Mișcarea în două și trei dimensiuni

(The Red Arrows este echipa de prezentare a acrobatiei aeriene a Royal Air Force din Marea Britanie. Cu sediul în Lincolnshire, Anglia, efectuează spectacole de zbor de precizie la viteze mari, ceea ce necesită măsurarea exactă a poziției, vitezei și accelerației în trei dimensiuni.)

Pentru a oferi o descriere completă a cinematicii, trebuie să explorăm mișcarea în două și trei dimensiuni. La urma urmei, majoritatea obiectelor din universul nostru nu se mișcă în linii drepte; mai degrabă ele urmează căi curbate. De la mingile de fotbal lovite până la căile de zbor ale păsărilor, la mișcările orbitale ale corpurilor cerești și până la fluxul de plasmă sanguină în vene, în cea mai mare parte mișcarea urmează traiectorii curbate.

Din fericire, tratamentul mișcării într-o dimensiune ne-a oferit o bază pe care să construim, deoarece conceptele de poziție, deplasare, viteză și accelerație definite într-o dimensiune pot fi extinse la două și trei dimensiuni. Luați în considerare The Red Arrows, cunoscută și sub numele de echipa aerobatică Royal Air Force din Regatul Unit. Fiecare jet urmează o traiectorie curbată unică în spațiul aerian tridimensional, precum și o viteză și o accelerație unice. Astfel, pentru a descrie cu exactitate mișcarea oricărui jet, trebuie să atribuim fiecărui jet un vector de poziție unic în trei dimensiuni, precum și un vector unic de viteză și accelerație. Putem aplica aceleași ecuații de bază pentru deplasare, viteză și accelerație pe care le-am derivat în mișcarea de-a lungul unei linii drepte pentru a descrie mișcarea jeturilor în două și trei dimensiuni, dar cu unele modificări – în special includerea vectorilor.

În acest capitol explorăm, de asemenea, două tipuri speciale de mișcare în două dimensiuni: mișcarea proiectilului și mișcarea circulară. În sfârșit, încheiem cu o discuție despre mișcarea relativă. În imaginea de deschidere a capitolului, fiecare jet are o mișcare relativă față de orice alt jet din grup sau față de persoanele care observă spectacolul aerian de pe sol.

Vectori de deplasare și viteză

Deplasarea și viteza în două sau trei dimensiuni sunt extensii directe ale definițiilor unidimensionale. Cu toate acestea, acum sunt cantități vectoriale, astfel încât calculele cu ele trebuie să respecte regulile algebrei vectoriale, nu algebrei scalare.

Vectorul deplasare

Pentru a descrie mișcarea în două și trei dimensiuni, trebuie mai întâi să stabilim un sistem de coordonate și o convenție pentru axe. În general, folosim coordonatele x, y și z pentru a localiza o particulă în punctul P(x,y,z) în trei dimensiuni. Dacă particula se mișcă, variabilele x, y și z sunt funcții de timp (t):

x = x(t)y = y(t)z = z(t).

Vectorul poziție de la originea sistemului de coordonate până la punctul P este r⃗(t). În notația vectorială unitară, introdusă în sistemele de coordonate și componentele unui vector, r⃗(t) este

r⃗(t) = x(t)iˆ + y(t)jˆ + z(t)kˆ.

 

Figura 4.2 prezintă sistemul de coordonate și vectorul către punctul P, unde o particulă ar putea fi localizată la un anumit moment t. Observați orientarea axelor x, y și z. Această orientare se numește sistem de coordonate de dreapta, și este utilizat pe tot parcursul capitolului.

(Un sistem tridimensional de coordonate cu o particulă în poziția P(x(t),y(t),z(t)).)

Cu definiția noastră a poziției unei particule în spațiul tridimensional, putem formula deplasarea tridimensională. Figura 4.3 prezintă o particulă la momentul t₁ situată la P₁ cu vectorul de poziție r⃗(t₁). La un moment ulterior t₂, particula este localizată la P₂ cu vectorul de poziție r⃗(t₂). Vectorul deplasare Δr⃗ se găsește scăzând r⃗(t₁) din r⃗(t₂):

Δr⃗ = r⃗(t2) − r⃗(t1).

 

Adunarea vectorilor este discutată în capitolul Vectori. Rețineți că aceasta este aceeași operație pe care am făcut-o într-o singură dimensiune, dar acum vectorii sunt în spațiu tridimensional.

(Deplasarea Δr⃗ = r⃗(t₂) − r⃗(t₁) este vectorul de la P₁ la P₂.)

Următoarele exemple ilustrează conceptul de deplasare în dimensiuni multiple.

Exemplul 4.1 Satelit pe orbită polară Un satelit se află pe o orbită circulară polară în jurul Pământului la o altitudine de 400 km – ceea ce înseamnă că trece direct deasupra la polul nord și sud. Care este mărimea și direcția vectorului deplasare de la momentul în care este direct deasupra Polului Nord până când se află la -45° latitudine? Strategie Desenăm o imagine a problemei pentru a vizualiza grafic soluția. Acest lucru ne va ajuta să înțelegem deplasarea. Apoi folosim vectori unitari pentru a rezolva deplasarea. Soluţie Figura 4.4 prezintă suprafața Pământului și un cerc care reprezintă orbita satelitului. Deși sateliții se mișcă în spațiu tridimensional, aceștia urmează traiectorii elipstice, care pot fi reprezentate grafic în două dimensiuni. Vectorii poziție sunt desenați din centrul Pământului, pe care îl considerăm a fi originea sistemului de coordonate, cu axa y ca nord și axa x ca est. Vectorul dintre ele este deplasarea satelitului. Luăm raza Pământului ca 6370 km, deci lungimea fiecărui vector de poziție este de 6770 km. (Doi vectori de poziție sunt desenațidin centrul Pământului, care este originea sistemului de coordonate, cu axa y ca la nord și axa x ca la est. Vectorul dintre ele este deplasarea satelitului. În notația vectorială unitară, vectorii de poziție sunt r⃗(t1) = 6770.kmjˆ r⃗(t2) = 6770.km (cos(–45°))iˆ + 6770.km(sin(−45°))jˆ. Evaluând sinusul și cosinusul, avem r⃗(t1) = 6770.jˆ r⃗(t2) =4787iˆ − 4787jˆ. Acum putem găsi Δr⃗, deplasarea satelitului: Δr⃗ = r⃗(t2) − r⃗(t1) = 4787iˆ − 11.557jˆ. Mărimea deplasării este |Δr⃗| = √((4787)2 + (-11.557)2) = 12.509km. Unghiul pe care îl face deplasarea cu axa x este θ = tan−1(−11,557/4787) = – 67,5°. Semnificaţie Trasarea deplasării oferă informații și semnificație soluției vectoriale unitare a problemei. Când trasăm deplasarea, trebuie să includem componentele sale, precum și magnitudinea și unghiul pe care îl face cu axa aleasă – în acest caz, axa x (Figura 4.5). (Vector deplasare cu componente, unghi și magnitudine.) Rețineți că satelitul a luat o cale curbată de-a lungul orbitei sale circulare pentru a ajunge de la poziția sa inițială la poziția sa finală în acest exemplu. De asemenea, ar fi putut călători 4787 km est, apoi 11 557 km sud pentru a ajunge în aceeași locație. Ambele căi sunt mai lungi decât lungimea vectorului de deplasare. De fapt, vectorul deplasare oferă cea mai scurtă cale între două puncte în una, două sau trei dimensiuni. Multe aplicații în fizică pot include o serie de deplasări, după cum s-a discutat în capitolul anterior. Deplasarea totală este suma deplasărilor individuale, doar că de data aceasta trebuie să fim atenți, deoarece adăugăm vectori. Ilustrăm acest concept cu un exemplu de mișcare browniană.

 

Exemplul 4.2 Mișcarea browniană Mișcarea browniană este o mișcare haotică aleatorie a particulelor suspendate într-un fluid, rezultată din coliziunile cu moleculele fluidului. Această mișcare este tridimensională. Deplasările în ordine numerică a unei particule care suferă mișcare browniană ar putea arăta după cum urmează, în micrometri (Figura 4.6): Δr⃗1 = 2.0iˆ + jˆ + 3.0kˆ Δr⃗2 = − iˆ + 3.0kˆ Δr⃗3 = 4.0iˆ − 2.0jˆ + kˆ Δr⃗4 = − 3.0iˆ + jˆ + 2.0kˆ Care este deplasarea totală a particulei de la origine? (Traiectoria unei particule care suferă deplasări aleatorii ale mișcării browniene. Deplasarea totală este afișată în roșu.) Soluţie Formăm suma deplasărilor și le adăugăm ca vectori: Δr⃗Total = ∑Δr⃗i = Δr⃗1 + Δr⃗2 + Δr⃗3 + Δr⃗4 = (2,0 – 1,0 + 4,0 – 3,0)iˆ + (1,0 + 0 – 2,0 + 1,0)jˆ + (3,0 + 3,0 + 1,0 + 2,0)kˆ = 2,0iˆ + 0jˆ + 9,0kˆ μm. Pentru a completa soluția, exprimăm deplasarea ca magnitudine și direcție, |Δr⃗Total| = √(2,02 + 02 + 9,02) = 9,2 μm, θ = tan−1(9/2) = 77°, în raport cu axa x în planul xz. Semnificaţie Din figură putem vedea că magnitudinea deplasării totale este mai mică decât suma magnitudinilor deplasărilor individuale.

 

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2021 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1