Pe lângă obținerea vectorilor de deplasare și viteză ai unui obiect în mișcare, adesea dorim să cunoaștem vectorul său de accelerație în orice moment în timp de-a lungul traiectoriei sale. Acest vector de accelerație este accelerația instantanee și poate fi obținut din derivata în timp a funcției viteză, așa cum am văzut într-un capitol anterior. Singura diferență dintre două și trei dimensiuni este că acestea sunt acum cantități vectoriale. Luând derivata în raport cu timpul v⃗(t), găsim
| (4.8) a⃗(t) = limt→0((v⃗(t + Δt) − v⃗(t))/Δt) = dv⃗(t)/dt. |
Accelerația din punct de vedere al componentelor este
| (4.9) a⃗(t) = dvx(t)/dt iˆ + dvy(t)/dt jˆ + dvz(t)/dt kˆ. |
De asemenea, deoarece viteza este derivata funcției de poziție, putem scrie accelerația în termenii derivatei a doua a funcției de poziție:
| (4.10) a⃗(t) = d2x(t)/dt2 iˆ + d2y(t)dt2 jˆ + d2z(t)dt2 kˆ. |
| EXEMPLUL 4.4
Găsirea unui vector de accelerație O particulă are o viteză de v⃗(t) = 5,0tiˆ + t2jˆ − 2,0t3kˆ m/s. (a) Care este funcția de accelerație? (b) Care este vectorul de accelerație la t = 2,0 s? Găsiți mărimea și direcția acesteia. Soluție (a) Luăm derivata întâi în raport cu timpul a funcției viteză pentru a găsi accelerația. Derivata este luată componentă cu componentă: a⃗(t) = 5,0iˆ + 2,0tjˆ − 6,0t2kˆ m/s2. (b) Evaluând a⃗(2,0 s) = 5,0iˆ + 4,0jˆ − 24,0kˆ m/s2 ne dă direcția în notație vectorială unitară. Mărimea accelerației este |a⃗(2,0 s)| = √(5,02 + 4,02 + (−24,0)2) = 24,8 m/s2. Semnificație În acest exemplu găsim că accelerația are o dependență de timp și se schimbă pe parcursul mișcării. Să luăm în considerare o funcție de viteză diferită pentru particulă. |
| EXEMPLUL 4.5
Găsirea unei accelerații de particule O particulă are o funcție de poziție r⃗(t) = (10t − t2)iˆ + 5tjˆ + 5tkˆ m. (a) Care este viteza? (b) Care este accelerația? (c) Descrieți mișcarea din t = 0 s. Strategie Putem obține o perspectivă asupra problemei analizând funcția de poziție. Este liniară în y și z, așa că știm că accelerația în aceste direcții este zero atunci când luăm derivata a doua. De asemenea, rețineți că poziția în direcția x este zero pentru t = 0 s și t = 10 s. Soluție (a) Luând derivata în funcție de timp a funcției de poziție, găsim v⃗(t) = (10 − 2t)iˆ + 5jˆ + 5kˆ m/s. Funcția viteză este liniară în timp în direcția x și este constantă în direcțiile y și z. (b) Luând derivata funcției viteză, găsim a⃗(t) = −2iˆ m/s2. Vectorul accelerație este o constantă în direcția x negativă. (c) Traiectoria particulei poate fi văzută în Figura 4.9. Să ne uităm mai întâi în direcțiile y și z. Poziția particulei crește constant în funcție de timp, cu o viteză constantă în aceste direcții. În direcția x, totuși, particula urmează o cale în x pozitiv până la t = 5 s, când își inversează direcția. Știm acest lucru analizând funcția viteză, care devine zero în acest moment și negativă ulterior. Știm acest lucru, de asemenea, deoarece accelerația este negativă și constantă, adică particula accelerează în direcția opusă. Poziția particulei ajunge la 25 m, unde apoi își inversează direcția și începe să accelereze în direcția x negativă. Poziția ajunge la zero la t = 10 s.
Semnificație Prin reprezentarea grafică a traiectoriei particulei, putem înțelege mai bine mișcarea acesteia, dată de rezultatele numerice ale ecuațiilor cinematice. |
| EXERCIȚIUL 4.2
Să presupunem că funcția de accelerație are forma a⃗(t) = aiˆ + bjˆ + ckˆ m/s2, unde a, b și c sunt constante. Ce se poate spune despre forma funcțională a funcției viteză? |
Răspuns: Vectorul accelerație este constant și nu se modifică în timp. Dacă a, b și c nu sunt zero, atunci funcția viteză trebuie să fie liniară în timp. Avem v⃗(t) = ∫a⃗dt = ∫(aiˆ + bjˆ + ckˆ)dt = (aiˆ + bjˆ + ckˆ)t m/s, deoarece luând derivata funcției viteză se produce a⃗(t). Dacă oricare dintre componentele accelerației este zero, atunci acea componentă a vitezei ar fi o constantă.
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Mecanica fenomenologică
O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult
Lasă un răspuns