Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Mecanica » Rezolvarea problemelor mai complexe în mișcarea unidimensională

Rezolvarea problemelor mai complexe în mișcarea unidimensională

postat în: Mecanica 0

În următoarele exemple, continuăm să explorăm mișcarea unidimensională, dar în situații care necesită puțin mai multă manipulare algebrică. Exemplele oferă, de asemenea, o perspectivă asupra tehnicilor de rezolvare a problemelor. Nota care urmează este furnizată pentru referire ușoară la ecuațiile necesare. Rețineți că aceste ecuații nu sunt independente. În multe situații avem două necunoscute și avem nevoie de două ecuații din set pentru a rezolva necunoscutele. Avem nevoie de atâtea ecuații câte necunoscute există pentru a rezolva o situație dată.

REZUMATUL ECUAȚIILOR CINEMATICE (CONSTANTA A)

x = x0 + vt

v = (v0 + v)/2

v = v0 + at

x = x0 + v0t + ½ at2

v2 = v20 + 2a(x − x0)

 

Înainte de a intra în exemple, să ne uităm la unele dintre ecuații mai îndeaproape pentru a vedea comportamentul accelerației la valori extreme. Rearanjând ecuația 3.12, avem

a = (v−v0)/t.

Din aceasta vedem că, pentru un timp finit, dacă diferența dintre vitezele inițiale și finale este mică, accelerația este mică, apropiindu-se de zero în limita în care vitezele inițiale și finale sunt egale. Dimpotrivă, în limita t→0 pentru o diferență finită între viteza inițială și cea finală, accelerația devine infinită.

În mod similar, rearanjând ecuația 3.14, putem exprima accelerația în termeni de viteze și deplasare:

a = (v2 − v20)/2(x − x0).

Astfel, pentru o diferență finită între viteza inițială și cea finală, accelerația devine infinită în limita deplasării care se apropie de zero. Accelerația se apropie de zero în limita diferenței de viteze inițiale și finale care se apropie de zero pentru o deplasare finită.

EXEMPLUL 3.10

Cât de departe merge o mașină?

Pe betonul uscat, o mașină poate accelera opus mișcării cu o viteză de 7,00 m/s2, în timp ce pe betonul umed poate accelera opus mișcării cu doar 5,00 m/s2. Găsiți distanțele necesare pentru a opri o mașină care se deplasează cu 30,0 m/s (aproximativ 110 km/h) pe (a) beton uscat și (b) beton umed. (c) Repetați ambele calcule și găsiți deplasarea din punctul în care șoferul vede un semafor care devine roșu, ținând cont de timpul lui de reacție de 0,500 s pentru a pune piciorul pe frână.

Strategie

Mai întâi, trebuie să desenăm o schiță, Figura 3.22. Pentru a determina ce ecuații sunt cele mai bune de utilizat, trebuie să enumerăm toate valorile cunoscute și să identificăm exact pentru ce trebuie să rezolvăm.

Rezolvarea problemelor mai complexe în mișcarea unidimensională

Figura 3.22 Exemplu de schiță pentru a vizualiza accelerația opusă mișcării și distanței de oprire a unei mașini

Soluție

a. În primul rând, trebuie să identificăm cunoștințele și pentru ce vrem să rezolvăm. Știm că v0 = 30,0 m/s, v = 0 și a = −7,00 m/s2 (a este negativă deoarece este într-o direcție opusă vitezei). Considerăm că x0 este zero. Căutăm deplasarea Δx, sau x − x0.

În al doilea rând, identificăm ecuația care ne va ajuta să rezolvăm problema. Cea mai bună ecuație de utilizat este

v2 = v20 + 2a(x − x0).

Această ecuație este cea mai bună deoarece include o singură necunoscută, x. Cunoaștem valorile tuturor celorlalte variabile din această ecuație. (Alte ecuații ne-ar permite să rezolvăm pentru x, dar ne cer să cunoaștem timpul de oprire, t, pe care nu îl cunoaștem. Le-am putea folosi, dar ar presupune calcule suplimentare.)

În al treilea rând, rearanjăm ecuația pentru a rezolva pentru x:

x − x0 = (v2 − v20)/2a

și înlocuim valorile cunoscute:

x – 0 = (02 − (30,0 m/s)2)/2(−7,00 m/s2).

