Energia pe orbite circulare

E = K + U = G_mM_E/2r – G_mM_E/r = −G_mM_E/2r   13.9

Energia necesară pentru a orbita

În Exemplul 13.8, am calculat energia necesară pentru a ridica pur și simplu vehiculul Soyuz de 9000 kg de la suprafața Pământului până la înălțimea ISS, la 400 km deasupra suprafeței. Cu alte cuvinte, am găsit schimbarea energiei sale potențiale. Acum ne întrebăm ce schimbare totală de energie în vehiculul Soyuz este necesară pentru a-l lua de la suprafața Pământului și a-l pune pe orbită cu ISS pentru o întâlnire (Figura 13.15)? Cât din această energie totală este energie cinetică?

Figura 13.15 Nava Soiuz la o întâlnire cu ISS. Rețineți că această diagramă nu este la scară; nava Soiuz este foarte mică în comparație cu ISS, iar orbita sa este mult mai aproape de Pământ. (Credit: modificarea lucrărilor lui NASA)

Strategie

Energia necesară este diferența dintre energia totală a navei Soiuz pe orbită și cea de la suprafața Pământului. Putem folosi ecuația 13.9 pentru a găsi energia totală a navei Soiuz pe orbita ISS. Dar energia totală la suprafață este pur și simplu energia potențială, deoarece pornește din repaus. [Rețineți că nu folosim ecuația 13.9 la suprafață, deoarece nu suntem pe orbită la suprafață.] Energia cinetică poate fi apoi calculată din diferența dintre schimbarea totală a energiei și schimbarea energiei potențiale găsită în Exemplul 13.8. Alternativ, putem folosi ecuația 13.7 pentru a găsi vorbitul și a calcula energia cinetică direct din acesta. Energia totală necesară este atunci energia cinetică plus variația energiei potențiale găsită în Exemplul 13.8.

Soluție

Din ecuația 13.9, energia totală a navei Soiuz pe aceeași orbită ca ISS este

E_orbit = K_orbit + U_orbit = −G_mM_E/2r

= (6,67 × 10⁻¹¹ N⋅m²/kg²)(9000 kg)(5,96 × 10²⁴ kg)/2 (6,36 × 10⁶ + 4,00 × 10⁵ m)

= −2,65 × 10¹⁴ J.

Energia totală la suprafața Pământului este

E_surface = K_surface + U_surface = 0 – G_mM_E/r

= −(6,67 × 10⁻¹¹ N⋅m²/kg²)(9000 kg)(5,96 × 10²⁴ kg)/(6,36 × 10⁶ m)

= −5,63 × 10¹⁴ J.

Variația de energie este ΔE = E_orbit – E_surface = 2,98 × 10¹¹ J. Pentru a obține energia cinetică, scădem variația de energie potențială din Exemplul 13.6, ΔU = 3,32 × 10¹⁰ J. Aceasta ne dă Korbit = 2,98 × 10¹¹ – 3,32 × 10¹⁰ = 2,65 × 10¹¹ J. După cum s-a menționat anterior, energia cinetică a unei orbite circulare este întotdeauna jumătate din magnitudinea energiei potențiale și aceeași cu magnitudinea energiei totale. Rezultatul nostru confirmă acest lucru.

A doua abordare este de a utiliza ecuația 13.7 pentru a găsi viteza orbitală a navei Soyuz, lucru pe care l-am făcut pentru ISS în Exemplul 13.9.

Vorbit = √(GM_E/r) = √)(6,67 × 10⁻¹¹ N⋅m2/kg2)(5,96 × 10²⁴ kg)/(6,36 × 10⁶ + 4,00 × 10⁵ m)) = 7,67 × 10³ m/s.

Deci, energia cinetică a navei Soiuz pe orbită este

K_orbit = ½ mv²_orbit = ½ (9000 kg)(7,67 × 10³ m/s)² = 2,65 × 10¹¹ J,

aceeași ca în metoda anterioară. Energia totală este exact

ΔE = K_orbit + ΔU = 2,65 × 10¹⁴ + 3,32 × 10¹⁴ = 2,98 × 10¹¹ J.

Semnificație

Energia cinetică a navei Soiuz este de aproape opt ori mai mare decât schimbarea energiei sale potențiale, sau 90% din energia totală necesară pentru întâlnirea cu ISS. Și este important să ne amintim că această energie reprezintă doar energia care trebuie furnizată navei Soiuz. Cu tehnologia noastră actuală de rachete, masa sistemului de propulsie (combustibilul rachetei, recipientul său și sistemul de ardere) o depășește cu mult pe cea a încărcăturii utile, iar o cantitate enormă de energie cinetică trebuie furnizată acestei mase. Așadar, costul real în energie este de multe ori mai mare decât schimbarea energiei încărcăturii utile în sine.