Entropia cuantică comună în teoria informației

Entropia cuantică comună generalizează entropia comună clasică în contextul teoriei informației cuantice. Intuitiv, având în vedere două stări cuantice ρ și σ, reprezentate ca operatori de densitate care sunt subpărți ale unui sistem cuantic, entropia cuantică comună este o măsură a incertitudinii totale sau a entropiei sistemului comun. Se scrie S(ρ,σ) sau H(ρ,σ) în funcție de notația utilizată pentru entropia von Neumann. Ca și alte entropii, entropia cuantică comună se măsoară în biți, adică logaritmul este luat în baza 2.

În acest articol, vom folosi S ( ρ , σ ) pentru entropia cuantică comună.

Context

În teoria informației, pentru orice variabilă aleatoare clasică X, entropia Shannon clasică H(X) este o măsură a cât de incerți suntem cu privire la rezultatul lui X. De exemplu, dacă X este o distribuție de probabilitate concentrată într-un punct, rezultatul lui X este sigur și, prin urmare, entropia sa H(X) = 0. La cealaltă extremă, dacă X este distribuția uniformă de probabilitate cu n valori posibile, intuitiv ne-am aștepta ca X să fie asociat cu cea mai mare incertitudine. Într-adevăr, astfel de distribuții uniforme de probabilitate au o entropie maximă posibilă H(X) = log₂(n).

În teoria informației cuantice, noțiunea de entropie este extinsă de la distribuțiile de probabilitate la stările cuantice sau matricele de densitate. Pentru o stare ρ, entropia von Neumann este definită prin

-Tr ρ log ρ.

Aplicând teorema spectrală, sau calculul funcțional Borel pentru sisteme infinit dimensionale, vedem că aceasta generalizează entropia clasică. Semnificația fizică rămâne aceeași. O stare mixtă maximal, analogul cuantic al distribuției uniforme a probabilității, are entropie von Neumann maximă. Pe de altă parte, o stare pură, sau o proiecție de rang unu, va avea entropie von Neumann zero. Scriem entropia von Neumann S(ρ) (sau uneori H(ρ).

Definiție

Dat fiind un sistem cuantic cu două subsisteme A și B, termenul de entropie cuantică comună se referă pur și simplu la entropia von Neumann a sistemului combinat. Aceasta se face pentru a o distinge de entropia subsistemelor. În simboluri, dacă sistemul combinat este în starea ρ^AB, entropia cuantică comună este atunci

S(ρ^A,ρ^B) = S(ρ^AB) = − Tr (ρ^AB log(ρ^AB) ).

Fiecare subsistem are propria entropie. Starea subsistemelor este dată de operația de trasare parțială.

Proprietăți

Entropia comună clasică este întotdeauna cel puțin egală cu entropia fiecărui sistem individual. Nu este cazul entropiei cuantice comune. Dacă starea cuantică ρ^AB prezintă inseparabilitate cuantică, atunci entropia fiecărui subsistem poate fi mai mare decât entropia comună. Acest lucru este echivalent cu faptul că entropia cuantică condiționată poate fi negativă, în timp ce entropia condiționată clasică poate să nu fie niciodată.

Luați în considerare o stare maxim inseparată, cum ar fi o stare Bell. Dacă ρ^AB este o stare Bell, să zicem,

|Ψ⟩ = 1/√2 (|00⟩ + |11⟩),

atunci sistemul total este o stare pură, cu entropie 0, în timp ce fiecare subsistem individual este o stare mixtă maximă, cu entropie von Neumann maximă log2 = 1. Astfel, entropia comună a sistemului combinat este mai mică decât cea a subsistemelor. Acest lucru se datorează faptului că, pentru stările înlănțuite, stările definite nu pot fi atribuite subsistemelor, rezultând o entropie pozitivă.

Observați că fenomenul de mai sus nu poate apărea dacă o stare este o stare pură separabilă. În acest caz, stările reduse ale subsistemelor sunt, de asemenea, pure. Prin urmare, toate entropiile sunt zero.

Relații cu alte măsuri de entropie

Entropia cuantică comună S(ρ^AB) poate fi utilizată pentru a defini entropia cuantică condiționată:

S(ρ^A|ρ^B) =_def S(ρ^A,ρ^B) − S(ρ^B)

și informația reciprocă cuantică:

I(ρ^A : ρ^B) =_def S(ρ^A) + S(ρ^B) − S(ρ^A,ρ^B)

Aceste definiții sunt în paralel cu utilizarea entropiei comune clasice pentru a defini entropia condiționată și informația reciprocă.

(Include texte traduse și adaptate din Wikipedia de Nicolae Sfetcu)