Stări ale fizicii clasice (1)

Într-un experiment, putem măsura o proprietate a unui sistem fizic. Aceasta echivalează cu determinarea, cu o oarecare precizie, a valorii uneia sau mai multor observabile fizice. Starea sistemului descrie rezultatele posibile ale unor astfel de experimente. Experiența dictează că fiecare experiment este supus unei anumite incertitudini; atunci când este repetat în ceea ce ni se par a fi condiții identice, rezultatele sunt ușor diferite. Experimentele bune au o incertitudine mai mică, dar există întotdeauna mici fluctuații. Ne putem imagina două posibilități pentru descrierea incertitudinii:

(1) În principiu, dacă am fi suficient de inteligenți și am avea suficient timp și resurse, am putea face experimentul atât de precis pe cât ne-am dori.

(2) Fizica sistemului pe care îl studiem împiedică efectuarea de măsurători complet precise.

Fizica clasică a susținut tacit, fără nicio justificare clară, că (1) este valabil. Marea observație a lui Heisenberg este că fizica cuantică afirmă că (2) este corectă. (Chiar și într-un sistem pentru care (2) este valabilă, (1) joacă un rol. Erorile și lipsa de cunoștințe din partea noastră pot crește incertitudinea.)

Înainte de a trece la fizica cuantică, ar trebui să luăm în considerare stările unui sistem clasic. Descrierea de mai sus sugerează că starea unui sistem ar trebui să ia o observabilă f ∈ A și să returneze o distribuție de probabilitate pentru valorile posibile ale lui f într-un experiment. Astfel, o stare w este o mapare ω : A → P(R),, mulțimea măsurilor de probabilitate Borel pe R. Notăm valoarea lui w la f cu w_f. Având în vedere o mulțime Borel E ⊂ R, ω_f(E) este probabilitatea ca o măsurătoare a lui f să producă o valoare în E. Ne așteptăm ca aplicația w care specifică o stare să aibă anumite proprietăți:

(1) ω_λf(E) = ω_f(E/λ) (schimbare de scară sau unități)

(2) Mai general, dacă ϕ : R → R este o aplicație netedă, atunci ω_ϕ◦f(E) = ω_f(ϕ⁻¹(E)).

(3) Dacă f ≡ C este funcția constantă, egală cu C, atunci ω_f = δ_C, măsura lui delta la C.

(4) Dacă w_f este suportat pe ran f = f(M). În particular, dacă f > 0, atunci w_f este suportat pe [0,∞).

Având în vedere oricare două stări, specificate de aplicațiile w⁰ și w¹, putem forma combinația convexă ω^λ pentru orice 0 < λ < 1:

ω^λ_f(E) = (1 − λ)ω⁰_f(E) + λω¹_f(E) .   (1.5)

Este clar că funcția din partea dreaptă produce o măsură de probabilitate pe R. Această construcție aparent ad-hoc are o interpretare naturală în termenii posibilității (1) de mai sus. Să presupunem că sistemele pe care le măsurăm sunt produse de un proces aleatoriu care produce un sistem cu starea w⁰ cu probabilitatea (1 – λ) și un sistem cu starea w¹ cu probabilitatea λ. Atunci, pentru noi, ca experimentatori, sistemele sunt văzute ca având starea w^λ, care este denumită stare mixtă.

Astfel, mulțimea tuturor stărilor are o structură convexă. Printre toate stările se numără cele care nu pot fi descompuse, ca în (1.5), cu ω⁰ ≠ ω¹. Astfel de stări se numesc stări pure. Toate celelalte stări sunt stări mixte.

Sursa: Jeffrey Schenker, Quantum Information Theory – Lecture Notes for Math 992 Spring 2022. Licența CC BY-NC 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu