(Echilibriștii la circ folosesc momentul de inerție al unei tije lungi pentru echilibru în timp ce se plimbă pe frânghie. Samuel Dixon traversând râul Niagara în 1890.)
Momentul de inerție, altfel cunoscut sub numele de masă unghiulară sau inerție rotațională, a unui corp rigid, este un tensor care determină cuplul necesar unei accelerații unghiulare dorite în jurul unei axe de rotație. El depinde de distribuția masică a corpului și de axa aleasă, cu momente mai mari care necesită un cuplu mai mare pentru a schimba rotația corpului. Este o proprietate extinsă (aditivă): Pentru o masă punctuală momentul de inerție este doar masa înmulțită cu pătratul distanței perpendiculare față de axa de rotație. Momentul inerției unui sistem compozit rigid este suma momentelor de inerție ale subsistemelor sale componente (toate luate în jurul aceleiași axe). Una dintre definițiile sale este al doilea moment de masă cu privire la distanța de la o axă r, I = ∫Q r2dm, integrând întreaga masă Q.
Pentru corpurile constrânse să se rotească într-un plan, este suficient să se ia în considerare momentul lor de inerție în jurul unei axe perpendiculare pe plan. Pentru corpurile libere să se rotească în trei dimensiuni, momentele lor pot fi descrise printr-o matrice simetrică 3 × 3; fiecare corp are un set de axe principale reciproc perpendiculare pentru care această matrice este diagonală, iar cuplurile în jurul axelor acționează independent una de cealaltă.
Introducere
Atunci când un corp se rotește sau este liber să se rotească în jurul unei axe, trebuie aplicat un cuplu pentru a schimba impulsul său unghiular. Cantitatea de cuplu necesară pentru a determina o anumită accelerație unghiulară (viteza de schimbare a vitezei unghiulare) este proporțională cu momentul inerției corpului. Momentul de inerție poate fi exprimat în unități de kilogram metru pătrat (kg·m2) în unități SI.
Momentul de inerție joacă rolul în cinetica de rotație pe care masa (inerția) o joacă în cinetica liniară – ambele caracterizează rezistența unui corp la schimbările în mișcare. Momentul inerției depinde de modul în care masa este distribuită în jurul axei de rotație și va varia în funcție de axa aleasă. Pentru o masă punctuală, momentul inerției în jurul unei anumite axe este dat de mr2, unde r este distanța punctului de axă și m este masa. Pentru un corp rigid extins, momentul de inerție este doar suma tuturor bucăților mici de masă înmulțite cu pătratul distanțelor lor față de axa în cauză. Pentru un corp extins de formă și densitate uniformă, această sumare uneori produce o expresie simplă care depinde de dimensiunile, forma și masa totală a obiectului.
În 1673, Christiaan Huygens a introdus acest parametru în studiul oscilației unui corp agățat dintr-un pivot, cunoscut sub numele de pendul compus. Termenul moment de inerție a fost introdus de Leonhard Euler în cartea sa Theoria motus corpum solidorum seu rigidorum în 1765 și este încorporat în a doua lege a lui Euler.
Frecvența naturală a oscilației unui pendul compus este obținută din raportul cuplului impus de gravitație cu masa pendulului la rezistența la accelerație definită de momentul inerției. Compararea acestei frecvențe naturale cu cea a unui pendul simplu constând dintr-un singur punct de masă oferă o formulă matematică pentru momentul de inerție al unui corp extins.
Momentul de inerție apare și în impuls, în energia cinetică și în legile lui Newton de mișcare a unui corp rigid ca parametru fizic care combină forma și masa acestuia. Există o diferență interesantă în modul în care apare momentul de inerție în mișcarea plană și spațială. Mișcarea plană are un singur scalar care definește momentul inerției, în timp ce pentru mișcarea spațială aceleași calcule dau o matrice de momente de inerție 3 × 3, numită matricea de inerție sau tensorul de inerție.
(Volantele au momente mari de inerție pentru a netezi mișcarea mecanică. Acest exemplu este dintr-un muzeu rusesc.)
Momentul de inerție al unui volant rotativ este folosit într-o mașină pentru a rezista variațiilor cuplului aplicat pentru a netezi mișcarea rotativă rezultată. Momentul inerțial al unui avion în jurul axei sale longitudinale, orizontale și verticale determină modul în care forțele de direcție pe suprafețele de comandă ale aripilor, ascensoarelor și coada îi afectează planul în rulare, tangaj și înclinare.
Definiție
(Patinatorii pot schimba momentul de inerție în figurile de rotație prin strângerea brațelor, permițându-le să se rotească mai repede din cauza conservării momentului unghiular.)
Momentul de inerție I este definit ca raportul dintre impulsul unghiular net L al unui sistem și viteza sa unghiulară ω în jurul unei axe principale, adică
I = L/ω.
Dacă impulsul unghiular al unui sistem este constant, atunci când momentul inerției devine mai mic, viteza unghiulară trebuie să crească. Acest lucru se întâmplă atunci când patinatorii schimbă momentul de inerție în figurile de rotație prin strângerea brațelor, permițându-le să se rotească mai repede.
Dacă forma corpului nu se schimbă, atunci momentul său de inerție apare în legea de mișcare a lui Newton ca raport al cuplului aplicat τ pe un corp la accelerația unghiulară α în jurul axei principale, adică
τ = Iα.
Pentru un pendul simplu, această definiție dă o formulă pentru momentul inerției I în ceea ce privește masa m a pendulului și distanța lui r de la punctul de pivotare,
I = mr2.
Astfel, momentul inerției depinde atât de masa m a corpului, cât și de geometria sau forma sa, așa cum este definită de distanța r față de axa de rotație.
Această formulă simplă se generalizează pentru a defini momentul de inerție pentru un corp în formă arbitrară ca sumă a tuturor maselor punctuale elementaee dm, fiecare înmulțită cu pătratul distanței perpendiculare r față de o axă k.
În general, dat fiind un obiect de masă m, o rază efectivă k poate fi definită pentru o axă prin centrul său de masă, cu o astfel de valoare încât momentul său de inerție este
I = mk2,
unde k este cunoscut ca raza de girație.
Lasă un răspuns