Mișcarea cu accelerație constantă

Ai putea ghici că, cu cât accelerația, să zicem, a unei mașini care se îndepărtează de un semn de stop, este mai mare, cu atât este mai mare deplasarea mașinii într-un timp dat. Dar, nu am dezvoltat o ecuație specifică care să relaționeze accelerația și deplasarea. În această secțiune, ne uităm la câteva ecuații convenabile pentru relațiile cinematice, pornind de la definițiile deplasării, vitezei și accelerației. Mai întâi investigăm un singur obiect în mișcare, numit mișcare cu un singur corp. Apoi investigăm mișcările a două obiecte, numite probleme de urmărire cu două corpuri.

Notație

Mai întâi, să facem câteva simplificări în notație. A lua ca timpul inițial să fie zero, ca și cum timpul ar fi măsurat cu un cronometru, este o mare simplificare. Deoarece timpul scurs este Δt = t_f − t₀, luând t₀ = 0 înseamnă că Δt = t_f, timpul final al cronometrului. Când timpul inițial este considerat zero, folosim indicele 0 pentru a desemna valorile inițiale ale poziției și vitezei. Adică, x₀ este poziția inițială și v₀ este viteza inițială. Nu punem indice pe valorile finale. Adică, t este timpul final, x este poziția finală și v este viteza finală. Aceasta oferă o expresie mai simplă pentru timpul scurs, Δt = t. De asemenea, simplifică expresia pentru deplasarea x, care este acum Δx = x − x₀. De asemenea, simplifică expresia pentru modificarea vitezei, care este acum Δv = v − v₀. Pentru a rezuma, folosind notația simplificată, cu timpul inițial considerat zero,

Δt = t , Δx = x−x₀ , Δv = v−v₀,

unde indicele 0 denotă o valoare inițială și absența unui indice denotă o valoare finală în orice mișcare este luată în considerare.

Acum facem ipoteza importantă că accelerația este constantă. Această ipoteză ne permite să evităm utilizarea calculului pentru a găsi accelerația instantanee. Deoarece accelerația este constantă, accelerația medie și cea instantanee sunt egale, adică

a^– = a = constant.

Astfel, putem folosi simbolul a pentru accelerație în orice moment. Presupunerea că accelerația este constantă nu limitează în mod serios situațiile pe care le putem studia și nici nu degradează acuratețea tratamentului nostru. În primul rând, accelerația este constantă într-un număr mare de situații. Mai mult, în multe alte situații putem descrie mișcarea cu acuratețe presupunând o accelerație constantă egală cu accelerația medie pentru acea mișcare. În cele din urmă, pentru mișcarea în care accelerația se modifică drastic, cum ar fi o mașină care accelerează până la viteza maximă și apoi frânează până la oprire, mișcarea poate fi luată în considerare în părți separate, fiecare având propria sa accelerație constantă.

Deplasarea și poziția din viteză

Pentru a obține primele două ecuații, începem cu definiția vitezei medii:

v^– = Δx/Δt.

Înlocuind notația simplificată pentru Δx și Δt rezultă

v^– = (x−x₀)/t.

Rezolvarea pentru x ne dă

(3.10)   x = x0 + v–t,

 

unde viteza medie este

(3.11)   v– = (v0 + v)/2.

 

Ecuația v^– = (v₀ + v)/2 reflectă faptul că atunci când accelerația este constantă, v^– este doar media simplă a vitezelor inițiale și finale. Figura 3.18 ilustrează acest concept grafic. În partea (a) a figurii, accelerația este constantă, cu viteza crescând cu o rată constantă. Viteza medie în intervalul de 1 oră de la 40 km/h la 80 km/h este de 60 km/h:

v– = (v₀ + v)/2 = (40 km/h + 80 km/h)/2 = 60 km/h.

În partea (b), accelerația nu este constantă. În intervalul de 1 oră, viteza este mai apropiată de 80 km/h decât de 40 km/h. Astfel, viteza medie este mai mare decât în partea (a).

Figura 3.18 (a) Graficul viteză în funcție de timp cu accelerație constantă care arată vitezele inițiale și finale v₀ și v. Viteza medie este ½(v₀ + v) = 60 km/h. (b) Graficul viteză versus timp cu o accelerație care se modifică în timp. Viteza medie nu este dată de ½(v₀+v), ci este mai mare de 60 km/h.

