O imagine alternativă a mișcării clasice

Considerăm evoluția df_t = {H,f_t}dt pe U, asociată cu o stare pură ρ^q0,p0. Se verifică cu ușurință că

⟨ f_t|ρ^q0,p0 ⟩ = f (q_t, p_t)

unde (q_t, p_t) rezolvă ecuațiile lui Hamilton cu q₀ și p₀ punctul dat care definește starea pură. Fie Φ_t : M → M maparea spațiului de fază care trimite (q₀, p₀) către punctul de pe traiectoria corespunzătoare la momentul t. Această aplicație este un difeomorfism pentru fiecare t. Atunci, pentru o stare mixtă cu densitate ρ, avem f_t(q, p) = f (Φ_t(q, p)) și

∫_Mf(Φ_t(q, p))ρ(q, p)dqdp =∫_Mf(q, p)ρ(Φ⁻¹_t(q, p))|Jac(Φ⁻¹_t)(q, p)|dqdp,

unde

Jac(Φ⁻¹_t)(q, p) = det [∂Φ⁻¹_t/∂q / ∂Φ⁻¹_t/∂p]

este determinantul Jacobian care dă schimbarea infinitezimală a volumului în jurul unui punct din spațiul de fază sub Φ_t. Este o teoremă, datorată lui Liouville, că acest determinant este identic unu. Adică, fluxul Φ_t conservă volumul. Astfel avem

∫_Mf(Φt(q, p))ρ(q, p)dqdp =∫_Mf (q, p)ρ(Φ⁻¹_t(q, p)) dqdp.

Funcția ρ_t = ρ ◦ Φ⁻¹_t satisface

dρ_t/dt = −{H, ρ_t},   (2.1)

care este aceeași cu (1.4) dar cu semnul minus. Ec. (2.1) se numește ecuația lui Liouville. Aceasta descrie evoluția unei stări mixte în spațiul de fază.

Demonstrația teoremei lui Liouville este foarte simplă. Fie Jac_t = Jac(Φ_t(p, q)). Deoarece Φ₀(q, p) = (q, p), avem Jac₀ = 1 și este suficient să demonstrăm că dJ_act/dt = 0. Deoarece t → Φ_t este un grup cu un singur parametru, adică, Φ_t+h = Φ_h ◦ Φ_t, avem

Jac_t+h = (Jac_h ◦ Φ_t)Jac_t

conform derivării funcțiilor compuse. Astfel

dJac_t/dt = (dJac_s/ds|_s=0 ◦ Φ_t) Jac_t.

Așadar, este suficient să demonstrăm că dJac_t/dt = 0 la t = 0. Acum, pentru t → 0, avem

Φ_t(q, p) = (q, p) + t(∂H/∂p’ − ∂H/∂q) + O(t²) .

Astfel

Jac_t = det(I + t[∂²H/∂q∂p  −∂²H∂q² / ∂²H/∂p² −∂²H/∂p∂q] +O(t²)).

Astfel

dJac_t/dt|_t=0 = tr[∂²H/∂q∂p  −∂²H∂q² / ∂²H/∂p² −∂²H/∂p∂q] = Σ_i=1^m ∂²H/∂q_i∂p_i – ∂²H/∂p_i∂q_i = 0,

prin egalitatea parțialelor mixte de ordinul doi.

Deci avem două imagini ale evoluției în fizica clasică:

(1) Putem considera starea sistemului ρ ca fiind fixă și putem evolua observabilele conform df/dt = {H, f};

(2) Putem considera observabilele ca fiind fixe și putem evolua stările conform dρ_t/dt = −{H, ρ_t}.

Avem echivalența dintre cele două imagini, deoarece împerecherea duală satisface

⟨f_t|ρ⟩ = ⟨f|ρ_t⟩.

Această structură va fi păstrată în mecanica cuantică, ducând la imaginile Heisenberg și Schrodinger, respectiv.

Sursa: Jeffrey Schenker, Quantum Information Theory – Lecture Notes for Math 992 Spring 2022. Licența CC BY-NC 4.0. Traducere și adaptare: Nicolae Sfetcu