Porți logice cuantice – Exerciții

1. Fiecare interacțiune cu un computer clasic este cauzată de un cod care instruiește porțile logice clasice să opereze pe biți clasici. În mod similar, un calcul pe un computer cuantic este cauzat de codificarea porților logice cuantice pentru a acționa asupra qubiților.
2. Porțile comune cu un singur qubit includ porțile X, Z și H (Hadamard).
3. Fiecare poartă cuantică poate fi reprezentată matematic ca o matrice unitară care acționează asupra qubiților.

Exerciții

1. 1. Folosește multiplicarea matricei pentru a arăta cum aplicarea unei porți X inversează:

(a) Un qubit în starea |0⟩.

(b) Un qubit în starea generală |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩.

2. Explicați relația dintre un divizor de fascicul și o poartă Hadamard.
3. 3. Un qubit |0⟩ este trecut printr-o poartă Hadamard. Măsurăm starea qubitului ca |1⟩. Care dintre următoarele variante descrie cel mai bine rezultatul dacă efectuăm o măsurare pe qubit a doua oară fără reinițializare?

(A) |0⟩

(B) |1⟩

(C) 50% șansă de |0⟩ sau |1⟩

4. Presupunem că un qubit reprezintă un bec care poate fi măsurat fie ca PORNIT, fie ca OPRIT.

(a) Becul este inițial PORNIT. Ce poartă ați folosi pentru a-l opri?

(b) Becul este inițial PORNIT și trece printr-o poartă Hadamard. Ce măsurați ca ieșire?

(c) Becul este inițial PORNIT și a trecut prin două porți Hadamard în serie. Ce măsurați ca ieșire?

5. 5. Explicați cum este implementată poarta Hadamard în experimentul Stern-Gerlach.
6. Explicați ieșirea interferometrului Mach-Zehnder folosind ceea ce ați învățat despre porțile Hadamard.
7. 7. Folosiți multiplicarea matriceală pentru a demonstra

(a) Poarta Hadamard aplicată unui qubit cu starea |1⟩ îl transformă într-un |-⟩.

(b) O a doua poartă Hadamard îl readuce în starea |1⟩.

(c) Rezultatul după aplicarea porții Hadamard de două ori la o stare generală |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩.

8. Care dintre circuitele cuantice din Fig. 6.7 NU ar produce histograma prezentată în Fig. 6.4?

Fig. 6.7 Cinci circuite cuantice pentru Problema 8

9. 9. Folosiți multiplicarea matriceală pentru a arăta cum aplicarea porții Z la |+⟩ o schimbă în |-⟩.
10. Folosind doar porțile Hadamard și Z, proiectați un circuit cuantic care produce același rezultat ca o poartă X.
11. 11. Folosind simulatorul IBM Q, aplicați poarta Z unui qubit în următoarele stări inițiale și interpretați histograma măsurătorii.

(a) |0⟩

(b) |1⟩ (Indiciu: Trebuie mai întâi să inversați starea |0⟩ folosind poarta X.)

(c) |+⟩ (Indiciu: Trebuie mai întâi să creați starea |+⟩ folosind poarta H.)

(d) |-⟩ (Indiciu: Trebuie mai întâi să creați starea |-⟩ folosind porțile X și H.)

12. Care este histograma de măsurare așteptată produsă de circuitul din Fig. 6.8?

Fig. 6.8 Schema circuitului pentru Problema 12

13. 13. Arătați că poarta Hadamard este unitară și, prin urmare, reversibilă.

Capitolul 6 Soluții

1. 1. (a)

X|0⟩ = (0 1 / 1 0) (1 / 0) = (0 / 1) = |1⟩.   (7)

(b)

X|ψ⟩ = (0 1 / 1 0) (α / β) = (β / α) = β|0⟩ + α|1⟩.   (8)

3. 3. B; superpoziția s-a prăbușit într-o stare |1⟩ după măsurare.
4. 5. Trimiterea de electroni de spin up într-un SGA orizontal este identică cu aplicarea unei porți Hadamard la un qubit |0⟩.
5. 7. (a)

H|1⟩ = 1/√2 (1 1 / 1 −1) (0 / 1) = 1/√2 (1 / −1) = |-⟩   (9)

(b)

HH|1⟩ = 1/√2 (1 1 / 1 −1) (1 −1) = (0 / 1) = |1⟩.   (10)

(c)

HH|ψ⟩ = 1/√2 (1 1 / 1 −1) (1 1 / 1 −1) (α / β) = (α / β).   (11)

9.

Z|+⟩ = 1/√2 (1 0 / 0 −1) (1 / 1) = 1/√2 (1 / −1) = |-⟩.   (12)

11. 11. (a) Poarta Z nu afectează starea |0⟩.

(b) Semnul stării |1⟩ este schimbat, dar acest lucru nu afectează probabilitățile și, prin urmare, nu poate fi văzut în histogramă.

(c) |+⟩ este schimbat într-un |-⟩, care apare ca 50% |0⟩ și |1⟩.

(d) |-⟩ este schimbat într-un |+⟩, care apare ca 50% |0⟩ și |1⟩.

13.

H^†H = ½ (1 1 / 1 −1) (1 1 / 1 −1) = ½ (2 0 / 0 2) = (1 0 / 0 1).   (13)

Efectuarea operației Hadamard de două ori este echivalentă cu înmulțirea cu matricea identitate. Prin urmare, qubitul rămâne neschimbat.

Sursa: Ciaran Hughes, Joshua Isaacson, Anastasia Perry, Ranbel F. Sun, Jessica Turner (2021) Quantum Computing for the Quantum Curious, Springer Cham, https://doi.org/10.1007/978-3-030-61601-4, licența CC BY 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu