Câmp magnetic datorat unui fir drept subțire

Cât de mult curent este necesar pentru a produce un câmp magnetic semnificativ, poate la fel de puternic ca și câmpul Pământului? Profesorii vă vor spune că liniile electrice aeriene creează câmpuri magnetice care interferează cu citirile busolei. Într-adevăr, când Oersted a descoperit în 1820 că un curent dintr-un fir afectează un ac al busolei, el nu avea de-a face cu curenți extrem de mari. Cum afectează forma firelor care transportă curent forma câmpului magnetic creat? Am observat în Forțele și câmpurile magnetice că o buclă de curent a creat un câmp magnetic similar cu cel al unui magnet cu bară, dar ce ziceți de un fir drept? Putem folosi legea Biot-Savart pentru a răspunde la toate aceste întrebări, inclusiv determinarea câmpului magnetic al unui fir drept lung.

Figura 12.5 prezintă o secțiune a unui fir drept infinit lung care transportă un curent I. Care este câmpul magnetic într-un punct P, situat la o distanță R de fir?

Figura 12.5 O secțiune a unui fir subțire, drept, purtător de curent. Variabila independentă θ are limitele θ₁ și θ₂.

Să începem prin a considera câmpul magnetic datorat elementului curent Idx⃗ situat în poziția x. Folosind regula mâinii drepte 1 din capitolul anterior, dx⃗ × rˆ iese din pagină pentru orice element de-a lungul firului. În punctul P, așadar, câmpurile magnetice datorate tuturor elementelor curente au aceeași direcție. Aceasta înseamnă că putem calcula câmpul net acolo evaluând suma scalară a contribuțiilor elementelor. Cu |dx⃗ × rˆ| = (dx)(1)sinθ, avem din legea Biot-Savart

(12.5)   B = μ₀/4π ∫_firIsinθdx/r².

Firul este simetric față de punctul O, așa că putem stabili limitele integrării de la zero la infinit și dublăm răspunsul, mai degrabă decât să integrăm de la infinitul negativ la infinitul pozitiv. Pe baza imaginii și a geometriei, putem scrie expresii pentru r și sinθ în termeni de x și R, și anume:

r = √(x² + R²)

sinθ = R/√(x² + R²).

Înlocuind aceste expresii în ecuația 12.5, integrarea câmpului magnetic devine

(12.6)   B = μ_oI/2π ∫^∞₀Rdx/(x² + R²)^3/2.

Evaluarea randamentelor integrale

(12.7)   B = μ_oI/2πR [x/(x² + R²)^1/2]^∞₀.

Înlocuirea limitelor ne oferă soluția

(12.8)   B = μoI/2πR.

 

Liniile de câmp magnetic ale firului infinit sunt circulare și centrate pe fir (Figura 12.6) și sunt identice în fiecare plan perpendicular pe fir. Deoarece câmpul scade odată cu distanța de la fir, distanța dintre liniile de câmp trebuie să crească în mod corespunzător cu distanța. Direcția acestui câmp magnetic poate fi găsită cu o a doua formă a regulii mâinii drepte (ilustrată în Figura 12.6). Dacă țineți firul cu mâna dreaptă astfel încât degetul mare să fie îndreptat de-a lungul curentului, atunci degetele se înfășoară în jurul firului în același sens ca B⃗.

Figura 12.6 Câteva linii de câmp magnetic ale unui fir infinit. Direcția lui B⃗ poate fi găsită cu o formă a regulii mâinii drepte.

Direcția liniilor de câmp poate fi observată experimental prin plasarea mai multor ace mici de busolă pe un cerc lângă fir, așa cum este ilustrat în Figura 12.7. Când nu există curent în fir, acele se aliniază cu câmpul magnetic al Pământului. Cu toate acestea, atunci când un curent mare este trimis prin fir, acele busolei sunt toate tangente la cerc. Pilitura de fier presărată pe o suprafață orizontală delimitează și liniile câmpului, așa cum se arată în Figura 12.7.

Figura 12.7 Forma liniilor de câmp magnetic ale unui fir lung poate fi văzută folosind (a) ace mici de busolă și (b) pilitură de fier.

EXEMPLUL 12.3 Calcularea câmpului magnetic datorită a trei fire Trei fire se găsesc în colțurile unui pătrat, toate transportând curenți de 2 amperi în pagină, așa cum se arată în Figura 12.8. Calculați mărimea câmpului magnetic în al patrulea colț al pătratului, punctul P, dacă lungimea fiecărei laturi a pătratului este de 1 cm. Figura 12.8 Trei fire au curent care curge în pagină. Câmpul magnetic este determinat la al patrulea colț al pătratului. Strategie Se calculează câmpul magnetic datorat fiecărui fir în punctul dorit. Distanța diagonală este calculată folosind teorema lui Pitagora. În continuare, direcția contribuției fiecărui câmp magnetic este determinată prin desenarea unui cerc centrat în punctul firului și spre punctul dorit. Direcția contribuției câmpului magnetic din acel fir este tangențială la curbă. În cele din urmă, lucrând cu acești vectori, rezultanta este calculată. Soluție Firele 1 și 3 au ambele aceeași mărime a contribuției câmpului magnetic în punctul P: B1 = B3 = μoI/2πR = (4π × 10−7 T⋅m/A)(2 A)2π(0,01 m) = 4 × 10−5 T. Firul 2 are o distanță mai mare și o contribuție la câmp magnetic în punctul P de: B2 = μoI/2πR = (4π × 10−7 T⋅m/A)(2 A)2π(0,01414 m) = 3 × 10−5 T. Sunt prezentați vectorii pentru fiecare dintre aceste contribuții la câmp magnetic. Câmpul magnetic în direcția x are contribuții de la firul 3 și componenta x a firului 2: Bnet x = −4 × 10−5 T − 2,83 × 10−5 T cos(45°) = −6 × 10−5 T. Componenta y este în mod similar contribuțiile din firul 1 și componenta y a firului 2: Bnet y = −4 × 10−5 T − 2,83 × 10−5 T sin(45°) = −6 × 10−5 T. Prin urmare, câmpul magnetic net este rezultatul acestor două componente: Bnet = √(B2net x + B2net y) Bnet = √((−6 × 10−5 T)2 + (−6 × 10−5 T)2) Bnet = 8 × 10−5 T. Semnificație Geometria din această problemă are ca rezultat contribuțiile câmpului magnetic în direcțiile x și y având aceeași mărime. Acest lucru nu este neapărat cazul dacă curenții au valori diferite sau dacă firele au fost amplasate în poziții diferite. Indiferent de rezultatele numerice, lucrul cu componentele vectorilor va produce câmpul magnetic rezultat în punctul dorit.

 

EXERCIȚIUL 12.3 Folosind Exemplul 12.3, menținând curenții la fel în firele 1 și 3, care ar trebui să fie curentul în firul 2 pentru a contracara câmpurile magnetice de la firele 1 și 3, astfel încât să nu existe câmp magnetic net în punctul P?

 

Sursa: University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere de Nicolae Sfetcu. © 2023 MultiMedia Publishing, Fizica, Vol. 1-3