Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica » Condiții pentru echilibrul static – Exemple și exerciții

Condiții pentru echilibrul static – Exemple și exerciții

postat în: Mecanica 0
EXEMPLUL 12.1

Centrul de greutate al unei mașini

Un autoturism cu un ampatament de 2,5 m are 52% din greutatea sa pe roțile din față pe teren plan, așa cum este ilustrat în Figura 12.4. Unde este situat centrul de masă (CM) al acestei mașini în raport cu puntea spate?

Figura 12.4 Distribuția greutății între osiile unui automobil. Unde este situat centrul de greutate? (credit: modificarea lucrării de Jane Whitney)

Strategie

Nu știm greutatea w a mașinii. Tot ce știm este că atunci când mașina se sprijină pe o suprafață plană, 0,52w împinge în jos pe suprafață în punctele de contact ale roților din față și 0,48w împinge în jos pe suprafață în punctele de contact ale roților din spate. De asemenea, punctele de contact sunt separate unul de celălalt prin distanța d = 2,5 m. În aceste puncte de contact, mașina suferă forțe de reacție normale cu magnitudini FF = 0,52w și FR = 0,48w pe axele față și respectiv spate. De asemenea, știm că mașina este un exemplu de corp rigid în echilibru a cărui greutate întreagă w acţionează la CM. CM este situat undeva între punctele în care acționează forțele normale de reacție, undeva la distanța x de punctul în care acționează FR. Sarcina noastră este să găsim x. Astfel, identificăm trei forțe care acționează asupra caroseriei (mașină) și putem desena o diagramă a corpului liber pentru corpul rigid extins, așa cum se arată în Figura 12.5.

Figura 12.5 Diagrama corpului liber pentru mașină indică clar vectorii forței care acționează asupra mașinii și distanțele până la centrul de masă (CM). Când CM este selectat ca punct de pivotare, aceste distanțe sunt brațe de pârghie ale forțelor de reacție normale. Observați că mărimile vectoriale și brațele de pârghie nu trebuie să fie desenate la scară, dar toate cantitățile relevante trebuie să fie etichetate clar.

Suntem aproape gata să scriem condițiile de echilibru din ecuația 12.7 până la ecuația 12.9 pentru mașină, dar mai întâi trebuie să decidem asupra cadrului de referință. Să presupunem că alegem axa x de-a lungul lungimii mașinii, axa y verticală și axa z perpendiculară pe acest plan xy. Cu această alegere trebuie doar să scriem ecuația 12.7 și ecuația 12.9, deoarece toate componentele y sunt identic zero. Acum trebuie să decidem cu privire la locația punctului de pivotare. Putem alege orice punct ca locație a axei de rotație (axa z). Să presupunem că plasăm axa de rotație la CM, așa cum este indicat în diagrama corpului liber pentru mașină. În acest moment, suntem gata să scriem condițiile de echilibru pentru mașină.

Soluție

Fiecare condiție de echilibru conține doar trei termeni deoarece există N = 3 forțe care acționează asupra mașinii. Prima condiție de echilibru, Ecuația 12.7, arată

(12.11)   +FF – w + FR = 0.

Această condiție este trivial satisfăcută deoarece atunci când înlocuim datele, ecuația 12.11 devine +0,52w – w + 0,48w = 0. A doua condiție de echilibru, Ecuația 12.9, arată

(12.12)   τF + τw + τR = 0

unde τF este cuplul forței FF, τw este cuplul gravitațional al forței w și τR este cuplul forței FR. Când pivotul este situat la CM, cuplul gravitațional este identic zero deoarece brațul de pârghie al greutății față de o axă care trece prin CM este zero. Liniile de acțiune ale ambelor forțe de reacție normale sunt perpendiculare pe brațele lor de pârghie, deci în ecuația 12.10, avem |sinθ| = 1 pentru ambele forțe. Din diagrama cu corp liber, citim că cuplul τF determină rotația în sensul acelor de ceasornic în jurul pivotului de la CM, deci sensul său este negativ; iar cuplul τR determină rotația în sens invers acelor de ceasornic în jurul pivotului la CM, deci sensul său este pozitiv. Cu această informație, scriem a doua condiție de echilibru ca

(12.13)   −rFFF + rRFR = 0.

Cu ajutorul diagramei cu corp liber, identificăm mărimile forțelor FR = 0,48w și FF = 0,52w și brațele lor de pârghie corespunzătoare rR = x și rF = d−x. Acum putem scrie a doua condiție de echilibru, Ecuația 12.13, explicit în termenii distanței necunoscute x:

(12.14)   −0,52(d−x)w + 0,48xw = 0.

Aici greutatea w se anulează și putem rezolva ecuația pentru poziția necunoscută x a CM. Răspunsul este x = 0,52d = 0,52(2,5 m) = 1,3 m.

Soluție

Alegerea pivotului în poziția osiei față nu modifică rezultatul. Diagrama cu corp liber pentru această locație pivot este prezentată în Figura 12.6. Pentru această alegere a punctului de pivot, a doua condiție de echilibru este

(12.15)   −rww + rRFR = 0.

Când înlocuim cantitățile indicate în diagramă, obținem

(12.16)   −(d − x)w + 0,48dw = 0.

Răspunsul obținut prin rezolvarea ecuației 12.13 este, din nou, x = 0,52d = 1,3 m.

Figura 12.6 Diagrama echivalentă a corpului liber pentru mașină; pivotul este clar indicat.

Semnificație

Acest exemplu arată că atunci când rezolvăm probleme de echilibru static, suntem liberi să alegem locația pivotului. Pentru diferite alegeri ale punctului pivot avem diferite seturi de condiții de echilibru de rezolvat. Cu toate acestea, toate alegerile duc la aceeași soluție la problemă.