Prin urmare,

x = 64,3 m pe beton uscat.

b. Această parte poate fi rezolvată exact în același mod ca (a). Singura diferență este că accelerația este -5,00 m/s2. Rezultatul este

xumed = 90,0 m pe beton umed.

c. Când șoferul reacționează, distanța de oprire este aceeași cu cea din (a) și (b) pentru betonul uscat și umed. Deci, pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să calculăm cât de departe parcurge mașina în timpul de reacție și apoi să adăugăm asta la timpul de oprire. Este rezonabil să presupunem că viteza rămâne constantă în perioada timpului de reacție al șoferului.

Pentru a face acest lucru, din nou identificăm cunoscutele și pentru ce vrem să rezolvăm. Știm că v = 30.0 m/s, treacție = 0,500 s și areacție = 0. Considerăm că x0reacție este zero. Căutăm xreacție.

În al doilea rând, ca și înainte, identificăm cea mai bună ecuație de utilizat. În acest caz, x = x0 + vt funcționează bine deoarece singura valoare necunoscută este x, care este ceea ce vrem să rezolvăm.

În al treilea rând, înlocuim ce cunoaștem pentru a rezolva ecuația:

x = 0 + (30,0 m/s)(0,500 s) = 15,0 m.

Aceasta înseamnă că mașina parcurge 15,0 m în timp ce șoferul reacționează, făcând deplasările totale în cele două cazuri de beton uscat și umed cu 15,0 m mai mari decât dacă ar reacționa instantaneu.

În sfârșit, adăugăm apoi deplasarea în timpul de reacție la deplasarea la frânare (Figura 3.23),

xfrânare + xreacție = xtotal,

și găsiți (a) să fie de 64,3 m + 15,0 m = 79,3 m când este uscat și (b) să fie de 90,0 m + 15,0 m = 105 m când este umed.

Rezolvarea problemelor mai complexe în mișcarea unidimensională

Figura 3.23 Distanța necesară pentru a opri o mașină variază foarte mult, în funcție de condițiile drumului și de timpul de reacție al șoferului. Aici sunt prezentate distanțele de frânare pentru pavaj uscat și umed, calculate în acest exemplu, pentru o mașină care se deplasează inițial cu 30,0 m/s. De asemenea, sunt afișate distanțele totale parcurse din punctul în care șoferul vede pentru prima dată o lumină care devine roșie, presupunând un timp de reacție de 0,500 s.

Semnificație

Deplasările găsite în acest exemplu par rezonabile pentru oprirea unei mașini care se mișcă rapid. Ar trebui să dureze mai mult pentru a opri o mașină pe trotuar umed decât uscat. Este interesant că timpul de reacție se adaugă semnificativ la deplasări, dar mai importantă este abordarea generală a rezolvării problemelor. Identificăm cunoscutele și cantitățile de determinat, apoi găsim o ecuație adecvată. Dacă există mai multe necunoscute, avem nevoie de atâtea ecuații independente câte necunoscute sunt de rezolvat. Există adesea mai multe moduri de a rezolva o problemă. Diferitele părți ale acestui exemplu pot fi, de fapt, rezolvate prin alte metode, dar soluțiile prezentate aici sunt cele mai scurte.

 

EXEMPLUL 3.11

Calcularea timpului

Să presupunem că o mașină intră în traficul pe autostradă de pe o rampă de 200 m lungime. Dacă viteza sa inițială este de 10,0 m/s și accelerează cu 2,00 m/s2, de cât timp are nevoie mașina să parcurgă cei 200 m pe rampă? (Asemenea informații ar putea fi utile unui inginer de trafic.)

Strategie

Mai întâi, desenăm o schiță, Figura 3.24. Ni se cere să rezolvăm pentru timpul t. Ca și înainte, identificăm cantitățile cunoscute pentru a alege o relație fizică convenabilă (adică o ecuație cu o necunoscută, t.)

Rezolvarea problemelor mai complexe în mișcarea unidimensională

Figura 3.24 Schiță a unui automobil care accelerează pe o rampă de autostradă.

