Pendulul

Un pendul simplu este definit ca având o masă punctiformă, cunoscută și sub denumirea de pendul bob, care este suspendată de o coardă de lungime L cu masă neglijabilă (Figura 15.20). Aici, singurele forțe care acționează asupra bobului sunt forța gravitațională (adică greutatea bobului) și tensiunea din coardă. Se presupune că masa corzii este neglijabilă în comparație cu masa bobului.

Figura 15.20 Un pendul simplu are un bob de diametru mic și o coardă care are o masă foarte mică, dar este suficient de puternică pentru a nu se întinde considerabil. Deplasarea liniară de la echilibru este s, lungimea arcului. De asemenea, sunt prezentate forțele pe bob, care au ca rezultat o forță netă de −mgsinθ către poziția de echilibru – adică o forță de restabilire.

Luați în considerare cuplul pe pendul. Forța care asigură cuplul de restabilire este componenta greutății pendulului care acționează de-a lungul lungimii arcului. Cuplul este lungimea corzii L ori componenta forței nete care este perpendiculară pe raza arcului. Semnul minus indică faptul că cuplul acționează în direcția opusă deplasării unghiulare:

τ = -L(mgsinθ);

Iα = -L(mgsinθ);

Id²θ/dt² = -L(mgsinθ);

mL²d²θ/dt² = -L(mgsinθ);

d²θ/dt² = -g/L sinθ.

Soluția acestei ecuații diferențiale implică un calcul avansat și depășește scopul acestui text. Dar rețineți că pentru unghiuri mici (mai puțin de 15 grade sau aproximativ 0,26 radiani), sinθ și θ diferă cu mai puțin de 1%, dacă θ este măsurat în radiani. Atunci putem folosi aproximarea unghiului mic sinθ ≈ θ. Unghiul θ descrie poziția pendulului. Folosind aproximarea unghiurilor mici, se oferă o soluție aproximativă pentru unghiurile mici,

(15.17) d²θ/dt²2 = −g/L θ.

Deoarece această ecuație are aceeași formă ca și ecuația pentru mișcarea armonică simplă, soluția este ușor de găsit. Frecvența unghiulară este

(15.18) ω = √(g/L)

iar perioada este

(15.19) T = 2π√(L/g).

Perioada unui pendul simplu depinde de lungimea acestuia și de accelerația datorată gravitației. Perioada este complet independentă de alți factori, cum ar fi masa și deplasarea maximă. Ca și în cazul oscilatoarelor armonice simple, perioada T pentru un pendul este aproape independentă de amplitudine, mai ales dacă θ este mai mică de aproximativ 15°. Chiar și ceasurile cu pendul simple pot fi reglate fin și rămân precise.

Observați dependența lui T de g. Dacă lungimea unui pendul este cunoscută cu precizie, acesta poate fi folosit de fapt pentru a măsura accelerația datorată gravitației, ca în exemplul următor.

EXEMPLUL 15.3

Măsurarea accelerației datorate gravitației în funcție de perioada unui pendul

Care este accelerația datorată gravitației într-o regiune în care un pendul simplu având o lungime de 75.000 cm are o perioadă de 1.7357 s?

Strategie

Ni se cere să găsim g având în vedere perioada T și lungimea L a unui pendul. Putem rezolva T = 2π√(L/g) pentru g, presupunând doar că unghiul de deviere este mai mic de 15°.

Soluție

1. Ridicați la pătrat T = 2π√(L/g) și rezolvați pentru g:

g = 4π² L/T².

2. Înlocuiți valorile cunoscute în noua ecuație:

g = 4π² 0,75000 m/(1,7357 s)².

3. Calculați pentru a găsi g:

g = 9,8281 m/s².

Semnificație

Această metodă pentru determinarea lui g poate fi foarte precisă, motiv pentru care lungimea și perioada sunt date la cinci cifre în acest exemplu. Pentru ca precizia aproximării sinθ ≈ θ să fie mai bună decât precizia lungimii și perioadei pendulului, unghiul maxim de deplasare trebuie menținut sub aproximativ 0,5°.

EXERCIȚIUL 15.4

Un inginer construiește două pendule simple. Ambele sunt suspendate de fire mici fixate pe tavanul unei camere. Fiecare pendul plutește la 2 cm deasupra podelei. Pendulul 1 are un bob cu o masă de 10 kg. Pendulul 2 are un bob cu o masă de 100 kg. Descrieți cum va diferi mișcarea pendulelor dacă boburile sunt ambele deplasate cu 12°.

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS