Echilibrul particulelor în mecanică

Tensiuni diferite la unghiuri diferite

Luați în considerare semaforul (masa de 15,0 kg) suspendat de două fire așa cum se arată în Figura 6.3. Găsiți tensiunea din fiecare fir, neglijând masele firelor.

Figura 6.3 Un semafor este suspendat de două fire. (b) Unele dintre forțele implicate. (c) Aici sunt prezentate doar forțele care acționează asupra sistemului. Este prezentată și diagrama corpului liber pentru semafor. (d) Forțele proiectate pe axele verticale (y) și orizontale (x). Componentele orizontale ale tensiunilor trebuie să se anuleze, iar suma componentelor verticale ale tensiunilor trebuie să fie egală cu greutatea semaforului. (e) Diagrama corpului liber arată forțele verticale și orizontale care acționează asupra semaforului.

Strategie

Sistemul de interes este semaforul, iar diagrama lui cu corpul liber este prezentată în Figura 6.3(c). Cele trei forțe implicate nu sunt paralele și, prin urmare, trebuie proiectate pe un sistem de coordonate. Cel mai convenabil sistem de coordonate are o axă verticală și una orizontală, iar proiecțiile vectoriale pe acesta sunt prezentate în Figura 6.3(d). Există două necunoscute în această problemă (T₁ și T₂), așa că sunt necesare două ecuații pentru a le găsi. Aceste două ecuații provin din aplicarea celei de-a doua legi a lui Newton de-a lungul axelor verticale și orizontale, observând că forța externă netă este zero de-a lungul fiecărei axe, deoarece accelerația este zero.

Soluţie

Mai întâi luați în considerare axa orizontală sau axa x:

F_{net x} = T_2x + T_1x = 0.

Astfel, așa cum v-ați putea aștepta,

|T_1x| = |T_2x|.

Acest lucru ne oferă următoarea relație:

T₁cos30° = T₂cos45°.

Prin urmare,

T₂ = 1,225T₁.

Rețineți că T₁ și T₂ nu sunt egale în acest caz, deoarece unghiurile de pe ambele părți nu sunt egale. Este rezonabil ca T₂ ajunge să fie mai mare decât T₁ deoarece se exercită mai pe verticală decât T₁.

Acum luați în considerare componentele forței de-a lungul axei verticale sau y:

F_{net y} = T₁y + T_{2 y} − w = 0.

Asta implică

T_1y + T_2y = w.

Înlocuirea expresiilor pentru componentele verticale dă

T₁sin30° + T₂sin45° = w.

Există două necunoscute în această ecuație, dar înlocuirea expresiei pentru T₂ în termeni de T₁ reduce aceasta la o ecuație cu o necunoscută:

T₁(0,500) + (1,225T₁)(0,707) = w = mg,

care dă

1,366T₁ = (15,0 kg)(9,80 m/s²).

Rezolvarea acestei ultime ecuații dă mărimea lui T₁ ca fiind

T₁ = 108 N.

În cele din urmă, găsim mărimea lui T₂ utilizând relația dintre ele, T₂ = 1,225T₁, găsită mai sus. Astfel obținem

T₂ = 132 N.

Semnificaţie

Ambele tensiuni ar fi mai mari dacă ambele fire ar fi mai orizontale și vor fi egale dacă și numai dacă unghiurile de pe ambele părți sunt aceleași (cum au fost în unul din exemplele anterioare din legile mișcării lui Newton.