 

EXERCIȚIUL 12.1

Rezolvați Exemplul 12.1 alegând pivotul în locația axei spate.

Răspuns

 

Răspuns: x = 1,3 m

EXERCIȚIUL 12.2

Explicați care dintre următoarele situații satisface ambele condiții de echilibru: (a) o minge de tenis care nu se rotește în timp ce se deplasează în aer; (b) un pelican care planează în aer cu o viteză constantă la o altitudine; sau (c) un arbore cotit în motorul unui autoturism parcat.

Un caz special de echilibru static apare atunci când toate forțele externe asupra unui obiect acționează la sau de-a lungul axei de rotație sau când extensia spațială a obiectului poate fi ignorată. Într-un astfel de caz, obiectul poate fi tratat eficient ca o masă punctiformă. În acest caz special, nu trebuie să ne îngrijorăm cu privire la a doua condiție de echilibru, Ecuația 12.9, deoarece toate cuplurile sunt identic zero și prima condiție de echilibru (pentru forțe) este singura condiție care trebuie îndeplinită. Diagrama corpului liber și strategia de rezolvare a problemelor pentru acest caz special au fost subliniate în Legile mișcării lui Newton și Aplicațiile legilor lui Newton. Veți vedea o situație tipică de echilibru care implică doar prima condiție de echilibru în exemplul următor.

Răspuns

 

Răspuns: (b), (c)

 

EXEMPLUL 12.2

O tensiune de rupere

O tavă mică cu o masă de 42,0 g este susținută de două corzi, așa cum se arată în Figura 12.7. Tensiunea maximă pe care o poate suporta coarda este de 2,80 N. Masa se adaugă treptat în tavă până când una dintre corzi se rupe. Ce coardă se rupe? Câtă masă trebuie adăugată pentru ca acest lucru să se întâmple?

Figura 12.7 Masa se adaugă treptat în tavă până când una dintre corzi se rupe.

Strategie

Acest sistem mecanic format din corzi, mase și tava este în echilibru static. Mai exact, nodul care leagă corzile de tavă este în echilibru static. Nodul poate fi tratat ca un punct; prin urmare, avem nevoie doar de prima condiție de echilibru. Cele trei forțe care trag la nod sunt tensiunea T1 în coarda de 5,0 cm, tensiunea T2 în coarda de 10,0 cm și greutatea w a tăvii care susține greutățile. Adoptăm un sistem de coordonate dreptunghiular cu axa y îndreptată opus direcției gravitației și desenăm diagrama cu corp liber pentru nod (vezi Figura 12.8). Pentru a găsi componentele tensiunii, trebuie să identificăm unghiurile de direcție α1 și α2 pe care le fac corzile cu direcția orizontală care este axa x. După cum puteți vedea în Figura 12.7, corzile formează două laturi ale unui triunghi dreptunghic. Putem folosi teorema lui Pitagora pentru a rezolva acest triunghi, prezentat în figura 12.8, și pentru a găsi sinusul și cosinusul unghiurilor α1 și α2. Apoi putem rezolva tensiunile în componentele lor dreptunghiulare, înlocuim în prima condiție echilibrul (Ecuația 12.7 și Ecuația 12.8) și rezolvăm tensiunile din corzi. Coarda cu o tensiune mai mare se va rupe mai întâi.

Figura 12.8 Diagrama cu corp liber pentru nodul din Exemplul 12.2.

Soluție

Greutatea w care trage de nod se datorează masei M a tăvii și masei m adăugate în tavă, sau w = (M + m)g. Cu ajutorul diagramei cu corp liber din figura 12.8, putem stabili condițiile de echilibru pentru nod:

în direcția x, −T1x + T2x = 0.

în direcția y, +T1y + T2y – w = 0.

Din diagrama cu corp liber, mărimile componentelor din aceste ecuații sunt

T1x = T1cosα1 = T1/√5,   T1y = T1sinα1 = 2T1/√5

T2x = T2cosα2 = 2T2/√5,   T2y = T2sinα2 = T2/√5 .

Înlocuim aceste componente in condițiile de echilibru si simplificăm. Obținem apoi două ecuații de echilibru pentru tensiuni:

în direcția x, T1 = 2T2.

în direcția y, 2T1/√5 + T2/√5 = (M + m)g.

Ecuația de echilibru pentru direcția x ne spune că tensiunea T1 din coarda de 5,0 cm este de două ori mai mare decât tensiunea T2 din coarda de 10,0 cm. Prin urmare, coarda mai scurtă se va rupe. Când folosim prima ecuație pentru a elimina T2 din a doua ecuație, obținem relația dintre masa m pe tavă și tensiunea T1 din coarda mai scurtă:

2,5T1/√5 = (M + m)g.

Coarda se rupe când tensiunea atinge valoarea critică T1 = 2,80 N. Ecuația anterioară poate fi rezolvată pentru masa critică m care rupe coarda:

M = 2,5/√5·T1/g – M = 2,5/√5·2,80N/9,8m/s2 − 0,042kg = 0,277 kg = 277,0 g.

Semnificație

Să presupunem că sistemul mecanic considerat în acest exemplu este atașat la un tavan în interiorul unui lift care urcă. Atâta timp cât liftul se mișcă în sus cu o viteză constantă, rezultatul rămâne același deoarece greutatea w nu se modifică. Dacă liftul se mișcă în sus cu accelerație, masa critică este mai mică deoarece greutatea lui M + m devine mai mare cu o greutate aparentă din cauza accelerației liftului. Totuși, în toate cazurile, coarda mai scurtă se rupe prima.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introductionacces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4,99 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.