Liniile de câmp electric

Putem determina fluxul electric printr-o suprafață închisă arbitrară datorită unei distribuții arbitrare a sarcinii. Am descoperit că, dacă o suprafață închisă nu are nicio sarcină în interiorul unde se poate termina o linie de câmp electric, atunci orice linie de câmp electric care intră pe suprafață într-un punct trebuie neapărat să iasă într-un alt punct al suprafeței. Prin urmare, dacă o suprafață închisă nu are nicio sarcină în interiorul volumului închis, atunci fluxul electric prin suprafață este zero. Acum, ce se întâmplă cu fluxul electric dacă există niște sarcini în interiorul volumului închis? Legea lui Gauss oferă un răspuns cantitativ la această întrebare.

Pentru a înțelege la ce să ne așteptăm, să calculăm fluxul electric printr-o suprafață sferică în jurul unei sarcini punctiforme pozitive q, deoarece cunoaștem deja câmpul electric într-o astfel de situație. Amintiți-vă că atunci când plasăm sarcina punctiformă la originea unui sistem de coordonate, câmpul electric într-un punct P care se află la o distanță r de sarcina de la origine este dat de

E⃗_P = 1/4πε₀·q/r²·rˆ,

unde rˆ este vectorul unitar radial de la sarcina de la origine la punctul P. Putem folosi acest câmp electric pentru a găsi fluxul prin suprafața sferică a razei R, așa cum se arată în Figura 6.13.

Figura 6.13 O suprafață sferică închisă care înconjoară o sarcină punctiformă q.

Apoi aplicăm Φ = ∫_SE⃗ nˆ dA acestui sistem și înlocuim valorile cunoscute. Pe sferă, nˆ = rˆ și r = R, deci pentru o suprafață infinitezimală dA,

dΦ = E⃗⋅nˆ dA = 1/4πε₀·q/R²·rˆ·rˆdA = 1/4πε0·q/R²·dA.

Găsim acum fluxul net prin integrarea acestui flux pe suprafața sferei:

Φ = 1/4πε₀·q/R²·∮SdA = 1/4πε₀·q/R²· (4πR²) = q/ε₀.

unde suprafața totală a suprafeței sferice este 4πR². Aceasta dă fluxul prin suprafața sferică închisă la raza r ca

(6.4) Φ = q/ε₀.

Un fapt remarcabil despre această ecuație este că fluxul este independent de dimensiunea suprafeței sferice. Acest lucru poate fi atribuit direct faptului că câmpul electric al unei sarcini punctuale scade cu 1/r² cu distanța, ceea ce anulează doar rata de creștere r² a suprafeței.

Imaginea liniilor câmpului electric

O modalitate alternativă de a vedea de ce fluxul printr-o suprafață sferică închisă este independent de raza suprafeței este să se uite la liniile câmpului electric. Rețineți că fiecare linie de câmp din q care străpunge suprafața la raza R₁ străpunge și suprafața la R₂ (Figura 6.14).

Figura 6.14 Fluxul prin suprafețele sferice ale razelor R₁ și R₂ care înglobează o sarcină q sunt egale, independent de dimensiunea suprafeței, deoarece toate liniile de câmp E care străpung o suprafață dinspre interior spre exterior străpung și cealaltă suprafață în aceeași direcție.

Prin urmare, numărul net de linii de câmp electric care trec prin cele două suprafețe dinspre interior spre exterior este egal. Acest număr net de linii de câmp electric, care se obține prin scăderea numărului de linii în direcția din exterior spre interior din numărul de linii în direcția din interior spre exterior oferă o măsură vizuală a fluxului electric prin suprafețe.

Puteți vedea că, dacă nu sunt incluse sarcini într-o suprafață închisă, atunci fluxul electric prin aceasta trebuie să fie zero. O linie tipică de câmp intră în suprafață la dA₁ și iese la dA₂. Fiecare linie care intră pe suprafață trebuie, de asemenea, să părăsească acea suprafață. Prin urmare, „fluxul” net al liniilor de câmp în sau în afara suprafeței este zero (Figura 6.15(a)). Același lucru se întâmplă dacă în interiorul suprafeței închise sunt incluse sarcini de semn egal și opus, astfel încât sarcina totală inclusă este zero (partea (b)). O suprafață care include aceeași cantitate de sarcină are același număr de linii de câmp care o traversează, indiferent de forma sau dimensiunea suprafeței, atâta timp cât suprafața cuprinde aceeași cantitate de sarcină (partea (c)).

Figura 6.15 Înțelegerea fluxului în termeni de linii de câmp. (a) Fluxul electric printr-o suprafață închisă datorită unei sarcini din afara acelei suprafețe este zero. (b) Sarcinile sunt incluse, dar deoarece sarcina netă inclusă este zero, fluxul net prin suprafața închisă este, de asemenea, zero. (c) Forma și dimensiunea suprafețelor care înconjoară o sarcină nu contează deoarece toate suprafețele care înconjoară aceeași sarcină au același flux.