Am dat o varietate de exemple de particule aflate în echilibru. Acum ne îndreptăm atenția asupra problemelor de accelerare a particulelor, care sunt rezultatul unei forțe nete diferită de zero. Consultați din nou pașii indicați la începutul acestei secțiuni și observați cum sunt aplicați în exemplele următoare.
| EXEMPLUL 6.2
Forța de tragere asupra unei barje Două remorchere împing o barjă în unghiuri diferite (Figura 6.4). Primul remorcher exercită o forță de 2,7 × 105 N în direcția x, iar al doilea remorcher exercită o forță de 3,6 × 105 N în direcția y. Masa barjei este de 5,0 × 106 kg și se observă că accelerația sa este de 7,5 × 10−2 m/s2 în direcția prezentată. Care este forța de tragere a apei pe șlep care se opune mișcării? (Notă: Forța de tragere este o forță de frecare exercitată de fluide, cum ar fi aerul sau apa. Forța de tragere se opune mișcării obiectului. Deoarece barja are fundul plat, putem presupune că forța de tragere este în direcția opusă mișcării barjei.)
Strategie Direcțiile și mărimile accelerației și forțele aplicate sunt date în Figura 6.4(a). Definim forța totală a remorcherelor pe șlep ca F⃗app astfel încât F⃗app = F⃗1 + F⃗2. Tragerea apei F⃗D este în direcția opusă direcției de mișcare a bărcii; această forță funcționează astfel împotriva F⃗app, așa cum se arată în diagrama cu corp liber din Figura 6.4(b). Sistemul de interes aici este barja, deoarece sunt date forțele asupra acesteia, precum și accelerația sa. Deoarece forțele aplicate sunt perpendiculare, axele x și y sunt în aceeași direcție cu F⃗1 și F⃗2. Problema devine rapid o problemă unidimensională pe direcția lui F⃗app, deoarece frecarea este în direcția opusă față de F⃗app. Strategia noastră este să găsim mărimea și direcția forței nete aplicate F⃗app și apoi să aplicăm a doua lege a lui Newton pentru a rezolva forța de tragere F⃗D. Soluție Deoarece Fx și Fy sunt perpendiculare, putem găsi direct magnitudinea și direcția lui F⃗app. În primul rând, mărimea rezultată este dată de teorema lui Pitagora: Fapp = √(F21 + F22) = √((2,7 × 105 N)2 + (3,6 × 105 N)2) = 4,5 × 105 N. Unghiul este dat de Θ = tan−1(F2/F1) = tan−1(3,6 × 105 N/2,7 × 105 N) = 53,1°. Din prima lege a lui Newton, știm că aceasta este aceeași direcție ca și accelerația. De asemenea, știm că F⃗D este în direcția opusă lui F⃗app, deoarece acționează pentru a încetini accelerația. Prin urmare, forța externă netă este în aceeași direcție cu F⃗app, dar magnitudinea sa este puțin mai mică decât a lui F⃗app. Problema este acum unidimensională. Din diagrama corpului liber, putem vedea asta Fnet = Fapp − FD. Cu toate acestea, a doua lege a lui Newton spune că Fnet = ma. Prin urmare, Fapp – FD = ma. Acest lucru poate fi rezolvat pentru mărimea forței de tragere a apei FD în termeni de cantități cunoscute: FD = Fapp − ma. Înlocuirea valorilor cunoscute dă FD = (4,5 × 105 N) − (5,0 × 106 kg)(7,5 × 10−2 m/s2) = 7,5 × 104 N. Direcția lui F⃗D a fost deja determinată a fi în direcția opusă lui F⃗app sau la un unghi de 53° la sud de vest. Semnificație Numerele utilizate în acest exemplu sunt rezonabile pentru o barjă moderat de mare. Cu siguranță este dificil să obțineți accelerații mai mari cu remorcherele, iar viteze mici sunt de dorit pentru a evita trecerea barjei în docuri. Tragerea este relativ mică pentru o carenă bine proiectată la viteze mici, în concordanță cu răspunsul la acest exemplu, unde FD este mai mică de 1/600 din greutatea navei. |
În Legile mișcării lui Newton, am discutat despre forța normală, care este o forță de contact care acționează normal pe suprafață, astfel încât un obiect să nu aibă o accelerație perpendiculară pe suprafață. Cântarul de baie este un exemplu excelent al unei forțe normale care acționează asupra unui corp. Oferă o citire cantitativă a cât de mult trebuie să împingă în sus pentru a suporta greutatea unui obiect. Dar poți prezice ce ai vedea pe cadranul unui cântar de baie dacă ai sta pe el în timpul unei călătorii cu liftul? Veți vedea o valoare mai mare decât greutatea dumneavoastră când liftul pornește? Dar când liftul se mișcă în sus cu o viteză constantă? Ghiciți înainte de a citi următorul exemplu.
| EXEMPLUL 6.3
Ce citește cântarul de baie într-un lift?
