Formarea imaginii prin reflexie – Ecuația oglinzii

Pentru o oglindă plană, am arătat că imaginea formată are aceeași înălțime și orientare ca și obiectul și este situată la aceeași distanță în spatele oglinzii ca și obiectul în fața oglinzii. Deși situația este puțin mai complicată pentru oglinzile curbate, utilizarea geometriei duce la formule simple care leagă distanțele dintre obiect și imagine de distanțele focale ale oglinzilor concave și convexe.

Luați în considerare obiectul OP prezentat în Figura 2.10. Centrul de curbură al oglinzii este etichetat C și se află la o distanță R de vârful oglinzii, așa cum este marcat în figură. Distanțele dintre obiect și imagine sunt etichetate d_o și _di, iar înălțimile obiectului și imaginii sunt etichetate ho și respectiv hi. Deoarece unghiurile ϕ și ϕ′ sunt unghiuri interioare alternative, știm că au aceeași magnitudine. Cu toate acestea, ele trebuie să difere în semn dacă măsurăm unghiurile de pe axa optică, deci ϕ = −ϕ′. Un scenariu analog este valabil pentru unghiurile θ și θ′. Legea reflexiei ne spune că acestea au aceeași magnitudine, dar semnele lor trebuie să difere dacă măsurăm unghiurile de pe axa optică. Astfel, θ = −θ′. Luând tangenta unghiurilor θ și θ′ și folosind proprietatea tan(−θ) = −tanθ, ne dă

tanθ = h_o/d_o, tanθ′ = −tanθ = h_i/d_i ⇒ h_o/d_o = −h_i/d_i sau −h_o/h_i = d_o/d_i.   (2.3)

Figura 2.10 Imagine formată de o oglindă concavă.

În mod similar, luând tangenta dintre ϕ și ϕ′ se obține

tanϕ = h_o/(d_o − R), tanϕ′ = −tanϕ = h_i/(R − d_i) ⇒ h_o/(d_o – R) = − h_i/(R – d_i) sau −h_o/h_i = (d_o − R)/(R − d_i).

Combinând aceste două rezultate se obține

d_o/d_i = (d_o − R)/(R − d_i).

După puțină algebră, aceasta devine

1/d_o + 1/d_i = 2R.   (2.4)

Nu este necesară nicio aproximare pentru acest rezultat, deci este exact. Cu toate acestea, așa cum s-a discutat mai sus, în aproximarea cu unghiuri mici, distanța focală a unei oglinzi sferice este jumătate din raza de curbură a oglinzii, sau f = R/2. Introducerea acestei valori în ecuația 2.3 dă ecuația oglinzii:

1/do + 1/di = 1/f.   (2.5)

 

Ecuația oglinzii leagă distanțele față de imagine și obiect de distanța focală și este valabilă doar în aproximarea cu unghiuri mici. Deși a fost derivată pentru o oglindă concavă, este valabilă și pentru oglinzi convexe (demonstrarea acestui lucru este lăsată ca exercițiu). Putem extinde ecuația oglinzii la cazul unei oglinzi plane, observând că o oglindă plană are o rază de curbură infinită. Aceasta înseamnă că punctul focal este la infinit, deci ecuația oglinzii se simplifică la

do = −di   (2.6)

care este aceeași cu ecuația 2.1 obținută anterior.

Observați că am fost foarte atenți la semne în derivarea ecuației oglinzii. Pentru o oglindă plană, distanța față de imagine are semnul opus distanței față de obiect. De asemenea, imaginea reală formată de oglinda concavă din Figura 2.10 se află pe partea opusă a axei optice față de obiect. În acest caz, înălțimea imaginii ar trebui să aibă semnul opus înălțimii obiectului. Pentru a urmări semnele diferitelor mărimi din ecuația oglinzii, introducem acum o convenție de semne.

Convenție de semne pentru oglinzi sferice

Utilizarea unei convenții de semne consistente este foarte importantă în optica geometrică. Aceasta atribuie valori pozitive sau negative pentru mărimile care caracterizează un sistem optic. Înțelegerea convenției de semne vă permite să descrieți o imagine fără a construi o diagramă a razelor. Acest text folosește următoarea convenție de semne:

1. Distanța focală f este pozitivă pentru oglinzile concave și negativă pentru oglinzile convexe.
2. Distanța de imagine d_i este pozitivă pentru imaginile reale și negativă pentru imaginile virtuale.

Observați că regula 1 înseamnă că raza de curbură a unei oglinzi sferice poate fi pozitivă sau negativă. Ce înseamnă să ai o rază de curbură negativă? Aceasta înseamnă pur și simplu că raza de curbură pentru o oglindă convexă este definită ca fiind negativă.

Puteți întâlni și alte convenții de semne. Atâta timp cât sunt aplicate și interpretate în mod consecvent, ele produc aceleași rezultate.

Mărirea imaginii

Să folosim convenția de semne pentru a interpreta în continuare derivarea ecuației oglinzii. În derivarea acestei ecuații, am constatat că înălțimile obiectului și imaginii sunt legate de

−h_o/h_i = d_o/d_i.   (2.7)

Vezi ecuația 2.3. Atât obiectul, cât și imaginea formată de oglindă în Figura 2.10 sunt reale, deci distanțele dintre obiect și imagine sunt ambele pozitive. Cel mai înalt punct al obiectului este deasupra axei optice, deci înălțimea obiectului este pozitivă. Imaginea, însă, este sub axa optică, deci înălțimea imaginii este negativă. Astfel, această convenție de semn este consistentă cu derivarea noastră a ecuației oglinzii.

Ecuația 2.7 descrie de fapt mărirea liniară (adesea numită pur și simplu „mărire”) a imaginii în funcție de distanțele dintre obiect și imagine. Prin urmare, definim mărirea adimensională m după cum urmează:

m = h_i/h_o.   (2.8)

Dacă m este pozitiv, imaginea este dreaptă, iar dacă m este negativ, imaginea este inversată. Dacă |m| > 1, imaginea este mai mare decât obiectul, iar dacă |m| < 1, imaginea este mai mică decât obiectul. Cu această definiție a măririi, obținem următoarea relație între distanțele verticale și orizontale dintre obiect și imagine:

m = hi/ho = −di/do.   (2.9)

 

Aceasta este o relație foarte utilă deoarece vă permite să obțineți mărirea imaginii din distanțele dintre obiect și imagine, pe care le puteți obține din ecuația oglinzii.

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2025 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3