de normală, în apă) cu raportorul (±0,5° tipic). Notați în tabel.
3. Repetați pentru 𝜃₁ ∈ {20°, 30°, 40°, 50°, 60°}. Evitați valori prea mici (< 10°) sau prea mari (> 70°) unde erorile unghiulare cresc.
4. Calcul imediat: pentru fiecare set, calculați 𝑛_𝑎𝑝𝑎 = sin𝜃₁/sin𝜃₂ (presupunând 𝑛_𝑎𝑒𝑟 ≈ 1).
5. Verificare grafică (recomandat): reprezentați sin𝜃₁ pe axa y și sin𝜃₂ pe axa x; panta 𝑚 = sin𝜃₁/sin𝜃₂  este o estimare a lui 𝑛_𝑎𝑝𝑎. Aplicați o regresie liniară 𝑦 = 𝑚𝑥 (fără termen liber) și comparați panta cu media valorilor punctuale.

5.2. Unghiul Brewster și polarizarea reflexiei

Mențineți interfața aer–apă plană și curată (fără valuri/spumă). Direcționați laserul astfel încât să obțineți o rază reflectată vizibilă pe hârtie.

Țineți ochelarii polarizanți în calea razei reflectate (sau priviți spotul reflectat prin ochelari). Rotiți unghiul de incidență 𝜃 lent; observați schimbarea intensității spotului reflectat.

Criteriu: la 𝜃 = 𝜃_𝐵, spotul reflectat dispare (minim pronunțat). Notați 𝜃_𝐵 cu incertitudine (de ex. ±1°), luând media a 3–5 determinări (apropiere dinspre unghiuri mai mici și mai mari).

(Opțional) Rotiți polarizorul ~90°: intensitatea reflectată la 𝜃_𝐵 ar trebui să treacă de la minim la maxim (test de polarizare, legea lui Malus). Dacă aveți un luxmetru, măsurați I(φ) vs φ (unghiul dintre axa polarizorului și direcția de polarizare) și verificați 𝐼(𝜑) ∝ cos²𝜑.

Calcul: 𝑛_{𝑎𝑝𝑎,𝐵} = tan𝜃_𝐵. Comparați cu 𝑛_𝑎𝑝𝑎 din Snell.

6) Prelucrarea datelor

6.1. Tabele recomandate

Tabel A — Refracție (aer → apă)

Nr.	θ1 [°]	θ2 [°]	sinθ1	sinθ2	n = sinθ1/sinθ2
1	20,0	14,9	0,342	0,258	1,33
2	30,0	22,1	0,500	0,376	1,33
3	40,0	29,1	0,643	0,486	1,32
4	50,0	35,0	0,766	0,574	1,33
5	60,0	40,8	0,866	0,651	1,33

Valorile sunt exemplificative.

Tabel B — Unghi Brewster

Determinare	θB [°]	Observație (minim intensitate)
1	53,0	spot aproape invizibil
2	53,5	minim clar
3	52,5	minim clar

𝜃ˉ𝐵 = 53,0° (exemplu); 𝑛_{𝑎𝑝𝑎,𝐵} = tan53,0° ≈ 1,33

Model: sin𝜃₁ = 𝑛 sin𝜃₂. Fixați originea (termen liber 0). Panta 𝑚 estimată prin minimul pătratelor dă 𝑛. Raportați 𝑛 ± 𝑢(𝑛) (eroarea standard a pantei).

6.3. Estimarea incertitudinilor

• Rezoluția unghiului: 𝑢(𝜃) ~ 0,5–1,0°. Propagare la 𝑛 = sin𝜃1/sin𝜃2:

𝑢(𝑛) ≈ 𝑛 √((cot𝜃₁𝑢(𝜃₁))² + (tan𝜃₂𝑢(𝜃₂))²)    (𝜃 în radiani)

• Repetabilitate: folosiți 3–5 repetări per unghi; raportați media și abaterea standard.
• Compararea metodelor: diferența relativă între 𝑛_𝑎𝑝𝑎 (Snell) și 𝑛_{𝑎𝑝𝑎,𝐵} (Brewster):

𝛿 = ∣𝑛_𝑎𝑝𝑎 − 𝑛_{𝑎𝑝𝑎,𝐵}∣/(𝑛_𝑎𝑝𝑎 + 𝑛_{𝑎𝑝𝑎,𝐵})² × 100%

6.4. Grafică recomandată

• Grafic 1: sin𝜃1(y) vs. sin𝜃2(x), cu linie de regresie 𝑦 = 𝑛𝑥
• Grafic 2 (opțional): intensitatea reflectată relativă vs. 𝜃 în vecinătatea lui 𝜃_𝐵 (pentru a vedea minimul). Sau 𝐼(𝜑) vs. cos²𝜑 (linie dreaptă) pentru legea lui Malus.