Figura 6.5 (a) Diferitele forțe care acționează atunci când o persoană stă pe un cântar de baie într-un lift. Săgețile sunt aproximativ corecte pentru atunci când liftul accelerează în sus – săgețile întrerupte reprezintă forțe prea mari pentru a fi trase la scară. T⃗ este tensiunea din cablul de susținere, w⃗ este greutatea persoanei, w⃗s este greutatea cântarului, w⃗e este greutatea ascensorului, F⃗s este forța cântarului asupra persoanei, F⃗p este forța persoanei pe cântar, F⃗t este forța scalei pe podeaua liftului, iar N⃗ este forța podelei în sus pe cântar. (b) Diagrama corpului liber arată doar forțele externe care acționează asupra sistemului de interes desemnat – persoana – și este diagrama pe care o folosim pentru rezolvarea problemei. Strategie Dacă cântarul în repaus este precis, citirea lui este egală cu F⃗p, mărimea forței pe care persoana o exercită în jos asupra ei. Figura 6.5(a) prezintă numeroasele forțe care acționează asupra ascensorului, cântarului și persoanei. Aceasta face ca această problemă unidimensională să pară mult mai formidabilă decât dacă persoana este aleasă să fie sistemul de interes și este desenată o diagramă cu corp liber, ca în Figura 6.5(b). Analiza diagramei cu corp liber folosind legile lui Newton poate produce răspunsuri atât la Figura 6.5(a) cât și (b) din acest exemplu, cât și la alte întrebări care ar putea apărea. Singurele forțe care acționează asupra persoanei sunt greutatea sa w⃗ și forța ascendentă a cântarului F⃗s. Conform celei de-a treia legi a lui Newton, F⃗p și F⃗s sunt egale ca mărime și opuse ca direcție, astfel încât trebuie să găsim Fs pentru a afla ce citește cântarul. Putem face acest lucru, ca de obicei, aplicând a doua lege a lui Newton, F⃗net = ma⃗ . Din diagrama cu corp liber, vedem că F⃗net = F⃗s − w⃗ , deci avem Fs – w = ma. Rezolvarea pentru Fs ne dă o ecuație cu o singură necunoscută: Fs = ma + w, sau, pentru că w = mg, pur și simplu Fs = ma + mg. Nu s-au făcut ipoteze cu privire la accelerație, așa că această soluție ar trebui să fie valabilă pentru o varietate de accelerații în plus față de cele din această situație. (Notă: Luăm în considerare cazul în care liftul accelerează în sus. Dacă liftul accelerează în jos, a doua lege a lui Newton devine Fs – w = −ma.) Soluție a. Avem a = 1,20 m/s2, astfel încât Fs = (75,0 kg)(9,80 m/s2) + (75,0 kg)(1,20 m/s2) obținând Fs = 825 N. b. Acum, ce se întâmplă când liftul atinge o viteză constantă în sus? Cântarul va mai citi mai mult decât greutatea lui? Pentru orice viteză constantă – sus, jos sau staționară – accelerația este zero deoarece a = Δv/Δt și Δv = 0. Prin urmare, Fs = ma + mg = 0 + mg sau Fs = (75,0 kg)(9,80 m/s2), care dă Fs = 735 N. Semnificație Citirea cântarului din figura 6.5(a) este de aproximativ 185 lb. Ce ar fi citit cântarul dacă ar fi staționat? Deoarece accelerația lui ar fi zero, forța cântarului ar fi egală cu greutatea lui: Fnet = ma = 0 = Fs − w Fs = w = mg Fs = (75,0 kg)(9,80 m/s2) = 735 N. Astfel, citirea cântarului din lift este mai mare decât greutatea lui de 735 N. Aceasta înseamnă că cântarul împinge în sus pe persoană cu o forță mai mare decât greutatea lui, așa cum trebuie pentru a o accelera în sus. În mod clar, cu cât accelerația liftului este mai mare, cu atât citirea scalei este mai mare, în concordanță cu ceea ce simțiți în ascensoarele care accelerează rapid față de ascensoarele care accelerează încet. În Figura 6.5(b), citirea cântarului este 735 N, ceea ce este egal cu greutatea persoanei. Acesta este cazul ori de câte ori liftul are o viteză constantă – în sus, în jos sau în staționare. |
| EXERCIȚIUL 6.1
Acum calculați citirea cântarului atunci când liftul accelerează în jos cu o viteză de 1,20 m/s2. Soluția pentru exemplul anterior se aplică și unui lift care accelerează în jos, așa cum s-a menționat. Când un lift accelerează în jos, a este negativ, iar citirea cântarului este mai mică decât greutatea persoanei. Dacă se atinge o viteză constantă în jos, citirea cântarului devine din nou egală cu greutatea persoanei. Dacă liftul este în cădere liberă și accelerează în jos la g, atunci citirea cântarului este zero și persoana pare a fi lipsită de greutate. |
| EXEMPLUL 6.4
