Oscilator masă-arc și rezonanță

© 2025 Nicolae Sfetcu

 

Sfetcu, Nicolae (2025). ”Oscilator masă-arc și rezonanță”, în Index Academic, I 2025, DOI: 10.58679/IA89467

 

PDF:

HTML: https://www.telework.ro/ro/oscilator-masa-arc-si-rezonanta/

 

Concepte: ω₀ = k/m, amortizare, curbe de rezonanță.
Ce faci: mase pe arc/elastice; excitație manuală periodică (metronom) și măsori amplitudinea.
Măsori: T vs. m → k; curba amplitudine-frecvență → Q.
Extinde: serie/paralel de arcuri, amortizor lichid.

 

Cuprins

Oscilator masă-arc și rezonanță. 1

Rezumat 2

Introducere și concepte teoretice. 2

Metodologia experimentului – nivel liceal (bază) 4

Obiectivul principal 4

Aparatură necesară (configurație de bază) 4

Setup experimental 4

1. Măsurarea perioadei T în funcție de masă (determinarea constantei k): 4
2. Observarea rezonanței – oscilații forțate la frecvență variabilă: 5

Precauții 6

Sugestii de extindere – nivel universitar 7

Măsurători asistate de senzori și calculator 7

Oscilator forțat cu excitație controlată electronic. 7

Configurarea a doi sau mai mulți arcuri (studii de caz) 7

Introducerea unui amortizor fluid. 8

Determinarea factorului Q din curba de rezonanță. 10

Fișă de laborator 10

Scopul 10

Noțiuni teoretice. 10

Materiale și aparatură. 10

Procedură. 11

Date experimentale – exemple de tabel 12

Analiza și concluzii: 13

Întrebări recapitulative. 13

Bibliografie. 14

 

Rezumat

Lucrarea investighează oscilațiile unui sistem masă–arc, cu scopul de a determina experimental constanta elastică a arcului și de a evidenția fenomenul de rezonanță. S-au măsurat perioadele de oscilație pentru mase variabile, confirmând dependența teoretică 𝑇²∝𝑚 și permițând calculul lui 𝑘. În continuare, sistemul a fost excitat periodic, variind frecvența forțării externe printr-un metronom. S-a observat creșterea amplitudinii la frecvența de rezonanță, în acord cu predicțiile teoretice. Prezența amortizării a limitat amplitudinea maximă și a lărgit curba de rezonanță, permițând estimarea calitativă a factorului de calitate 𝑄. Extensii ale experimentului includ utilizarea senzorilor pentru achiziție de date precise, analiza configurațiilor cu arcuri în serie sau paralel și introducerea unui amortizor fluid. Rezultatele confirmă modelul clasic al oscilațiilor armonice amortizate și relevă rolul parametrilor sistemului asupra stabilității și transferului de energie.

Cuvinte cheie: oscilator, oscilații, arc, rezonanță, experiment, constanta elastică, factorul de calitate, fișă de laborator, elasticitate, oscilații armonice, oscilații armonice amortizate

Introducere și concepte teoretice

Un oscilator masă-arc (numit și sistem masă–resort) este un exemplu clasic de mișcare oscilatorie armonică. Când un corp de masă m este atașat la un arc de constantă elastică k și este deplasat din poziția de echilibru, apare o forță de revenire (conform legii lui Hooke F = -kx) ce determină corpul să oscileze în jurul poziției de echilibru. În absența frecărilor (oscilații neamortizate), mișcarea este una armonică simplă, caracterizată de o frecvență proprie (naturală) de oscilație. Pulsația proprie (frecvența unghiulară naturală) a sistemului este dată de formula:

ω₀ = √(k/m),

Această relație arată că frecvența naturală (în rad/s) crește cu rigiditatea arcului și scade pe măsură ce masa crește (Wikipedia 2025a). Frecvența proprie în Hz este f₀ = ω₀/2π. Perioada de oscilație (timpul pentru o oscilație completă) este T = 2π√(k/m) (HyperPhysics 2025, 23.1), indiferent de amplitudine (pentru oscilații mici). Aceste relații vor fi verificate experimental în secțiunile următoare.

În practică, oscilațiile reale sunt supuse amortizării (damping) din cauza frecărilor cu aerul sau frecărilor interne. Într-un oscilator amortizat, energia se pierde treptat, astfel încât amplitudinea scade în timp – oscilațiile “se sting”. Dacă forțele de frecare sunt mici (amortizare slabă), sistemul este sub-amortizat și oscilațiile continuă un timp, amplitudinea scăzând exponențial cu un factor e^-bt (unde b este coeficientul de amortizare) (UCSB 2025a). Dacă frecarea este foarte mare (supra-amortizare), sistemul revine lent la echilibru fără a mai oscila deloc (UCSB 2025a). Între aceste cazuri se află amortizarea critică, la care oscilația abia revine la echilibru în cel mai scurt timp posibil, fără oscilații notabile (UCSB 2025a). Amortizarea influențează puternic comportarea la rezonanță a sistemului, după cum vom vedea.

Un aspect fundamental al oscilatorilor este fenomenul de rezonanță. Rezonanța apare într-un sistem oscilator atunci când acesta este excitat periodic cu o frecvență apropiată de frecvența sa proprie. În cazul unui arc cu masă, dacă aplicăm o forță periodică (de exemplu, mișcând sus-jos capătul de sus al arcului sau împingând periodic masa), vom observa că amplitudinea oscilațiilor depinde de frecvența forței externe. Când frecvența forței externe (frecvența de forțare) coincide sau este foarte aproape de f₀, sistemul răspunde cu o amplitudine maximă – aceasta este frecvența de rezonanță. Departe de f₀ (forțare mult mai lentă sau mult mai rapidă decât frecvența proprie), amplitudinea mișcărilor forțate rămâne mică (UCSB 2025b). Practic, la rezonanță transferul de energie de la forța periodică la oscilator este cel mai eficient, iar dacă amortizarea e mică, oscilațiile pot crește foarte mult în amplitudine.

Curba de rezonanță a unui oscilator forțat este graficul amplitudinii staționare de oscilație în funcție de frecvența forței excitatoare. Forma tipică a unei astfel de curbe este o creștere pronunțată în jurul frecvenței proprii f₀, cu amplitudine maximă la o frecvență f_r (rezonantă). Pentru amortizare nulă (ideală), amplitudinea la f = f₀ ar crește teoretic la infinit (rezonanță ideală extrem de ascuțită) (Elert 2025). În caz real, amortizarea limitează vârful de rezonanță – amplitudinea maximă este finită și apare la o frecvență ușor mai mică decât f₀ dacă există frecare (pentru amortizare slabă f_r ≈ f₀) (Wikipedia 2025a). Cu cât amortizarea este mai mică, cu atât vârful de rezonanță este mai înalt și mai îngust; amortizarea ridicată face ca vârful să fie mai scund și mai lat (Randolphcollege 2025).

Pentru a cuantifica “ascuțimea” rezonanței se definește adesea factorul de calitate Q al oscilatorului. Un sistem cu Q mare are un vârf de rezonanță foarte îngust (pierde energie greu – amortizare mică), pe când un sistem cu Q mic are un răspuns larg și atenuat (amortizare mare). Formal, Q este adesea definit ca raportul dintre frecvența de rezonanță și lățimea la jumătate din amplitudinea maximă a curbei de rezonanță. Echivalent, pentru un oscilator amortizat liniar cu frecvența naturală ω₀ și coeficient de amortizare c, Q poate fi exprimat ca:

Q = ω₀/2γ

unde γ = c/(2m) este factorul de amortizare (raportat la masă) (UCSB 2025b). Feynman descrie intuitiv Q astfel: “cu cât rezonanța este mai îngustă, cu atât Q este mai mare; de exemplu Q = 1000 indică un vârf foarte ascuțit, de 1000 de ori mai îngust decât frecvența sa” (Feynman 1963). În practică, Q mare înseamnă că oscilatorul oscilează mult timp după încetarea forței (pierderi mici), iar Q mic indică oscilații care se sting repede. În experimentul propus vom putea estima calitativ Q comparând lățimea curbei de rezonanță pentru diferite amortizări și prin măsurarea descreșterii amplitudinii în timp.

Metodologia experimentului – nivel liceal (bază)

Obiectivul principal

Să investigăm oscilațiile unui sistem masă-arc, determinând experimental constanta elastică k a arcului și observând fenomenul rezonanței. Vom măsura perioada de oscilație pentru diferite mase și vom studia modul în care amplitudinea oscilațiilor forțate variază cu frecvența de excitare. Experiența este concepută cu mijloace accesibile unui laborator de liceu, dar vom menționa și tehnici de măsurare mai avansate (nivel universitar) pentru acuratețe sporită și analize extinse.

Aparatură necesară (configurație de bază)

– Un arc elastic (resort) helicoidal suficient de lung și flexibil, fixat la un capăt de un stativ rigid.

– Un set de mase calibrate (de exemplu 50 g, 100 g, 200 g, 500 g etc.) care pot fi atașate la capătul liber al arcului.

– Un sistem de prindere a maselor pe arc (cârlig sau agrafă). – Un cronometru (sau un ceas cu secunde) pentru a măsura timpul oscilațiilor.

– O riglă gradată (metru) fixată vertical în spatele maselor, pentru a estima amplitudinea oscilației.

– O metodă de excitare periodică a oscilațiilor: manual, prin deplasarea ritmică a suportului arcului sau prin impulsuri date masei, sincronizate la un interval de timp constant. O metronom (mecanic sau aplicație pe telefon) este util pentru a menține un ritm constant de excitare.

Setup experimental

Montați arcul de stativ astfel încât masa atașată să poată oscila vertical fără să atingă alte obiecte. Asigurați-vă că fixarea este stabilă și că extensiile arcului rămân în domeniul elastic (fără deformări plastice). Poziționați rigla verticală în spatele masei, aliniată cu poziția de repaus a acesteia, pentru a putea citi deplasările (punctul zero al riglei la poziția de echilibru).

1. Măsurarea perioadei T în funcție de masă (determinarea constantei k):

Atașați o masă m cunoscută la arc și trageți-o ușor în jos, apoi eliberați-o pentru a oscila liber (fără forțare continuă). Măsurați perioada de oscilație T folosind cronometrul. Pentru a reduce erorile, numărați un număr mare de oscilații (de exemplu 10 sau 20 de perioade) și împărțiți timpul total la numărul de oscilații. Notați T mediu pentru acea masă. Repetați pentru 3-5 valori diferite ale masei (de exemplu 50 g, 100 g, 200 g, 500 g etc.), adăugând eventual și masa suportului/cârligului dacă este semnificativă. Conform relației teoretice T = 2π√(k/m), dacă reprezentați grafic T² în funcție de m, ar trebui să obțineți o dreaptă, iar din panta ei puteți extrage valoarea constantei elastice k (Stlawu 2021). Alternativ, puteți calcula direct k din fiecare set (T, m) folosind formula k = 4π²m/ T², și apoi face media valorilor. Această parte a experimentului permite verificarea legii teoretice și determinarea lui k.

2. Observarea rezonanței – oscilații forțate la frecvență variabilă:

Pentru a studia rezonanța, trebuie să forțăm oscilațiile sistemului cu o mișcare periodică controlată. Modalitatea simplă la nivel de liceu este excitarea manuală: prindeți cu mâna suportul arcului (capătul superior) și oscilați-l sus-jos la o anumită frecvență constantă, cu o amplitudine mică (câțiva cm). Practic, mișcarea mâinii în sus și în jos generează o forțare sinusoidală aproximativă asupra masei. Folosind un metronom, sincronizați mișcarea mâinii cu un ritm cunoscut (de exemplu, 40 bătăi pe minut ~ 0,67 Hz, 60 bpm ~ 1 Hz, 90 bpm ~ 1,5 Hz etc.). Procedați astfel:

1. Alegeți o frecvență de excitare (de exemplu începeți cu una mult sub frecvența proprie estimată). Mișcați ușor suportul în sus-jos la acest ritm și așteptați câteva secunde ca oscilațiile masei să ajungă în regim staționar (amplitudine stabilă). Măsurați apoi amplitudinea oscilației masei – de exemplu, diferența dintre poziția maximă și poziția de echilibru, citită pe riglă (puteți marca pozițiile extreme pe o foaie milimetrică în spatele riglei pentru mai multă precizie). Notați amplitudinea A corespunzătoare frecvenței de forțare alese.
2. Creșteți treptat frecvența de excitare (de exemplu, treceți la 60 bpm, 80 bpm, 100 bpm etc. sau echivalentul în Hz) și repetați procedura. Pentru fiecare frecvență (sau ritm de metronom) măsurați amplitudinea după ce oscilațiile se stabilizează. Aveți grijă ca mișcarea de forțare să fie de amplitudine mică și cât mai regulată la fiecare setare.
3. Observați variația amplitudinii: la frecvențe mult mai mici decât frecvența proprie a sistemului, masa va urma aproape în fază cu mișcarea mâinii iar amplitudinea va fi relativ mică (Sunysb 2025). Pe măsură ce frecvența de forțare se apropie de frecvența proprie f₀, veți vedea că amplitudinea crește semnificativ. Identificați aproximativ frecvența la care amplitudinea atinge un maxim – aceasta corespunde rezonanței sistemului (forțare rezonantă). Dacă continuați să creșteți frecvența peste f₀, amplitudinea va scădea din nou, iar mișcarea masei va fi din ce în ce mai mult în opoziție de fază cu mișcarea mâinii (masa “nu mai reușește” să țină pasul) (Sunysb 2025).
4. Curba amplitudine-frecvență: reprezentând amplitudinile măsurate în funcție de frecvența de forțare (grafic), veți obține o curbă de rezonanță. Pentru un arc cu amortizare foarte mică (frecare redusă), vă așteptați la un vârf pronunțat în jurul lui f₀. Dacă există frecare (de exemplu aerul), vârful va fi mai domolit. Ideal, încercați să notați și lățimea aproximativă a vârfului – frecvențele între care amplitudinea scade la jumătate. Acest interval caracterizează amortizarea: un interval îngust indică amortizare mică (Q mare), iar unul larg indică amortizare mare (Q mic) (Randolphcollege 2025).

Fig. 1 Exemplu teoretic de curbe de rezonanță (amplitudinea staționară în funcție de frecvența de excitare, raportată la frecvența proprie ω₀) pentru un oscilator masă-arc cu diferite coeficienți de amortizare ζ (raport critic). Curbele ilustrează cum amortizarea mică produce un vârf de rezonanță ascuțit (portocaliu, ζ = 0,05), pe când amortizarea mare aplatizează și lățește maximul (roșu, ζ = 0,5). Linia neagră întreruptă indică cazul ideal fără frecare (teoretic amplitudinea tinde la infinit la ω = ω₀) (Elert 2025) (Randolphcollege 2025).

1. Măsurarea amortizării prin decăderea liberă: O altă observație importantă este să lăsați sistemul să oscileze liber după ce a fost forțat. După ce opriți forțarea, masa va continua să oscileze și amplitudinea va scădea gradual. Măsurați amplitudinea la câteva maxime consecutive și observați scăderea. Raportul dintre amplitudini succesive (sau logaritmul acestuia – decrement logaritmic) poate oferi o estimare cantitativă a amortizării. De exemplu, dacă amplitudinea scade la jumătate în N oscilații, factorul de calitate aproximativ se poate estima prin Q ≈ N⋅2π/ln(2).. Aceste calcule mai avansate pot fi însă rezervate nivelului universitar; la nivel de liceu este suficientă constatarea calitativă că frecările reduc amplitudinea în timp.

Precauții

Asigurați-vă că oscilațiile nu sunt prea ample (pentru a nu depăși domeniul elastic al arcului sau a pierde maselor). Cronometrați cât mai precis, evitând erorile de reacție (un elev poate porni cronometrul și altul îl poate opri pentru a reduce erorile umane). Când determinați amplitudinea, citiți poziția maximă pe riglă în momentul trecerii lente prin amplitudine (la viteză instantanee zero) – este mai ușor de observat decât poziția exactă a masei în mișcare rapidă. Marcați acea poziție sau înregistrați video mișcarea pentru o analiză mai detaliată.

Sugestii de extindere – nivel universitar

Pentru elevi avansați sau studenți, experimentul poate fi îmbunătățit cu instrumentație și extins cu investigarea unor configurații variate:

Măsurători asistate de senzori și calculator

În locul cronometrului și riglei (sau în completarea lor), se pot utiliza senzori moderni pentru a obține date mai precise. De exemplu, un accelerometru (precum cel dintr-un smartphone) atașat pe masa oscilantă poate înregistra accelerația periodică, din care se poate deduce perioada și chiar amplitudinea (prin dublă integrare sau compararea accelerației maxime cu ω²A). Există aplicații gratuite (precum PhyPhox) care permit folosirea senzorilor telefonului pentru experimente de acest tip (Llnl 2025). Alternativ, un senzor ultrasonic de mișcare sau un senzor optic (fotogate) conectat la un sistem de achiziție (LabQuest, Arduino etc.) poate măsura poziția sau viteza masei în funcție de timp, generând direct graficul oscilației. În plus, o cameră video (eventual în modul slow-motion) poate filma oscilația; apoi, folosind un software de analiză video (Tracker, spre exemplu), se extrag pozițiile în funcție de timp cu precizie (Aapt 2020). Aceste metode permit determinarea mai exactă a lui T, trasarea automată a curbelor amplitudine–frecvență și calculul amortizării prin fit/exponențial. Folosind astfel de mijloace, elevii pot compara datele experimentale cu forma teoretică a curbei de rezonanță și pot determina factorul de calitate Q măsurând lățimea la jumătate din maxim sau folosind ecuația de mișcare amortizată. De exemplu, prin ajustarea curbei teoretice pe datele experimentale se poate obține coeficientul de amortare c și astfel Q = mω₀/c. Astfel de abordări sunt apropiate de cele din învățământul universitar și oferă o înțelegere mai profundă a fenomenelor.

Oscilator forțat cu excitație controlată electronic

În locul excitării manuale, un sistem avansat poate folosi un vibrator mecanic sau un difuzor audio conectat la un generator de funcții, care să impună oscilații sinusoidale bazei arcului la frecvențe ajustabile fin. Astfel, se poate explora rezonanța cu granularitate mai mare în frecvență și se pot măsura atât amplitudinea cât și decalajul de fază dintre forțare și răspuns (aspect important la rezonanță: sub f₀ oscilația este aproape în fază cu forța, la f₀ are un lag de ~90°, peste f₀ oscilația este în opoziție de fază cu forța (Sunysb 2025)). Măsurarea fazei se poate face cu un senzor de poziție și comparând cu semnalul generatorului (nivel universitar).

Configurarea a doi sau mai mulți arcuri (studii de caz)

• Arcuri în serie: Conectați două arcuri unul de capătul celuilalt și suspendați masa de al doilea. Sistemul echivalent are o constantă elastică efectivă k_eq mai mică decât oricare din ele (formula teoretică: 1/k_eq = 1/k₁ + 1/k₂.) (Wikipedia 2025b). Măsurați perioada de oscilație în acest caz și comparați cu perioada folosind un singur arc: ar trebui să fie mai mare (oscilații mai lente, deoarece sistemul este “mai moale”). Dacă arcurile sunt identice, k_eq = k/2 și T crește cu √
• Arcuri în paralel: Agățați masa simultan de două arcuri identice montate în paralel (de exemplu printr-o bară transversală) – practic masa este susținută de ambele arcuri împreună. Constanta efectivă va fi suma: k_eq = k₁ + k₂ (Wikipedia 2025b). Observați că perioada scade (oscilații mai rapide) față de cazul unui singur arc, teoretic T ar fi 1/√ din perioada cu un arc (dacă arcurile au aceeași constantă k).
• Mase multiple pe același arc: Puteți investiga și cum două mase atașate la același arc (una sub alta) oscilează – apar moduri diferite de oscilație (mod avansat, legat de oscilații cuplate).
• Pendul elastic: puteți orienta arcul orizontal pe o masă cu masă atașată, explorând combinația de mișcare de pendul și arc (mai complex).

Introducerea unui amortizor fluid

Pentru a explora influența amortizării în mod controlat, realizați un amortizor improvizat – de exemplu, atașați de masa oscilantă un disc sau o placă care se poate deplasa printr-un fluid (ulei vâscos sau apă). O idee este să scufundați parțial masa (sau un obiect atașat de ea) într-un cilindru cu ulei de motor (vâscozitate mare) sau apă. Veți observa că oscilațiile se vor diminua mult mai repede. În cazul uleiului (amortizare foarte puternică), sistemul poate deveni supra-amortizat – masa revine încet la echilibru fără oscilații evidente (UCSB 2025a). În apă (amortizare moderată apropiată de critic), masa revine rapid cu una-două oscilații abia sesizabile (UCSB 2025a). Puteți repeta măsurătorile de rezonanță în prezența amortizorului: vârful de rezonanță va fi mult mai puțin pronunțat. Comparați, de exemplu, amplitudinea maximă cu și fără amortizor și notați lărgimea curbei. Acest exercițiu consolidează legătura dintre amortizare și factorul Q.

Fig. 2 Trei sisteme masă-arc identice, cu amortizări diferite: în dreapta, oscilații neamortizate (masa atârnă liber și oscilează mult timp); în centru, un amortizor umplut cu apă produce o amortizare aproape critică (masa revine repede la echilibru cu oscilații abia vizibile); în stânga, amortizor umplut cu ulei de motor produce supra-amortizare (masa revine foarte lent, fără oscilații) (UCSB 2025a).

Determinarea factorului Q din curba de rezonanță

Cu date precise (eventual obținute cu senzor), studenții pot determina Q măsurând frecvența la care amplitudinea scade la 1/√2 din valoarea maximă. De exemplu, dacă frecvența de rezonanță măsurată este f_r și punctele la care amplitudinea scade la ~70\% din A_max sunt f₁ și f₂, atunci Q ≈ f_r/(f₂ − f₁). Pentru oscilații slab amortizate se poate compara și cu Q obținut din decrementul logaritmic al oscilațiilor libere (echivalent teoretic). Aceste aspecte oferă un cadru cantitativ avansat al fenomenului de rezonanță și amortizare.

Fișă de laborator

Titlul lucrării: Studiul oscilațiilor unui sistem masă-arc. Determinarea constantei elastice a arcului și observarea fenomenului rezonanței la oscilații forțate, inclusiv efectele amortizării.

Scopul

1. Să se măsoare perioada de oscilație T a unui oscilator masă-arc pentru diverse mase atașate și să se verifice relația teoretică T² ∝ m, determinând constanta elastică k a arcului.
2. Să se investigheze rezonanța: variația amplitudinii oscilațiilor forțate în funcție de frecvența de excitare externă, identificând frecvența de rezonanță f_r și modul în care amortizarea influențează amplitudinea de rezonanță și lățimea curbei de răspuns.

