Exemple de echilibru static (1)

Echilibrul cuplului

Trei mase sunt atașate unei bare etalonată uniform, așa cum se arată în Figura 12.9. Masa barei etalonate este de 150,0 g iar masele din stânga punctului de sprijin sunt m₁ = 50,0 g și m₂ = 75,0 g. Găsiți masa m₃ care echilibrează sistemul atunci când este atașat la capătul drept al barei și forța de reacție normală la punctul de sprijin când sistemul este echilibrat.

Figura 12.9 Într-un echilibru de cuplu, o bară orizontală este susținută în un punct de sprijin (indicat cu S) și mase sunt atașate de ambele părți ale punctului de sprijin. Sistemul este în echilibru static atunci când bara nu se rotește. Este echilibrat atunci când bara rămâne orizontală.

Strategie

Pentru aranjamentul prezentat în figură, identificăm următoarele cinci forțe care acționează asupra barei etalonate:

w₁ = m₁g este greutatea masei m₁; w₂ = m₂g este greutatea masei m₂;

w = mg este greutatea întregii bare etalonată; w₃ = m₃g este greutatea masei necunoscute m₃;

F_S este forța de reacție normală în punctul de sprijin S.

Alegem un cadru de referință în care direcția axei y este direcția gravitației, direcția axei x este de-a lungul barei etalonate și axa de rotație (axa z) este perpendiculară pe axa x și trece prin punctul de sprijin S. Cu alte cuvinte, alegem pivotul în punctul în care bara etalonată atinge suportul. Aceasta este o alegere naturală pentru pivot, deoarece acest punct nu se mișcă pe măsură ce bara se rotește. Acum suntem gata să configuram diagrama cu corp liber pentru bara etalonată. Indicăm pivotul și atașăm cinci vectori reprezentând cele cinci forțe de-a lungul liniei reprezentând bara etalonată, situând forțele față de pivot Figura 12.10. În această etapă, putem identifica brațele de pârghie ale celor cinci forțe având în vedere informațiile furnizate în problemă. Pentru cele trei mase suspendate, problema este explicită cu privire la locațiile lor de-a lungul barei, dar informațiile despre locația greutății w sunt date implicit. Cuvântul cheie aici este „uniform”. Știm din studiile noastre anterioare că CM al unei bare uniforme este situat la mijlocul său, așa că aici atașăm greutatea w, la marcajul de 50 cm.

Figura 12.10 Diagrama cu corp liber pentru bara etalonată. Pivotul este ales în punctul de sprijin S.

Soluție

Având ca referință Figura 12.9 și Figura 12.10, începem prin a găsi brațele de pârghie ale celor cinci forțe care acționează asupra barei:

r₁ = 30,0 cm + 40,0 cm = 70,0 cm

r₂ = 40,0 cm

r = 50,0 cm – 30,0 cm = 20,0 cm

r_S = 0,0cm (deoarece F este atașat la pivot)

r₃ = 30,0 cm.

Acum putem găsi cele cinci cupluri în raport cu pivotul ales:

τ₁ = +r₁w₁sin90° = +r₁m₁g (rotire inversă acelor de ceasornic, sens pozitiv)

τ₂ = +r₂w₂sin90° = +r₂m₂g (rotire inversă acelor de ceasornic, sens pozitiv)

τ = +rwsin90° = +rmg (cuplu gravitațional)

τ_S = r_SF_Ssinθ_S = 0  (deoarece S = 0 cm)

τ₃ = −r₃w₃sin90° = −r₃m₃g  (rotire în sensul acelor de ceasornic, sens negativ)

A doua condiție de echilibru (ecuația cuplurilor) pentru bara etalonată este

τ₁ + τ₂ + τ + τ_S + τ₃ = 0.

Când înlocuim valorile cuplului în această ecuație, putem omite cuplurile dând contribuții zero. În acest fel, a doua condiție de echilibru este

(12.17)   +r₁m₁g + r₂m₂g + rmg − r₃m₃g = 0.

Selectând direcția +y să fie paralelă cu F⃗_S, prima condiție de echilibru pentru bară este

−w₁ − w₂ – w + F_S − w₃ = 0.

Înlocuind forțele, devine prima condiție de echilibru

(12.18)   −m₁g − m₂g – mg + F_S − m₃g = 0.

Rezolvăm aceste ecuații simultan pentru valorile necunoscute m₃ și FS. În ecuația 12.17, anulăm factorul g și rearanjam termenii de obținut

r₃m₃ = r₁m₁ + r₂m₂ + rm.

Pentru a obține m₃ împărțim ambele părți la r₃, deci avem

(12.19)   m₃ = r₁/r₃ m₁ + r₂/r₃ m₂ + r/r₃ m = 70/30 (50,0g) + 40/30 (75,0 g) + 20/30 (150,0 g) = 316,0 2/3 g ≃ 317g.

Pentru a găsi forța de reacție normală, rearanjam termenii din ecuația 12.18, transformând gramele în kilograme:

(12.20)   F_S = (m₁ + m₂ + m + m₃)g = (50,0 + 75,0 + 150,0 + 316,7) × 10⁻³ kg × 9,8 m/s2 = 5,8 N.

Semnificație

Observați că ecuația 12.17 este independentă de valoarea lui g. Echilibrul de cuplu poate fi, prin urmare, utilizat pentru a măsura masa, deoarece variațiile valorilor g de pe suprafața Pământului nu afectează aceste măsurători. Acesta nu este cazul unei balanțe cu arc deoarece măsoară forța.

Repetați Exemplul 12.3 folosind capătul din stânga barei etalonate pentru a calcula cuplurile; adică prin plasarea pivotului la capătul stâng al barei etalonate.

Forțe în antebraț

Un halterofil ține o greutate de 50,0 lb (echivalent cu 222,4 N) cu antebrațul, așa cum se arată în Figura 12.11. Antebrațul său este poziționat la β = 60° față de brațul său. Antebrațul este susținut de o contracție a mușchiului biceps, care provoacă un cuplu în jurul cotului. Presupunând că tensiunea din biceps acționează pe direcția verticală dată de gravitație, ce tensiune trebuie să exercite mușchiul pentru a ține antebrațul în poziția prezentată? Care este forța asupra articulației cotului? Să presupunem că greutatea antebrațului este neglijabilă. Dați răspunsurile finale în unități SI.

Figura 12.11 Antebrațul este rotit în jurul cotului (E) printr-o contracție a mușchiului biceps, care provoacă tensiune T⃗_M.

Strategie

Identificăm trei forțe care acționează asupra antebrațului: forța necunoscută F⃗ la cot; tensiunea necunoscută T⃗_M în muşchi; și greutatea w⃗ cu magnitudinea w = 50 lb. Adoptăm cadrul de referință cu axa x de-a lungul antebrațului și pivotul la cot. Direcția verticală este direcția greutății, care este aceeași cu direcția brațului superior. Axa x formează un unghi β = 60° cu verticala. Axa y este perpendiculară pe axa x. Acum am configurat diagrama corpului liber pentru antebraț. Mai întâi, desenăm axele, pivotul și cei trei vectori reprezentând cele trei forțe identificate. Apoi localizăm unghiul β și reprezentăm fiecare forță prin componentele sale x și y, amintindu-ne să tăiem vectorul forță inițial pentru a evita dubla numărare. În cele din urmă, etichetăm forțele și brațele lor de pârghie. Diagrama corpului liber pentru antebraț este prezentată în Figura 12.12. În acest moment, suntem gata să stabilim condiții de echilibru pentru antebraț. Fiecare forță are componente x și y; prin urmare, avem două ecuații pentru prima condiție de echilibru, o ecuație pentru fiecare componentă a forței nete care acționează asupra antebrațului.

Figura 12.12 Diagrama corpului liber pentru antebraț: Pivotul este situat în punctul E (cot).

Observați că, în cadrul nostru de referință, contribuțiile la a doua condiție de echilibru (pentru cupluri) provin numai din componentele y ale forțelor, deoarece componentele x ale forțelor sunt toate paralele cu brațele lor de pârghie, astfel încât pentru oricare dintre ele avem sinθ = 0 în ecuația 12.10. Pentru componentele y avem θ = ±90° în ecuația 12.10. De asemenea, observați că cuplul forței la cot este zero deoarece această forță este atașată la pivot. Deci contribuția la cuplul net vine doar din cuplurile lui T_y și ale lui w_y.

Soluție

Din diagrama cu corp liber vedem că componenta x a forței nete satisface ecuația

(12.21)   +F_x + T_x – w_x = 0

iar componenta y a forței nete satisface

(12.22)   +F_y + T_y – w_y = 0.

Ecuația 12.21 și ecuația 12.22 sunt două ecuații ale primei condiții de echilibru (pentru forțe). În continuare, citim din diagrama cu corp liber că cuplul net de-a lungul axei de rotație este

(12.23)   +r_TT_y – r_ww_y = 0.

Ecuația 12.23 este a doua condiție de echilibru (pentru cupluri) pentru antebraț. Diagrama cu corp liber arată că brațele pârghiei sunt r_T = 1,5 in. și r_w = 13,0 in. În acest moment, nu trebuie să convertim inci în unități SI, deoarece atâta timp cât aceste unități sunt consistente în ecuația 12.23, se anulează. Folosind din nou diagrama corpului liber, găsim mărimile forțelor componente:

F_x = Fcosβ = Fcos60° = F/2

T_x = 2Tcosβ = Tcos60° = T/2

w_x = wcosβ = wcos60° = w/2

F_y = Fsinβ = Fsin60° = F√(3/2)

T_y = Tsinβ = Tsin60° = T√(3/2)

w_y = wsinβ = wsin60° = w√(3/2)

Înlocuim aceste mărimi în ecuația 12.21, ecuația 12.22 și ecuația 12.23 pentru a obține, respectiv,

F/2 + T/2 − w/2 = 0

F√(3/2) + T√(3/2) − w√(3/2) = 0

r_TT√(3/2) − r_ww√(3/2) = 0.

