Distribuția F în statistică

Cu ani în urmă, statisticienii au descoperit că atunci când perechi de eșantioane sunt prelevate dintr-o populație normală, rapoartele variațiilor eșantioanelor din fiecare pereche vor urma întotdeauna aceeași distribuție. În mod firesc, de-a lungul anilor care au trecut, statisticienii au descoperit că raportul dintre variațiile eșantionului colectat într-un număr de moduri diferite urmează aceeași distribuție, distribuția F. Deoarece știm că distribuțiile de eșantionare ale raportului de varianțe urmează o distribuție cunoscută, putem efectua teste de ipoteză folosind raportul de varianțe.

Statistica F este pur și simplu:

F = s₁²/s₂²

unde s₁² este varianța eșantionului 1. Rețineți că varianța eșantionului este:

s² = Σx – x)2/(n – 1)

Gândiți-vă la forma pe care o va avea distribuția F. Dacă s₁² și s₂² provin din eșantioane din aceeași populație, atunci dacă s-ar preleva mai multe perechi de eșantioane și s-ar calcula scorurile F, majoritatea acestor scoruri F ar fi aproape de unu. Toate scorurile F vor fi pozitive, deoarece variațiile sunt întotdeauna pozitive – numărătorul din formulă este suma pătratelor, deci va fi pozitiv, numitorul este dimensiunea eșantionului minus unu, care va fi de asemenea pozitiv. Analiza raporturilor necesită o oarecare grijă. Dacă s₁² este mult mai mare decât s₂², F poate fi destul de mare. Este la fel de posibil ca s₂² să fie mult mai mare decât s₁², iar atunci F ar fi foarte aproape de zero. Deoarece F trece de la zero la foarte mare, cu cele mai multe dintre valori în jurul valorii de unu, evident că nu este simetric; există o coadă lungă la dreapta și o coborâre abruptă până la zero în stânga.

Există două utilizări ale distribuției F. Prima este un test foarte simplu pentru a vedea dacă două eșantioane provin din populații cu aceeași varianță. A doua este analiza unidirecțională a varianței (ANOVA), care utilizează distribuția F pentru a testa dacă trei sau mai multe eșantioane provin din populații cu aceeași medie.