Legile lui Kepler: Primele două legi ale mișcării planetare

Calea unui obiect prin spațiu se numește orbita lui. Kepler a presupus inițial că orbitele planetelor sunt cercuri, dar acest lucru nu i-a permis să găsească orbite care să fie în concordanță cu observațiile lui Brahe. Lucrând cu datele pentru Marte, el a descoperit în cele din urmă că orbita acelei planete avea forma unui cerc oarecum aplatizat, sau elipsă. Alături de cerc, elipsa este cel mai simplu tip de curbă închisă, aparținând unei familii de curbe cunoscute sub numele de secțiuni conice (Figura 3.3).

Figura 3.3 Secțiuni conice. Cercul, elipsa, parabola și hiperbola sunt toate formate prin intersecția unui plan cu un con. Acesta este motivul pentru care astfel de curbe sunt numite secțiuni conice.

Vă puteți aminti, de la cursurile de matematică, faptul că într-un cerc, centrul este un punct special. Distanța de la centru până oriunde pe cerc este exact aceeași. Într-o elipsă, suma distanței de la două puncte speciale din interiorul elipsei până la orice punct de pe elipsă este întotdeauna aceeași. Aceste două puncte din interiorul elipsei sunt numite focarele acesteia, cuvânt inventat în acest scop de Kepler.

Această proprietate sugerează o modalitate simplă de a desena o elipsă (Figura 3.4). Înfășurăm capetele unei bucle de sfoară în jurul a două cleme prinse pe o foaie de hârtie într-o planșă de desen, astfel încât sfoara să fie slăbită. Dacă împingem un creion pe sfoară, făcând sfoara întinsă, și apoi glisăm creionul pe sfoară în cele două puncte de prindere a clemelor păstrând sfoara întinsă, curba care rezultă este o elipsă. În orice punct în care se află creionul, suma distanțelor de la creion la cele două cleme este o lungime constantă – lungimea sforii. Punctele de prindere sunt la cele două focare ale elipsei.

Cel mai mare diametru al elipsei se numește axa majoră. Jumătate din această distanță – adică distanța de la centrul elipsei la un capăt – este semiaxa majoră, care este de obicei folosită pentru a specifica dimensiunea elipsei. De exemplu, semiaxa majoră a orbitei lui Marte, care este și distanța medie a planetei față de Soare, este de 228 de milioane de kilometri.

Figura 3.4 Desenarea unei elipse. (a) Putem construi o elipsă înfigând două cleme (obiectele albe) într-o bucată de hârtie de pe o planșă de desen și apoi prinzând o sfoară în jurul clemelor. Fiecare clemă reprezintă un focar al elipsei, una dintre cleme fiind Soarele. Întindeți sfoara strâns folosind un creion, apoi deplasați creionul în jurul clemelor. Lungimea sforii rămâne aceeași, astfel încât suma distanțelor de la orice punct de pe elipsă până la focare este întotdeauna constantă. (b) În această ilustrație, fiecare semiaxă majoră este notă cu a. Distanța 2a se numește axa majoră a elipsei.

Forma (rotunzimea) unei elipse depinde de cât de apropiate sunt cele două focare, în comparație cu axa majoră. Raportul dintre distanța dintre focare și lungimea axei majore se numește excentricitatea elipsei.

Dacă focarele (sau clemele) sunt mutate în aceeași locație, atunci distanța dintre focare ar fi zero. Aceasta înseamnă că excentricitatea este zero și elipsa este doar un cerc; astfel, un cerc poate fi numit o elipsă cu excentricitate zero. Într-un cerc, semiaxa majoră ar fi raza.

În continuare, putem realiza elipse de diverse alungiri (sau lungimi extinse) prin variația distanței dintre cleme (atâta timp cât acestea nu sunt mai îndepărtate decât lungimea sforii). Cu cât excentricitatea este mai mare, cu atât elipsa este mai alungită, până la o excentricitate maximă de 1,0, când elipsa devine „plată”, cealaltă extremă dintr-un cerc.

Mărimea și forma unei elipse sunt complet specificate de semiaxa sa majoră și de excentricitatea ei. Folosind datele lui Brahe, Kepler a descoperit că Marte are o orbită eliptică, cu Soarele în un focar (celălalt focar este gol). Excentricitatea orbitei lui Marte este de numai aproximativ 0,1; orbita sa, considerată la scară, ar fi practic imposibil de distins de un cerc, dar diferența s-a dovedit a fi critică pentru înțelegerea mișcărilor planetare.

Kepler a generalizat acest rezultat în prima sa lege și a spus că orbitele tuturor planetelor sunt elipse. Iată un moment decisiv în istoria gândirii umane: nu era necesar să existe doar cercuri pentru a avea un cosmos acceptabil. Universul ar putea fi puțin mai complex decât și-au dorit filozofii greci să fie.

A doua lege a lui Kepler se referă la viteza cu care fiecare planetă se mișcă de-a lungul elipsei sale, cunoscută și sub numele de viteza orbitală. Lucrând cu observațiile lui Brahe despre Marte, Kepler a descoperit că planeta accelerează pe măsură ce se apropie de Soare și încetinește pe măsură ce se îndepărtează de Soare. El a exprimat forma precisă a acestei relații imaginându-și că Soarele și Marte sunt conectate printr-o linie dreaptă, elastică. Când Marte este mai aproape de Soare (pozițiile 1 și 2 din Figura 3.5), linia elastică nu este întinsă la fel de mult, iar planeta se mișcă rapid. Mai departe de Soare, ca în pozițiile 3 și 4, linia este foarte întinsă, iar planeta nu se mișcă atât de repede. După cum Marte călătorește pe orbita sa eliptică în jurul Soarelui, linia elastică mătură zonele elipsei pe măsură ce se mișcă (regiunile colorate din figura noastră). Kepler a descoperit că în intervale egale de timp (t), ariile măturate în spațiu de această linie imaginară sunt întotdeauna egale; adică aria regiunii B de la 1 la 2 este aceeași cu cea a regiunii A de la 3 la 4.

Dacă o planetă se mișcă pe o orbită circulară, linia elastică este întotdeauna întinsă la fel și planeta se mișcă cu o viteză constantă în jurul orbitei sale. Dar, după cum a descoperit Kepler, în majoritatea orbitelor, viteza unei planete care orbitează în jurul stelei sale (sau a lunii care orbitează planeta sa) tinde să varieze, deoarece orbita este eliptică.

Figura 3.5 A doua lege a lui Kepler: Legea ariilor egale. Viteza orbitală a unei planete care se deplasează în jurul Soarelui (obiectul circular din interiorul elipsei) variază în așa fel încât, la intervale egale de timp (t), o linie între Soare și o planetă mătură zone egale (A și B) . Rețineți că excentricitățile orbitelor planetelor din sistemul nostru solar sunt substanțial mai mici decât cele arătate aici.