Soluție

Din nou, identificăm datele cunoscute și pentru ce vrem să rezolvăm. Știm că x0 = 0,

v0 = 10 m/s, a = 2,00 m/s2 și x = 200 m.

Trebuie să rezolvăm pentru t. Ecuația x = x0 + v0t + ½ at2 funcționează cel mai bine deoarece singura necunoscută din ecuație este variabila t, pentru care trebuie să o rezolvăm. Din această perspectivă vedem că atunci când introducem datele cunoscute în ecuație, ajungem la o ecuație pătratică.

Trebuie să rearanjam ecuația pentru a rezolva pentru t, apoi înlocuim datele cunoscute în ecuație:

200 m = 0 m + (10,0 m/s)t + ½ (2,00 m/s2)t2.

Apoi simplificăm ecuația. Unitățile de metri se anulează pentru că sunt în fiecare termen. Putem obține unitățile de secunde să se anuleze luând t = t s, unde t este mărimea timpului și s este unitatea. Făcând asta avem

200 = 10t + t2.

Apoi folosim formula pătratică pentru a rezolva pentru t,

t2 + 10t – 200 = 0

t = (−b ± √(b2 − 4ac))/2a,

care dă două soluții: t = 10,0 și t = −20,0. O valoare negativă pentru timp este nerezonabilă, deoarece ar însemna că evenimentul a avut loc cu 20 de secunde înainte de începerea mișcării. Putem renunța la această soluție. Prin urmare,

t = 10,0 s.

Semnificație

Ori de câte ori o ecuație conține un pătrat necunoscut, există două soluții. În unele probleme ambele soluții sunt semnificative; în altele, o singură soluție este rezonabilă. Răspunsul de 10.0 s pare rezonabil pentru o rampă pe autostradă tipică.

 

EXERCIȚIUL 3.5

O rachetă accelerează cu o viteză de 20 m/s2 în timpul lansării. Cât durează ca racheta să atingă o viteză de 400 m/s?

v = v0 + at.

Rearanjați pentru a rezolva pentru t:

t = (v − v0)/a = (400 m/s – 0 m/s)/20 m/s2 = 20s.

EXEMPLUL 3.12

Accelerația unei nave spațiale

O navă spațială a părăsit orbita Pământului și este în drum spre Lună. Accelerează cu 20 m/s2 timp de 2 min și parcurge o distanță de 1000 km. Care sunt vitezele inițiale și finale ale navei spațiale?

Strategie

Ni se cere să găsim vitezele inițiale și finale ale navei spațiale. Privind ecuațiile cinematice, vedem că o ecuație nu va da răspunsul. Trebuie să folosim o ecuație cinematică pentru a rezolva una dintre viteze și să o înlocuim într-o altă ecuație cinematică pentru a obține a doua viteză. Astfel, rezolvăm două dintre ecuațiile cinematice simultan.

Soluție

Mai întâi rezolvăm pentru v0 folosind x = x0 + v0t + ½ at2:

x − x0 = v0t + ½ at2

1,0 × 106 m = v0(120,0 s) + 12(20,0 m/s2)(120,0 s)2

v0 = 7133,3 m/s.

Apoi înlocuim v0 în v = v0 + at pentru a rezolva viteza finală:

v = v0 + at = 7133,3 m/s + (20,0 m/s2)(120,0s) = 9533,3 m/s.

Semnificație

Există șase variabile în deplasare, timp, viteză și accelerație care descriu mișcarea într-o singură dimensiune. Condițiile inițiale ale unei probleme date pot fi multe combinații ale acestor variabile. Din cauza acestei diversități, soluțiile pot să nu fie la fel de ușoare ca simplele substituții într-una dintre ecuații. Acest exemplu ilustrează faptul că soluțiile cinematice pot necesita rezolvarea a două ecuații cinematice simultan.

Cu elementele de bază ale cinematicii stabilite, putem continua la multe alte exemple și aplicații interesante. În procesul de dezvoltare a cinematicii, am întrezărit și o abordare generală a rezolvării problemelor care produce atât răspunsuri corecte, cât și perspective asupra relațiilor fizice. Următorul nivel de complexitate în problemele noastre de cinematică implică mișcarea a două corpuri interconectate, numite probleme de urmărire a două corpuri.

 

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2023 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9.99$35.00 Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4.99 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *