Conservarea energiei – Sisteme cu o singură particulă sau obiect

Energia mecanică E a unei particule rămâne constantă cu excepția cazului în care forțele din afara sistemului sau forțele neconservative lucrează asupra acesteia, caz în care, modificarea energiei mecanice este egală cu lucrul mecanic efectuat de forțele neconservative:

(8.12)   W_nc,AB = Δ(K + U)_AB = ΔE_AB.

Conservarea energiei

1. Identificați corpul sau corpurile de studiat (sistemul). Adesea, în aplicațiile principiului conservării energiei mecanice, studiem mai multe corpuri în același timp.

2. Identificați toate forțele care acționează asupra corpului sau corpurilor.

3. Stabiliți dacă fiecare forță care lucrează este conservativă. Dacă o forță neconservativă (de exemplu, frecare) acționează, atunci energia mecanică nu este conservată. Sistemul trebuie apoi analizat cu lucru mecanic neconservativ, ecuația 8.13.

4. Pentru fiecare forță care acționează, alegeți un punct de referință și determinați funcția de energie potențială pentru forță. Punctele de referință pentru diferitele energii potențiale nu trebuie să fie în aceeași locație.

5. Aplicați principiul conservării energiei mecanice prin stabilirea egală a sumei energiilor cinetice și a energiilor potențiale în fiecare punct de interes.

Pendul simplu

O particulă cu masa m este atârnată de tavan cu un fir fără masă cu lungimea de 1,0 m, așa cum se arată în Figura 8.7. Particula este eliberată din repaus, când unghiul dintre sfoară și direcția verticală în jos este de 30°. Care este viteza sa când atinge punctul cel mai de jos al arcului său?

Figura 8.7 O particulă atârnată de un fir constituie un pendul simplu. Este afișat atunci când este eliberat din repaus, împreună cu unele distanțe utilizate în analiza mișcării.

Strategie

Folosind strategia noastră de rezolvare a problemelor, primul pas este să definim că suntem interesați de sistemul particulă-Pământ. În al doilea rând, asupra particulei acționează numai forța gravitațională, care este conservatoare (pasul 3). Neglijăm rezistența aerului în problemă și nu se lucrează cu tensiunea corzii, care este perpendiculară pe arcul de mișcare. Prin urmare, energia mecanică a sistemului este conservată, așa cum este reprezentată de ecuația 8.13, 0 = Δ(K + U). Deoarece particula pornește din repaus, creșterea energiei cinetice este exact energia cinetică în punctul cel mai de jos. Această creștere a energiei cinetice este egală cu scăderea energiei potențiale gravitaționale, pe care o putem calcula din geometrie. În pasul 4, alegem un punct de referință pentru energia potențială gravitațională zero care să fie în cel mai jos punct vertical pe care îl atinge particula, care este la mijlocul oscilației. În cele din urmă, la pasul 5, setăm suma energiilor din punctul cel mai înalt (inițial) al leagănului la punctul cel mai de jos (final) al leagănului pentru a rezolva în cele din urmă viteza finală.

Soluție

Neglijăm forțele neconservative, așa că scriem formula de conservare a energiei relaționând particula în punctul cel mai înalt (inițial) și punctul cel mai jos din leagăn (final) ca

K_i + U_i = K_f + U_f.

Deoarece particula este eliberată din repaus, energia cinetică inițială este zero. În punctul cel mai de jos, definim energia potențială gravitațională ca fiind zero. Prin urmare, formula noastră de conservare a energiei se reduce la

0 + mgh = ½ mv² + 0

v = √2gh.

Înălțimea verticală a particulei nu este dată direct în problemă. Acest lucru poate fi rezolvat folosind trigonometria și două date: lungimea pendulului și unghiul prin care particula este trasă vertical în sus. Privind diagrama, linia întreruptă verticală este lungimea firului pendulului. Înălțimea verticală este notată cu h. Cealaltă lungime parțială a firului vertical poate fi calculată prin trigonometrie. Aceasta este rezolvată de

cosθ = x/L , x = Lcosθ.

Prin urmare, uitându-ne la cele două părți ale firului, putem rezolva înălțimea h,

x + h = L

Lcosθ + h = L

h = L – Lcosθ = L(1−cosθ).

Înlocuim această înălțime în expresia anterioară rezolvată pentru viteză pentru a calcula rezultatul nostru:

v = √(2gL(1−cosθ)) =√(2(9,8 m/s²)(1 m)(1 − cos30°) = 1,62 m/s.

Semnificație

Am găsit viteza direct din conservarea energiei mecanice, fără a fi nevoie să rezolvăm ecuația diferențială pentru mișcarea unui pendul (vezi Oscilații). Putem aborda această problemă în termeni de grafice cu bare ale energiei totale. Inițial, particula are toată energia potențială, fiind în punctul cel mai înalt, și nicio energie cinetică. Când particula traversează punctul cel mai de jos din partea de jos a leagănului, energia se deplasează de la coloana de energie potențială la coloana de energie cinetică. Prin urmare, ne putem imagina o progresie a acestui transfer pe măsură ce particula se deplasează între punctul său cel mai înalt, punctul cel mai de jos al balansării și înapoi la punctul cel mai înalt (Figura 8.8). Pe măsură ce particula se deplasează de la punctul cel mai de jos al balansării până la punctul cel mai înalt din partea dreaptă a diagramei, barele de energie merg în ordine inversă de la (c) la (b) la (a).

Figura 8.8 Grafice cu bare reprezentând energia totală (E), energia potențială (U) și energia cinetică (K) a particulei în diferite poziții. (a) Energia totală a sistemului este egală cu energia potențială, iar energia cinetică este zero, care se găsește în punctul cel mai înalt pe care îl atinge particula. (b) Particula se află la jumătatea distanței dintre punctul cel mai înalt și cel mai jos, astfel încât graficele cu bare de energie cinetică plus energia potențială sunt egale cu energia totală. (c) Particula se află în punctul cel mai de jos al balansării, astfel încât graficul cu bare de energie cinetică este cel mai mare și egal cu energia totală a sistemului.

Cât de sus se află peste partea inferioară a arcului său particula din pendulul simplu de mai sus, când viteza sa este de 0,81 m/s?