Noțiuni teoretice

• Mișcare oscilatorie, legea lui Hooke (F = -kx), ecuația oscilațiilor neamortizate mx¨ + kx = 0 și soluția de formă x(t) = Acos(ω₀t + φ), cu ω₀ = √(k/m) (Wikipedia 2025a). Relația între perioadă și masă T = 2π√(m/k).
• Oscilații amortizate: forță de frecare proporțională cu viteza F_f = −cx˙, ecuația mx¨ + cx˙ + kx = 0 și regimurile subamortizat, critic, supra-amortizat (doar calitativ: amortizarea reduce amplitudinea în timp) (UCSB 2025a).
• Oscilații forțate: ecuația cu forțare sinusoidală mx¨ + cx˙ + kx = F₀sin(ωt). Noțiunea de stare staționară și rezonanță – amplitudinea de regim forțat A(ω) atinge un maxim la ω ≈ ω0 (exact ω_r = ω₀√(1 − 2ζ²) dacă ζ = c/(2√(mk))) (Wikipedia 2025a).
• Curba amplitudine-frecvență (curba de rezonanță) și definiția factorului de calitate Q ca indicator al amortizării: Q ≈ ω/Δω (unde Δω este lățimea la jumătate din înălțimea maximului) (UCSB 2025b). Sistemele cu Q mare prezintă vârf îngust și amplitudine mare la rezonanță (Feynman 1963).

Materiale și aparatură

• Arc elastic (resort) cu constantă elastică necunoscută k.
• Set de mase (50–500 g) și cârlig de agățare.
• Stativ fix pentru susținerea arcului.
• Cronometru (precizie 0,1 s) și riglă metrică (precizie mm) pentru măsurători manuale.
• Metronom sau sursă de semnal periodic pentru ghidarea frecvenței de forțare.
• (Extensii opționale): Smartphone cu aplicație de accelerometru (PhyPhox) sau cameră video + software Tracker; eventual senzori de mișcare și generator de funcții + vibrator mecanic pentru forțare controlată.

Procedură

Determinarea perioadei în funcție de masă:

1. Măsurați masa m a fiecărui corp atașat (includeți și masa cârligului dacă e notabilă).
2. Atașați masa la arc, deplasați-o circa 2–3 cm în jos și eliberați-o. Cronometrați timpul pentru 10 oscilații complete (reveniri la aceeași fază, de ex. poziția maximă inferioară) și notați-l. Împărțiți la 10 pentru a obține perioada T. Repetați de 3 ori și faceți media pentru acuratețe.
3. Repetați pașii pentru cel puțin 3 mase diferite. Completați un tabel cu valorile m, T_mediu și calculați T².

Grafic și calcul k:

1. Reprezentați grafic T² (axa y) în funcție de m (axa x). Trasați linia cea mai potrivită (așteptată lineară prin origine).
2. Determinați k din panta graficului: conform T²=4π²m/k, rezultă k = 4π²/panta. Alternativ, calculați k pentru fiecare set de date prin k_i = 4π²m_i/T_i și apoi mediați.
3. Comparați valorile k între ele (eroare relativă). Estimați erorile de măsurare (incertitudinea în cronometrări, reacție umană ~0,1–0,2 s, erori la numărarea oscilațiilor).

Oscilații amortizate (observație calitativă):

1. Observați pentru una din mase modul în care amplitudinea scade în timp (fără măsurători detaliate). Notați dacă după 10–20 oscilații amplitudinea scade considerabil (indicativ al frecărilor aerului).
2. Puteți cuantifica: măsurați amplitudinea primelor 3 maxime și vedeți raportul A_n/A_n+1 aproximativ constant? (Extensie: calculați decrement logaritmic δ = ln(A_n/A_n+1) și perioada de timp necesară pentru atenuare la jumătate).

Oscilații forțate – studiul rezonanței:

1. Alegeți una din mase (ex: 200 g) și mențineți-o atașată de arc. Aceasta rămâne fixă pe parcursul acestei părți.
2. Asigurați rigla în spatele masei pentru a cuantifica amplitudinea.
3. Porniți metronomul la un tempo scăzut (ex. 40 bpm). În ritmul bătăilor, deplasați manual baza arcului în sus-jos (~1 cm amplitudine). După ~5 secunde, notați amplitudinea staționară a masei (diferența față de echilibru, în cm). Notați și frecvența forței (40 bpm = 0,667 Hz).
4. Creșteți ritmul la 60 bpm (1 Hz). Repetați: mențineți câteva secunde, apoi notați amplitudinea rezultată.
5. Repetați pentru 80 bpm (1,33 Hz), 100 bpm (1,67 Hz), 120 bpm (2 Hz) sau cât permite sistemul (se anticipează rezonanța în jur de 1–1,5 Hz, în funcție de k și m). Pentru finețe, intercalați și valori intermediare dacă amplitudinea variază brusc pe undeva.
6. Notați într-un tabel: frecvența (Hz) vs amplitudinea (cm).
7. Identificați frecvența la care s-a obținut amplitudinea maximă – aceasta este f_r (rezonanța). Comparați-o cu f₀ calculată teoretic din k și m (f₀ = 1/2π √(k/m)). Discutați eventualele diferențe (frecvența rezonantă reală poate fi puțin mai mică dacă există amortizare).
8. (Opțional) Notați și faza mișcării masei relativ la mișcarea mâinii: pentru forțare lentă masa oscilează în fază (ajunge sus când mâna e sus), iar pentru forțare peste rezonanță masa pare să rămână în urmă (mâna sus, masa jos – defazaj ~180°).

Curba de rezonanță:

1. Desenați un grafic cu amplitudinea (axa y) vs. frecvența de forțare (axa x). Uniți punctele (sau trasați o curbă netedă dacă datele sugerează). Marcați f_r.
2. Evidențiați lățimea aproximativă a curbei la jumătate din A_max. Aceasta se poate corela cu amortizarea: dacă lățimea este mică, amortizarea e slabă (Q mare); lățime mare indică amortizare puternică (Q mic).
3. Dacă se dispune de date suficiente, calculați factorul de calitate: Q ≈ f_r/(f₂ − f₁), unde f₁ și f₂ sunt frecvențele la care A este jumătate din A_max.
4. (Opțional, avansat) Comparați Q astfel obținut cu estimarea din decrementul logaritmic al oscilațiilor libere: Q ≈ 2πN/ln(A₁/A_N+1) pentru N oscilații în care amplitudinea scade de la A₁ la A_N+1.

Date experimentale – exemple de tabel

Tabel 1: Perioada vs. masă (determinare k)

Masa m (kg)	Timp pentru 10 osc. (s)	Perioada T (s)	T2 (s2)
0.05	14.1	1.41	1.99
0.10	20.0	2.00	4.00
0.20	28.4	2.84	8.07
…	…	…	…

(Exemplu de valori fictive). Graficul T² vs. m ar trebui să fie linear. Constanta elastică estimată: k ≈ 4π²/panta. Dacă punem punctele de mai sus, panta T2/m ≈ 40,3 s²/kg, deci k ≈ 4π²/40,3 ≈ 0,98 N/m (valoare exemplificativă).

Tabel 2: Amplitudine vs. frecvență de forțare (rezonanță)

Frecvență forțare (Hz)	Amplitudine oscilație (cm)
0.67	2.0
1.00	3.5
1.33	6.5
1.67	4.0
2.00	1.5

(Valori exemplificative care arată un maxim la ~1.33 Hz). Rezonanța experimentală ~1.33 Hz; frecvența proprie teoretică calculată (pentru k și m date) poate fi, de exemplu, 1.4 Hz – în acord cu observația rezonabilă având în vedere erorile experimentale și efectul amortizării.

Analiza și concluzii:

• Relația T²–m a fost confirmată experimental, ceea ce susține modelul teoretic al oscilațiilor armonice (dependența perioadei de rădăcina masei). Constanta elastică a arcului determinată din măsurători este k = ___ (cu aproximația erorilor de ±X%). Aceasta poate fi comparată cu determinarea statică (prin legea lui Hooke, măsurând alungirea sub o greutate cunoscută) dacă s-a efectuat și acea măsură.
• S-a observat fenomenul de rezonanță: amplitudinea maximă a oscilației forțate a survenit la o frecvență f_r ≈ ___, foarte aproape de frecvența proprie f₀ estimată din k și m. În regim de rezonanță, sistemul a răspuns cu amplitudini mult mai mari decât la alte frecvențe, confirmând transferul eficient de energie la rezonanță (UCSB 2025b). Pentru frecvențe sub f₀, oscilațiile au fost de amplitudine mică și în fază cu forțarea, iar peste f₀ amplitudinea a scăzut și oscilația a devenit defazată (masa “întârzie” față de mișcarea forței).
• Prezența amortizării (frecări cu aerul, etc.) a limitat amplitudinea de rezonanță și a lărgit vârful: dacă s-a estimat factorul de calitate, rezultă Q ≈ ___, indicând o amortizare (mică/medie) în sistem. S-a constatat că după întreruperea forței, oscilațiile libere s-au atenuat în ~__ secunde până la jumătate din amplitudine, în concordanță cu acest Q.
• Extensiv, am arătat calitativ că adăugarea unui amortizor fluid (apă/ulei) reduce dramatic Q: oscilațiile se sting aproape imediat și rezonanța nu mai prezintă un vârf ascuțit. De asemenea, configurarea arcurilor în serie/paralel a modificat frecvența proprie conform teoriei (serie – oscilații mai lente, paralel – mai rapide), ceea ce confirmă principiul superpoziției constantei elastice (Wikipedia 2025b).
• Concluzie generală: experimentul a evidențiat legătura dintre parametrii sistemului (m, k, amortizare) și comportarea oscilațiilor. Rezultatele suportă modelul teoretic al oscilațiilor armonice amortizate și al fenomenului de rezonanță, având aplicații largi (de la instrumente muzicale la suspensii auto și chiar fenomene geologice de rezonanță). Am reușit să măsurăm constanta elastică a arcului și să ilustrăm importanța amortizării în controlul amplitudinii la rezonanță, realizând astfel obiectivele lucrării.