Rezolvarea vitezei finale din accelerație și timp

Putem deriva o altă ecuație utilă manipulând definiția accelerației:

a = Δv/Δt.

Înlocuind notația simplificată pentru Δv și Δt ne dă

a = (v−v₀)/t (a constantă).

Rezolvarea pentru v ne dă

(3.12)   v = v0 + at (a constantă).

 

EXEMPLUL 3.7 Calcularea vitezei finale Un avion aterizează cu o viteză inițială de 70,0 m/s și apoi accelerează opus mișcării la 1,50 m/s2 timp de 40,0 s. Care este viteza sa finală? Strategie Mai întâi, identificăm cunoscutele: v0 = 70 m/s, a = −1.50 m/s2, t = 40 s. În al doilea rând, identificăm necunoscuta; în acest caz, este viteza finală vf. În sfârșit, determinăm ce ecuație să folosim. Pentru a face acest lucru, ne dăm seama ce ecuație cinematică dă necunoscuta în termeni cunoscuți. Calculăm viteza finală folosind ecuația 3.12, v = v0 + at. Soluție Înlocuiți valorile cunoscute și rezolvați: v = v0 + at = 70,0 m/s + (−1,50 m/s2)(40,0 s) = 10,0 m/s. Figura 3.19 este o schiță care prezintă vectorii accelerație și viteză. Figura 3.19 Avionul aterizează cu o viteză inițială de 70,0 m/s și încetinește la o viteză finală de 10,0 m/s înainte de a se îndrepta către terminal. Rețineți că accelerația este negativă deoarece direcția sa este opusă vitezei sale, care este pozitivă. Semnificație Viteza finală este mult mai mică decât viteza inițială, așa cum se dorește când încetinești, dar este totuși pozitivă (vezi figura). Cu motoarele cu reacție, tracțiunea inversă poate fi menținută suficient de mult pentru a opri avionul și a începe să-l miște înapoi, ceea ce este indicat de o viteză finală negativă, dar nu este cazul aici.

 

Pe lângă faptul că este utilă în rezolvarea problemelor, ecuația v = v₀ + at ne oferă o perspectivă asupra relațiilor dintre viteză, accelerație și timp. Putem vedea, de exemplu, că

• Viteza finală depinde de cât de mare este accelerația și cât durează
• Dacă accelerația este zero, atunci viteza finală este egală cu viteza inițială (v = v₀), așa cum era de așteptat (cu alte cuvinte, viteza este constantă)
• Dacă a este negativ, atunci viteza finală este mai mică decât viteza inițială

Toate aceste observații se potrivesc intuiției noastre. Rețineți că este întotdeauna util să examinăm ecuațiile de bază în lumina intuiției și experienței noastre pentru a verifica dacă într-adevăr descriu natura cu acuratețe.

Rezolvarea poziției finale cu accelerație constantă

Putem combina ecuațiile anterioare pentru a găsi o a treia ecuație care ne permite să calculăm poziția finală a unui obiect care experimentează o accelerație constantă. Începem cu

v = v₀ + at.

Adăugând v₀ la fiecare parte a acestei ecuații și împărțind la 2 dă

(v₀ + v)/2 = v₀ + ½ at.

Deoarece (v₀ + v)/2 = v^– pentru accelerație constantă, avem

v^– = v₀ + ½ at.

Acum înlocuim această expresie pentru v^– în ecuația pentru deplasare, x = x₀ + v^–t, rezultând

(3.13)   x = x0 + v0t + ½ at2 (a constantă).

 