Când simplificăm aceste ecuații, vedem că ne rămân doar două ecuații independente pentru cele două mărimi de forță necunoscute, F și T, deoarece ecuația 12.21 pentru componenta x este echivalentă cu ecuația 12.22 pentru componenta y. În acest fel, obținem prima condiție de echilibru pentru forțe

(12.24)   F + T – w = 0

și a doua condiție de echilibru pentru cupluri

(12.25)   r_TT − r_ww = 0.

Mărimea tensiunii în mușchi se obține prin rezolvarea ecuației 12.25:

T = r_w/r_T w = 13,0/1,5 (50 lb) = 433 1/3 lb ≃ 433,3 lb.

Forța la cot se obține prin rezolvarea ecuației 12.24:

F = w – T = 50,0 lb − 433,3 lb = −383,3 lb.

Semnul negativ din ecuație ne spune că forța reală la cot este antiparalelă cu direcția de lucru adoptată pentru desenarea diagramei cu corp liber. În răspunsul final, transformăm forțele în unități SI de forță. Răspunsul este

F = 383,3 lb = 383,3(4,448 N) = 1705 N   în jos

T = 433,3 lb = 433,3(4,448 N) = 1927 N   în sus.

Semnificație

Aici merită remarcate două aspecte importante. Prima se referă la conversia în unități SI, care se poate face chiar la sfârșitul soluției, atâta timp cât păstrăm consistența în unități. A doua problemă importantă se referă la articulațiile balamalei, cum ar fi cotul. În analiza inițială a unei probleme, ar trebui să se presupună întotdeauna că articulațiile balamalei exercită o forță într-o direcție arbitrară și apoi trebuie să rezolvați independent pentru toate componentele unei forțe de balamale. În acest exemplu, forța cotului se întâmplă să fie verticală, deoarece problema presupune că tensiunea bicepsului este și ea verticală. O astfel de simplificare, însă, nu este o regulă generală.

Soluție

Să presupunem că adoptăm un cadru de referință cu direcția axei y de-a lungul greutății de 50 lb și pivotul plasat la cot. În acest cadru, toate cele trei forțe au doar componente y, deci avem o singură ecuație pentru prima condiție de echilibru (pentru forțe). Desenăm diagrama corpului liber pentru antebraț, așa cum se arată în Figura 12.13, indicând pivotul, forțele care acționează și brațele lor de pârghie față de pivot și unghiurile θ_T și θ_w pe care le formează forțele T⃗_M și w⃗ (respectiv) cu brațele lor de pârghie. În definiția cuplului dată de ecuația 12.10, unghiul θ_T este unghiul de direcție al vectorului T⃗_M, numărat în sens invers acelor de ceasornic din direcția radială a brațului de pârghie care este întotdeauna îndreptat departe de pivot. Prin aceeași convenție, unghiul θ_w este măsurat în sens invers acelor de ceasornic de la direcția radială a brațului pârghiei la vectorul w⃗ . În acest fel, cuplurile diferite de zero sunt cel mai ușor calculate prin înlocuirea directă în ecuația 12.10 după cum urmează:

τ_T = r_TTsinθ_T = r_TTsinβ = r_TTsin60° = +r_TT√(3/2)

τ_w = r_wwsinθ_w = r_wwsin(β + 180°) = −r_wwsinβ = −r_ww√(3/2).

Figura 12.13 Diagrama corpului liber pentru antebraț pentru soluția echivalentă. Pivotul este situat în punctul E (cot).

A doua condiție de echilibru, τ_T + τ_w = 0, poate fi acum scrisă ca

(12.26)   r_TT√(3/2) − r_ww√(3/2) = 0.

Din diagrama cu corp liber, prima condiție de echilibru (pentru forțe) este

(12.27)   −F + T – w = 0.

Ecuația 12.26 este identică cu ecuația 12.25 și dă rezultatul T = 433,3 lb. Ecuația 12.27 dă

F = T – w = 433,3 lb − 50,0 lb = 383,3 lb.

Vedem că aceste răspunsuri sunt identice cu răspunsurile noastre anterioare, dar a doua alegere pentru cadrul de referință conduce la o soluție echivalentă care este mai simplă și mai rapidă, deoarece nu necesită ca forțele să fie rezolvate în componentele lor rectangulare.

Repetați exemplul 12.4 presupunând că antebrațul este un obiect de densitate uniformă care cântărește 8,896 N.