7) Surse de eroare și îmbunătățiri

• Paralaxă în citirea unghiurilor; grosimea peretelui vasului (interfață suplimentară aer–sticlă–apă) → recomandat: țintiți incidența pe suprafața apă–aer superioară pentru Brewster și folosiți pereți subțiri pentru refracție laterală.
• Divergența fasciculului și spotul mare → folosiți colimare cât mai bună / distanțe scurte.
• Valuri/particule în apă → lăsați lichidul să se liniștească; folosiți apă limpede.
• Aliniere: păstrați punctul de incidență fix; marcați clar normala.

8) Exemplu de calcule (date fictive)

• Din Tabelul A, media 𝑛 = 1,33; abatere standard ~0,01; u(n) (din propagare) ~0,01 → 𝑛 = 1,33 ± 0,01
• Din Tabelul B, 𝜃ˉ_𝐵 = 53,0° ± 1,0° → 𝑛_𝐵 = tan53,0° = 1,33 ± 0,03 (prin propagare: 𝑢(𝑛_𝐵) ≈ sec²𝜃_𝐵𝑢(𝜃_𝐵).
• Concordanță: diferență relativă 𝛿 < 2% → metodele sunt compatibile în limitele incertitudinilor.

Extensii experimentale

Soluții cu zahăr/sare

Se pot prepara soluții cu concentrații diferite de zahăr sau sare în apă. Adăugarea de substanță dizolvată crește indicele de refracție al soluției, iar studiile arată că n crește liniar cu concentrația soluției de zahăr (Belay și Assefa 2018). Astfel, la aceeași incidență, raza refractată va devia mai mult spre normal, și se observă o creștere a unghiului Brewster (tan θ_B = n). Se pot măsura noile valori ale n prin Snell și se poate verifica relația teoretică cu unghiul Brewster.

Preparare soluții

• Pregătiți 4–5 soluții de zahăr cu concentrații masice aproximative: 0%, 5%, 10%, 15%, 20% (ex.: pentru 100 mL soluție, dizolvați 0; 5; 10; 15; 20 g zahăr și completați cu apă la 100 mL). Amestecați până la dizolvare completă; notați temperatura.
• Repetați secțiunea 5.1 pentru fiecare soluție. (Păstrați aceeași geometrie/raportor.)

Analiză

• Pentru fiecare concentrație c (g/100 mL), determinați 𝑛(𝑐) prin metoda Snell (și opțional 𝑛_𝐵(𝑐) = tan𝜃_𝐵).
• Reprezentați 𝑛 în funcție de c. Pentru soluții diluate, 𝑛(𝑐) este adesea aproape liniar: 𝑛(𝑐) ≈ 𝑛₀ + 𝑘𝑐. Determinați panta k (sensibilitatea optică).
• (Universitar) Ajustați un model Lorentz–Lorenz sau Gladstone–Dale pentru a lega 𝑛 de compoziție, sau extrageți dispersia folosind două lasere (n(λ)).

Dispersie și lungime de undă

Folosind lasere cu lungimi de undă diferite (ex. diodă roșie, verde, He–Ne) se poate studia dispersia soluției. De exemplu, s-a găsit că soluțiile de zahăr au indici diferiți pentru laser roșu, verde sau He–Ne (Belay și Assefa 2018). Aceasta permite calcularea unei relații Cauchy pentru n(λ). Extinderea implică introducerea conceptului de dispersie (dependența n de frecvență) în legea lui Snell (Sfetcu 2018).

Extensii teoretice (nivel universitar)

Ecuațiile Fresnel

La nivel avansat se studiază ecuațiile lui Fresnel, care dau coeficienții de reflexie și transmisie pentru componentele de polarizare s și p. Din acestea se deduce că, la unghiul Brewster, reflectivitatea componentei p devine zero, explicând polarizarea completă a razei reflectate (Ciobanu et al. 2022) (Sfetcu 2018).

Dispersie optică

Se poate aborda teoretic variația indicelui de refracție în funcție de lungimea de undă (dispersie), ce duce la fenomene precum curcubeul în prismă (Sfetcu 2018). Pe baza masei și polarizabilității substanțelor dizolvate se poate aplica legea Lorentz–Lorenz pentru a modela variațiile indicelui unei soluții în funcție de concentrație.

Polarimetre și aplicații

Pot fi studiate metode avansate de măsurare a indicelui (refractometre) și tehnici polarimetrice. De exemplu, legea lui Malus și analiza polarizării pot fi folosite pentru a cuantifica gradul de polarizare al luminii reflectate la diferiți pași. Polaroidurile și cristalele birefringente pot fi introduse ca extinderi practice.

Interfețe multiple și modele Maxwell

Se poate extinde la refracția la interfețe multiple (ex. aer–sticlă–apă) și derivarea legii lui Snell din ecuațiile Maxwell generale, incluzând condiții de continuitate la interfață.

 

În rezumat, acest experiment de bază de nivel liceal poate fi detaliat teoretic și extins cu studii de dispersie, ecuații electromagnetice și analize polarimetrice avansate. În munca de laborator, datele se organizează tabelar, se efectuează calcule conform legii lui Snell (Sfetcu 2018) și se interpretează fenomenele de polarizare observate (Lectii-Virtuale 2025) (Ciobanu et al. 2022).

Fișă de laborator

O fișă standard ar include câmpuri precum: Titlul experimentului, Scopul (ex. determinarea indicelui refracției al apei și a unghiului Brewster), Materiale/aparate (laser, vas dreptunghiular, apă, raportor, polarizor, suporturi), Procedură (descrierea pașilor principali). Apoi se completează un tabel de date: coloane pentru unghi de incidență θ₁, unghi de refracție θ₂ și indicele calculat n. Se adaugă și o coloană pentru observația polarizării (ex. notați unghiul la care lumina reflectată este blocată de polarizor). La final, se scriu rezultatele și concluziile: de exemplu indicele mediu al apei calculat și unghiul Brewster comparat cu valoarea teoretică. Se includ observații despre erori posibile (aliniere, dispersie a fasciculului) și interpretări (de ex. explicarea polarizării reflectate la Brewster).

Idei de proiect (pentru elevi/studenți)

• Calibrare refractometrică: Determinați 𝑛(𝑐) pentru 6–8 concentrații de zahăr; ajustați un model liniar și estimați limita de detecție (LOD) pe baza zgomotului unghiular.
• Malus cantitativ: Măsurați 𝐼(𝜑) la 𝜃𝐵 cu un luxmetru; ajustați 𝐼 = 𝐼₀cos²𝜑; estimați contrastul polarizorului.
• Dispersie simplă: Repetați pentru 𝜆_{𝑟𝑜ș𝑢} și 𝜆_{𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒}; deduceți Δ𝑛 și aproximați coeficienții relației Cauchy pe un interval îngust.

Notă metodologică pentru profesori

• Încurajați măsurători redundante (în ambele sensuri de variație a unghiului), schițe clare și jurnal de erori.
• Acceptați două niveluri de analiză: (a) medii simple și propagări de erori elementare; (b) regresii și comparații statistice (test t pentru pante/medii) la clase avansate.

Bibliografie

• Belay, A, și G Assefa. 2018. „Concentration, Wavelength and Temperature Dependent Refractive Index of Sugar Solutions and Methods of Determination Contents of Sugar in Soft Drink Beverages using Laser Lights”. Journal of Lasers, Optics & Photonics 5 (187). https://www.hilarispublisher.com/open-access/concentration-wavelength-and-temperature-dependent-refractive-indexof-sugar-solutions-and-methods-of-determination-contents-of-sug-2469-410X-1000187.pdf.
• Ciobanu, Nellu, Viorica Tonu, și Victor Vovc. 2022. „FIZICĂ OPTICĂ CU ELEMENTE DE OPTICĂ GEOMETRICĂ”. https://fiziologie.usmf.md/sites/default/files/inline-files/Fizica%20optica_Ciobanu_CIP.pdf.
• Lectii-Virtuale. 2025. „Polarizarea luminii: definiţie şi metode de obţinere. Legile Brewster şi Malus.” Lectii Virtuale. https://lectii-virtuale.ro/teorie/polarizarea-luminii-definitie-si-metode-de-obtinere-legile-brewster-si-malus.
• Sfetcu, Nicolae. 2018. „Refracția – MultiMedia”. https://www.telework.ro/ro/refractia/.

PDF: https://www.telework.ro/ro/e-books/legea-lui-snell-si-unghiul-brewster/