EXEMPLUL 3.8 Calcularea deplasării unui obiect care se accelerează Dragsterul (un tip special de autpturism) poate atinge o accelerație medie de 26,0 m/s2. Să presupunem că un dragster accelerează din repaus cu această rată timp de 5,56 s, Figura 3.20. Cât de mult parcurge în acest timp? Figura 3.20 Pilotul Top Fuel al armatei americane Tony „The Sarge” Schumacher începe o cursă cu o ardere controlată. Strategie Mai întâi, să desenăm o schiță, Figura 3.21. Ni se cere să găsim deplasarea, care este x dacă luăm că x0 este zero. (Gândiți-vă la x0 ca linie de plecare a unei curse. Poate fi oriunde, dar îl numim zero și măsurăm toate celelalte poziții în raport cu acesta.) Putem folosi ecuația x = x0 + v0t + ½ at2 când identificăm v0, a , și t din enunțul problemei. Figura 3.21 Schița unui dragster care accelerează. Soluție În primul rând, trebuie să identificăm ce cunoaștem. Pornind de la repaus înseamnă că v0 = 0, a este dat ca 26,0 m/s2, și t este dat ca 5,56 s. În al doilea rând, înlocuim valorile cunoscute în ecuație pentru a rezolva necunoscuta: x = x0 + v0t + ½ at2. Deoarece poziția inițială și viteza sunt ambele zero, această ecuație se simplifică la x = ½ at2. Înlocuind valorile identificate ale lui a și t rezultă x = ½ (26,0 m/s2)(5,56 s)2 = 402 m. Semnificație Dacă convertim 402 m în mile, aflăm că distanța parcursă este foarte apropiată de un sfert de milă, distanța standard pentru cursele de dragster. Deci, răspunsul nostru este rezonabil. Aceasta este o deplasare impresionantă de acoperit în doar 5,56 s, dar dragsterele de top pot face un sfert de milă în chiar mai puțin timp decât atât. Dacă dragsterului i s-a dat o viteză inițială, aceasta ar adăuga un alt termen la ecuația distanței. Dacă în ecuație se folosesc aceeași accelerație și timp, distanța parcursă ar fi mult mai mare.

 

Ce altceva putem învăța examinând ecuația x = x₀ + v₀t + ½ at²? Putem vedea următoarele relații:

• Deplasarea depinde de pătratul timpului scurs atunci când accelerația nu este zero. În Exemplul 3.8, dragsterul acoperă doar un sfert din distanța totală în prima jumătate a timpului scurs.
• Dacă accelerația este zero, atunci viteza inițială este egală cu viteza medie (v₀ = v^–), iar x = x₀ + v₀t + ½ at² , devine x = x₀ + v₀

Rezolvarea vitezei finale din distanță și accelerație

O a patra ecuație utilă poate fi obținută dintr-o altă manipulare algebrică a ecuațiilor anterioare. Dacă rezolvăm v = v₀ + at pentru t, obținem

t = (v − v₀)/a.

Înlocuind aceasta și v^– = (v₀ + v)/2 în x = x0 + v^–t, obținem

(3.14)   v2 = v20 + 2a(x−x0) (a constantă).

 

EXEMPLUL 3.9 Calcularea vitezei finale Calculați viteza finală a dragsterului din Exemplul 3.8 fără a utiliza informații despre timp. Strategie Ecuația v2 = v20 + 2a(x−x0) este ideală pentru această sarcină, deoarece raportează viteze, accelerație și deplasare și nu sunt necesare informații despre timp. Soluție În primul rând, identificăm valorile cunoscute. Știm că v0 = 0, deoarece dragsterul pleacă din repaus. De asemenea, știm că x − x0 = 402 m (acesta a fost răspunsul din Exemplul 3.8). Accelerația medie a fost dată de a = 26,0 m/s2. În al doilea rând, înlocuim ce știm în ecuația v2 = v20 + 2a(x−x0) și rezolvăm pentru v: v2 = 0 + 2(26,0 m/s2)(402 m). Prin urmare, v2 = 2,09 × 104 m2/s2 v = √(2,09 × 104 m2/s2) = 145 m/s. Semnificație O viteză de 145 m/s este de aproximativ 522 km/h, sau aproximativ 324 mi/h, dar chiar și această viteză vertiginoasă este sub recordul pentru un sfert de milă. De asemenea, rețineți că o rădăcină pătrată are două valori; am luat valoarea pozitivă pentru a indica o viteză în aceeași direcție cu accelerația.

 

O examinare a ecuației v² = v²₀ + 2a(x − x₀) poate produce informații suplimentare asupra relațiilor generale dintre mărimile fizice:

• Viteza finală depinde de cât de mare este accelerația și de distanța pe care acționează.
• Pentru o accelerație fixă, o mașină care merge de două ori mai repede nu se oprește pur și simplu la o distanță de două ori mai mare. Este nevoie de o distanță mult mai mare pentru a opri. (De aceea avem zone cu viteză redusă în apropierea școlilor.)

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1