Două blocuri atașate
Figura 6.6 (a) Blocul 1 este conectat printr-o sfoară ușoară de blocul 2. (b) Diagramele cu corpuri libere ale blocurilor. Strategie Desenăm o diagramă cu corp liber pentru fiecare masă separat, așa cum se arată în Figura 6.6. Apoi le analizăm pe fiecare pentru a găsi necunoscutele necesare. Forțele pe blocul 1 sunt forța gravitațională, forța de contact a suprafeței și tensiunea din sfoară. Blocul 2 este supus forței gravitaționale și tensiunii sforii. A doua lege a lui Newton se aplică fiecăruia, așa că scriem două ecuații vectoriale: Pentru blocul 1: T⃗ + w⃗1 + N⃗ = m1a⃗1 Pentru blocul 2: T⃗ + w⃗2 = m2a⃗2. Observați că T⃗ este același pentru ambele blocuri. Deoarece sfoara și scripetele au o masă neglijabilă și din moment ce nu există frecare în scripete, tensiunea este aceeași pe toată sfoara. Acum putem scrie ecuații ale componentelor pentru fiecare bloc. Toate forțele sunt orizontale sau verticale, așa că putem folosi același sistem de coordonate orizontal/vertical pentru ambele obiecte Soluție Ecuațiile componentelor decurg din ecuațiile vectoriale de mai sus. Vedem că blocul 1 are forțele verticale echilibrate, așa că le ignorăm și scriem o ecuație care raportează componentele x. Nu există forțe orizontale pe blocul 2, așa că este scrisă doar ecuația y. Obținem următoarele rezultate: Blocul 1 Blocul 2 ∑Fx = max ∑Fy = may Tx = m1a1x Ty − m2g = m2a2y. Când blocul 1 se deplasează spre dreapta, blocul 2 parcurge o distanță egală în jos; astfel, a1x = −a2y. Scriind accelerația comună a blocurilor ca a = a1x = −a2y, avem acum T = m1a și T − m2g = −m2a. Din aceste două ecuații, putem exprima a și T în termeni de masele m1 și m2, și g: a = m2/(m1+m2) · g și T = m1m2/(m1+m2) · g. Semnificație Observați că tensiunea din sfoară este mai mică decât greutatea blocului care atârnă de capătul acestuia. O eroare obișnuită în probleme de genul acesta este setarea T = m2g. Puteți vedea din diagrama cu corp liber a blocului 2 care nu poate fi corectă dacă blocul accelerează. |
| EXERCIȚIUL 6.2
Calculați accelerația sistemului, si tensiunea în sfoară, când masele sunt m1 = 5,00 kg și m2 = 3,00 kg. |
| EXEMPLUL 6.5
Mașina Atwood O problemă clasică de fizică, asemănătoare celei pe care tocmai am rezolvat-o, este cea a mașinii Atwood, care constă într-o sfoară care trece peste un scripete, cu două obiecte de masă diferită atașate. Este deosebit de util în înțelegerea legăturii dintre forță și mișcare. În figura 6.7, m1 = 2,00 kg și m2 = 4,00 kg. Considerați scripetele ca fiind fără frecare. (a) Dacă m2 este eliberat, care va fi accelerația sa? (b) Care este tensiunea în coardă?
Strategie Desenăm o diagramă cu corp liber pentru fiecare masă separat, așa cum se arată în figură. Apoi analizăm fiecare diagramă pentru a găsi necunoscutele necesare. Aceasta poate implica rezolvarea ecuațiilor simultane. De asemenea, este important de remarcat asemănarea cu exemplul anterior. Pe măsură ce blocul 2 accelerează cu accelerația a2 în direcția descendentă, blocul 1 accelerează în sus cu accelerația a1. Astfel, a = a1 = −a2. Soluție a. Avem Pentru m1, ∑Fy = T − m1g = m1a. Pentru m2, ∑Fy = T − m2g = −m2a. (Semnul negativ din fața lui m2a indică faptul că m2 accelerează în jos; ambele blocuri accelerează cu aceeași rată, dar în direcții opuse.) Rezolvați cele două ecuații simultan (scădeți-le) și rezultatul este (m2 − m1)g = (m1 + m2)a. Rezolvarea pentru a: a = (m2 − m1)/(m1+m2) · g = (4 kg – 2 kg)/(4 kg + 2 kg) · (9,8 m/s2) = 3,27 m/s2. b. Observând primul bloc, vedem că T − m1g = m1a T = m1(g + a) = (2 kg)(9,8 m/s2 + 3,27 m/s2) = 26,1 N. Semnificație Rezultatul pentru accelerația dată în soluție poate fi interpretat ca raportul dintre forța dezechilibrată asupra sistemului, (m2 − m1)g, și masa totală a sistemului, m1 + m2. De asemenea, putem folosi mașina Atwood pentru a măsura puterea câmpului gravitațional local. |
| EXERCIȚIUL 6.3
Determinați o formulă generală în termeni de m1, m2 și g pentru calcularea tensiunii din fir pentru mașina Atwood prezentată mai sus. |
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Descoperă mai multe la MultiMedia
Abonează-te ca să primești ultimele articole prin email.
Lasă un răspuns