Întrebări recapitulative

1. Cum depinde perioada de oscilație a sistemului masă-arc de valoarea masei atașate? Explicați această dependență pe baza legii lui Hooke (puteți folosi relația ω₀ = √(k/m)).
2. Definiți pe scurt fenomenul rezonanței. Ce s-a observat la rezonanță în experiment și de ce este periculos sau util acest fenomen în situații practice? Dați două exemple (unul în care rezonanța e benefică, de ex. instrumente muzicale, și unul unde e periculoasă, de ex. poduri în vibrație).
3. Explicați rolul amortizării asupra oscilațiilor: ce efect are frecarea asupra amplitudinii în timp și asupra înălțimii/lățimii vârfului de rezonanță? Cum se reflectă o amortizare foarte mare în mișcarea sistemului?
4. Ce este factorul de calitate Q al unui oscilator? Un sistem cu Q = 5 are amortizare mai mare sau mai mică decât unul cu Q = 50? Justificați răspunsul legând de lățimea curbei de rezonanță (Feynman 1963).
5. Dacă am conecta două arcuri identice în paralel și am atârna aceeași masă, cum s-ar modifica perioada față de folosirea unui singur arc? (Calculați raportul teoretic și comparați cu rezultatele experimentale dacă ați realizat extensia.)
6. În experiment am forțat oscilațiile manual, care sunt principalele surse de eroare în determinarea amplitudinii de rezonanță prin această metodă? Cum ați ameliora aceste probleme utilizând un dispozitiv automat sau senzori?
7. (Avansat) Scrieți ecuația de mișcare pentru oscilatorul masă-arc cu amortizare și forțare sinusoidală. Care este soluția staționară (fără a deriva, ci sub formă de dependență a amplitudinii de frecvență)? Cum definește această soluție frecvența de rezonanță ω_r și ce se întâmplă cu ω_r relativ la ω₀ când amortizarea crește (Wikipedia 2025a)?
8. (Avansat) De ce credeți că la rezonanță există un defazaj de ~90° între forța care acționează și răspunsul oscilatorului? Ce se întâmplă cu acest defazaj sub și peste frecvența de rezonanță?

Bibliografie

• Aapt. 2020. „Labs 06 and 07: Using Tracker for conducting video analysis of oscillating objects”. https://advlabs.aapt.org/wiki/File%3A5554.
• Elert, Glenn. 2025. „Resonance”. În The Physics Hypertextbook. Hypertextbook. https://physics.info/resonance/.
• Feynman, Richard. 1963. „The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 23: Resonance”. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_23.html.
• HyperPhysics. 2025. Introduction: Periodic Motion. https://www.lehman.edu/faculty/anchordoqui/chapter23.pdf.
• Llnl. 2025. „Physics with Phones | Science and Technology”. https://st.llnl.gov/sci-ed/Physics-with-Phones.
• Randolphcollege. 2025. „Resonance Lab”. https://physics.randolphcollege.edu/psheldon/classes/p3332/Labs/Resonance/index.htm.
• Stlawu. 2021. „Phys 103 – Simple Harmonic Motion – Fall 2025”. http://myslu.stlawu.edu/~jmil/physics/labs/103_lab/inactive/shm_old.shtml.
• Sunysb. 2025. „G2-01. Mass On Spring – Hand Held | Physics Lab Demo”. https://www.stonybrook.edu/commcms/physics-lab-demo/g.-vibrations-and-mechanical-waves/g2.-resonance-and-coupled-oscillations/mass-spring-hand-held.php.
• UCSB. 2025a. „40.33 – Mass-springs damped in oil, water”. https://web.physics.ucsb.edu/~lecturedemonstrations/Composer/Pages/40.33.html.
• UCSB. 2025b. „40.45 – Driven mass-spring”. https://web.physics.ucsb.edu/~lecturedemonstrations/Composer/Pages/40.45.html.
• Wikipedia. 2025a. „Resonance”. În Wikipedia. septembrie 4. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Resonance&oldid=1309526089.
• Wikipedia. 2025b. „Series and Parallel Springs”. În Wikipedia. aprilie 4. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Series_and_parallel_springs&oldid=1283990017.

PDF: https://www.telework.ro/ro/e-books/oscilator-masa-arc-si-rezonanta/