EXEMPLUL 12.1
Centrul de greutate al unei mașini
Un autoturism cu un ampatament de 2,5 m are 52% din greutatea sa pe roțile din față pe teren plan, așa cum este ilustrat în Figura 12.4. Unde este situat centrul de masă (CM) al acestei mașini în raport cu puntea spate?
Figura 12.4 Distribuția greutății între osiile unui automobil. Unde este situat centrul de greutate? (credit: modificarea lucrării de Jane Whitney)
Strategie
Nu știm greutatea w a mașinii. Tot ce știm este că atunci când mașina se sprijină pe o suprafață plană, 0,52w împinge în jos pe suprafață în punctele de contact ale roților din față și 0,48w împinge în jos pe suprafață în punctele de contact ale roților din spate. De asemenea, punctele de contact sunt separate unul de celălalt prin distanța d = 2,5 m. În aceste puncte de contact, mașina suferă forțe de reacție normale cu magnitudini FF = 0,52w și FR = 0,48w pe axele față și respectiv spate. De asemenea, știm că mașina este un exemplu de corp rigid în echilibru a cărui greutate întreagă w acţionează la CM. CM este situat undeva între punctele în care acționează forțele normale de reacție, undeva la distanța x de punctul în care acționează FR. Sarcina noastră este să găsim x. Astfel, identificăm trei forțe care acționează asupra caroseriei (mașină) și putem desena o diagramă a corpului liber pentru corpul rigid extins, așa cum se arată în Figura 12.5.
Figura 12.5 Diagrama corpului liber pentru mașină indică clar vectorii forței care acționează asupra mașinii și distanțele până la centrul de masă (CM). Când CM este selectat ca punct de pivotare, aceste distanțe sunt brațe de pârghie ale forțelor de reacție normale. Observați că mărimile vectoriale și brațele de pârghie nu trebuie să fie desenate la scară, dar toate cantitățile relevante trebuie să fie etichetate clar.
Suntem aproape gata să scriem condițiile de echilibru din ecuația 12.7 până la ecuația 12.9 pentru mașină, dar mai întâi trebuie să decidem asupra cadrului de referință. Să presupunem că alegem axa x de-a lungul lungimii mașinii, axa y verticală și axa z perpendiculară pe acest plan xy. Cu această alegere trebuie doar să scriem ecuația 12.7 și ecuația 12.9, deoarece toate componentele y sunt identic zero. Acum trebuie să decidem cu privire la locația punctului de pivotare. Putem alege orice punct ca locație a axei de rotație (axa z). Să presupunem că plasăm axa de rotație la CM, așa cum este indicat în diagrama corpului liber pentru mașină. În acest moment, suntem gata să scriem condițiile de echilibru pentru mașină.
Soluție
Fiecare condiție de echilibru conține doar trei termeni deoarece există N = 3 forțe care acționează asupra mașinii. Prima condiție de echilibru, Ecuația 12.7, arată
(12.11) +FF – w + FR = 0.
Această condiție este trivial satisfăcută deoarece atunci când înlocuim datele, ecuația 12.11 devine +0,52w – w + 0,48w = 0. A doua condiție de echilibru, Ecuația 12.9, arată
(12.12) τF + τw + τR = 0
unde τF este cuplul forței FF, τw este cuplul gravitațional al forței w și τR este cuplul forței FR. Când pivotul este situat la CM, cuplul gravitațional este identic zero deoarece brațul de pârghie al greutății față de o axă care trece prin CM este zero. Liniile de acțiune ale ambelor forțe de reacție normale sunt perpendiculare pe brațele lor de pârghie, deci în ecuația 12.10, avem |sinθ| = 1 pentru ambele forțe. Din diagrama cu corp liber, citim că cuplul τF determină rotația în sensul acelor de ceasornic în jurul pivotului de la CM, deci sensul său este negativ; iar cuplul τR determină rotația în sens invers acelor de ceasornic în jurul pivotului la CM, deci sensul său este pozitiv. Cu această informație, scriem a doua condiție de echilibru ca
(12.13) −rFFF + rRFR = 0.
Cu ajutorul diagramei cu corp liber, identificăm mărimile forțelor FR = 0,48w și FF = 0,52w și brațele lor de pârghie corespunzătoare rR = x și rF = d−x. Acum putem scrie a doua condiție de echilibru, Ecuația 12.13, explicit în termenii distanței necunoscute x:
(12.14) −0,52(d−x)w + 0,48xw = 0.
Aici greutatea w se anulează și putem rezolva ecuația pentru poziția necunoscută x a CM. Răspunsul este x = 0,52d = 0,52(2,5 m) = 1,3 m.
Soluție
Alegerea pivotului în poziția osiei față nu modifică rezultatul. Diagrama cu corp liber pentru această locație pivot este prezentată în Figura 12.6. Pentru această alegere a punctului de pivot, a doua condiție de echilibru este
(12.15) −rww + rRFR = 0.
Când înlocuim cantitățile indicate în diagramă, obținem
(12.16) −(d − x)w + 0,48dw = 0.
Răspunsul obținut prin rezolvarea ecuației 12.13 este, din nou, x = 0,52d = 1,3 m.
Figura 12.6 Diagrama echivalentă a corpului liber pentru mașină; pivotul este clar indicat.
Semnificație
Acest exemplu arată că atunci când rezolvăm probleme de echilibru static, suntem liberi să alegem locația pivotului. Pentru diferite alegeri ale punctului pivot avem diferite seturi de condiții de echilibru de rezolvat. Cu toate acestea, toate alegerile duc la aceeași soluție la problemă. |
Lasă un răspuns