Conservarea energiei mecanice în mișcarea de rulare

În capitolul precedent am introdus energia cinetică de rotație. Orice obiect care rulează poartă energie cinetică de rotație, precum și energie cinetică de translație și energie potențială dacă sistemul o cere. Incluzând energia potențială gravitațională, energia mecanică totală a unui obiect care se rostogolește este

E_T = ½ mv_CM² + ½ I_CMω² + mgh.

În absența oricăror forțe neconservative care ar scoate energia din sistem sub formă de căldură, energia totală a unui obiect care rulează fără alunecare este conservată și este constantă pe toată durata mișcării. Exemple în care energia nu este conservată sunt un obiect rulant care alunecă, producerea de căldură ca urmare a frecării cinetice, și un obiect rulant care întâmpină rezistență aerului.

Figura 11.3 (a) O roată este trasă pe o suprafață orizontală de o forță F⃗. Forța de frecare statică f⃗_s, ∣f⃗_s∣ ≤ μ_sN este suficient de mare pentru a o împiedica să alunece. (b) Vectorii viteza liniară și accelerație ai centrului de masă și expresiile relevante pentru ω și α. Punctul P este în repaus în raport cu suprafața. (c) Raportat la cadrul centrului de masă (CM), punctul P are viteza liniară −Rωiˆ.

Vă puteți întreba de ce un obiect care rulează și care nu alunecă conservă energie, deoarece forța de frecare statică este neconservativă. Răspunsul poate fi găsit făcând referire la Figura 11.3. Punctul P în contact cu suprafața este în repaus față de suprafață. Prin urmare, deplasarea sa infinitezimală dr⃗ față de suprafață este zero, iar lucrul mecanic incremental efectuat de forța de frecare statică este zero. Putem aplica conservarea energiei studiului nostru asupra mișcării de rulare pentru a obține câteva rezultate interesante.

EXEMPLUL 11.3

Roverul Curiosity

Roverul Curiosity, prezentat în Figura 11.8, a fost utilizat pe Marte pe 6 august 2012. Roțile roverului au o rază de 25 cm. Să presupunem că astronauții sosesc pe Marte în anul 2050 și găsesc Curiosity, acum inoperant, pe marginea unui bazin. În timp ce demontează roverul, un astronaut pierde accidental piesa de prindere a uneia dintre roți, care se rostogolește fără să alunece în fundul bazinului la 25 de metri mai jos. Dacă roata are o masă de 5 kg, care este viteza sa în fundul bazinului?

Figura 11.8 Rover-ul NASA Mars Science Laboratory Curiosity în timpul testării din 3 iunie 2011. Locația se află în interiorul unității de asamblare a navelor spațiale de la Laboratorul de propulsie cu reacție al NASA din Pasadena, California.

Strategie

Folosim conservarea energiei mecanice pentru a analiza problema. În vârful dealului, roata este în repaus și are doar energie potențială. În fundul bazinului, roata are energie cinetică de rotație și translație, care trebuie să fie egală cu energia potențială inițială prin conservarea energiei. Deoarece roata rulează fără alunecare, folosim relația v_CM = rω pentru a lega variabilele de translație la variabilele de rotație din ecuația de conservare a energiei. Apoi rezolvăm viteza. Din figura 11.8, vedem că un cilindru gol este o bună aproximare pentru roată, așa că putem folosi acest moment de inerție pentru a simplifica algoritmul de calcul.

Soluție

Energia din partea de sus a bazinului este egală cu energia din partea de jos:

mgh = ½ mv_CM² + ½ I_CMω².

Cantitățile cunoscute sunt I_CM = mr², r = 0,25 m și h = 25,0 m.

Rescriem ecuația de conservare a energiei eliminând ω folosind ω = v_CM/r. Avem

mgh = ½ mv_CM² + ½ mr²v_CM²/r²

gh = ½ v_CM² + ½ v_CM² ⇒ v_CM = √(gh).

Pe Marte, accelerația gravitației este de 3,71 m/s², de unde rezultă magnitudinea vitezei la fundul bazinului ca

v_CM = √((3,71 m/s2)25,0 m) = 9,63 m/s.

Semnificație

Acesta este un rezultat destul de precis, având în vedere că Marte are foarte puțină atmosferă, iar pierderea de energie din cauza rezistenței aerului ar fi minimă. Rezultatul presupune, de asemenea, că terenul este neted, astfel încât roata să nu întâlnească pietre și denivelări pe parcurs.

De asemenea, în acest exemplu, energia cinetică sau energia mișcării este împărțită în mod egal între mișcarea liniară și cea de rotație.Cilindrul tubular are cel mai mare moment de inerție pentru o rază și o masă date. Dacă roțile roverului ar fi solide și aproximate de cilindri solizi, de exemplu, ar exista mai multă energie cinetică în mișcarea liniară decât în mișcarea de rotație. Acest lucru ar oferi roții o viteză liniară mai mare decât aproximarea cilindrului gol. Astfel, cilindrul solid ar ajunge la fundul bazinului mai repede decât cilindrul gol.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu