Mișcarea multidimensională cu accelerație constantă poate fi tratată în același mod ca în capitolul anterior pentru mișcarea unidimensională. Mai devreme am arătat că mișcarea tridimensională este echivalentă cu trei mișcări unidimensionale, fiecare de-a lungul unei axe perpendiculare pe celelalte. Pentru a dezvolta ecuațiile relevante în fiecare direcție, să luăm în considerare problema bidimensională a unei particule care se mișcă în planul xy cu accelerație constantă, ignorând componenta z pentru moment. Vectorul accelerație este
a⃗ = a0xiˆ + a0yjˆ.
Fiecare componentă a mișcării are un set separat de ecuații similare cu Ecuația 3.10–Ecuația 3.14 din capitolul anterior despre mișcarea unidimensională. Arătăm doar ecuațiile pentru poziție și viteză în direcțiile x și y. Un set similar de ecuații cinematice ar putea fi scris pentru mișcarea în direcția z:
(4.11) x(t) = x0 + (vx)mediet
(4.12) vx(t) = v0x + axt
(4.13) x(t) = x0 + v0xt + ½ axt2
(4.14) v2x(t) = v20x + 2ax(x − x0)
(4.15) y(t) = y0 + (vy)mediet
(4.16) vy(t) = v0y + ayt
(4.17) y(t) = y0 + v0yt + ½ ayt2
(4.18) v2y(t) = v20y + 2ay(y − y0).
Aici indicele 0 denotă poziția inițială sau viteza. Ecuația 4.11 până la ecuația 4.18 poate fi înlocuită în ecuația 4.2 și în ecuația 4.5 fără componenta z pentru a obține vectorul de poziție și vectorul viteză în funcție de timp în două dimensiuni:
r⃗(t) = x(t)iˆ + y(t)jˆ și v⃗(t) = vx(t)iˆ + vy(t)jˆ.
Următorul exemplu ilustrează o utilizare practică a ecuațiilor cinematice în două dimensiuni.
| EXEMPLUL 4.6
Un schior Figura 4.10 prezintă un schior care se deplasează cu o accelerație de 2,1 m/s2 pe o pantă de 15° la t = 0. Cu originea sistemului de coordonate în partea din față a cabanei, poziția inițială și viteza ei sunt r⃗(0) = (75,0iˆ − 50,0jˆ) m și v⃗(0) = (4,1iˆ − 1,1jˆ) m/s. (a) Care sunt componentele x și y ale poziției și vitezei schiorului în funcție de timp? (b) Care sunt poziția și viteza ei la t = 10,0 s?
Figura 4.10 Un schior are o accelerație de 2,1 m/s2 pe o pantă de 15°. Originea sistemului de coordonate este la cabana de schi. Strategie Deoarece evaluăm componentele ecuațiilor de mișcare în direcțiile x și y, trebuie să găsim componentele accelerației și să le punem în ecuațiile cinematice. Componentele accelerației se găsesc făcând referire la sistemul de coordonate din figura 4.10. Apoi, inserând componentele poziției inițiale și ale vitezei în ecuațiile de mișcare, putem rezolva poziția și viteza ei la un moment ulterior t. Soluție (a) Originea sistemului de coordonate este în vârful dealului cu axa y verticală în sus și axa x orizontală. Privind traiectoria schiorului, componenta x a accelerației este pozitivă, iar componenta y este negativă. Deoarece unghiul este de 15° în josul pantei, găsim ax = (2,1 m/s2)cos(15°) = 2,0 m/s2 ay = (−2,1 m/s2)sin15° = −0,54 m/s2. Introducând poziția inițială și viteza în ecuația 4.12 și în ecuația 4.13 pentru x, avem x(t) = 75,0 m + (4,1 m/s)t + ½ (2,0 m/s2)t2 vx(t) = 4,1 m/s + (2,0 m/s2)t. Pentru y, avem y(t) = −50,0 m + (−1,1 m/s)t + ½ (−0,54m/s2)t2 vy(t) = −1,1 m/s + (−0,54 m/s2)t. (b) Acum că avem ecuațiile de mișcare pentru x și y în funcție de timp, le putem evalua la t = 10,0 s: x(10,0 s) = 75,0 m + (4,1 m/s2)(10,0 s) + ½ (2,0 m/s2)(10,0 s)2 = 216,0 m vx(10,0 s) = 4,1 m/s + (2,0 m/s2)(10,0 s) = 24,1 m/s y(10,0 s) = −50,0 m + (−1,1 m/s2)(10,0 s) + ½ (−0,54 m/s2)(10,0s)2 = −88,0 m vy(10,0 s) = −1,1 m/s + (−0,54 m/s2)(10,0 s) = −6,5 m/s. Poziția și viteza la t = 10,0 s sunt, în cele din urmă, r⃗(10,0 s) = (216,0iˆ − 88,0jˆ) m v⃗(10,0 s) = (24,1iˆ − 6,5jˆ) m/s. Mărimea vitezei schiorului la 10,0 s este de 25 m/s. Semnificație Este util să știm că, având în vedere condițiile inițiale de poziție, viteză și accelerație ale unui obiect, putem găsi poziția, viteza și accelerația în orice moment ulterior. Cu ecuația 4.8 până la ecuația 4.10 am completat setul de expresii pentru poziția, viteza și accelerația unui obiect care se mișcă în două sau trei dimensiuni. Dacă traiectoriile obiectelor arată ceva ca „Săgețile roșii” din imaginea de deschidere a capitolului, atunci expresiile pentru poziție, viteză și accelerație pot fi destul de complicate. În secțiunile care urmează, examinăm două cazuri speciale de mișcare în două și trei dimensiuni, analizând mișcarea proiectilului și mișcarea circulară. |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult
Mecanica fenomenologică
O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult
Lasă un răspuns