În general, forțele pot varia în mărime și direcție în puncte din spațiu, iar traseele dintre două puncte pot fi curbate. Lucrul mecanic infinitezimal efectuat de o forță variabilă poate fi exprimat în termeni de componente ale forței și deplasarea de-a lungul traseului,
dW = Fxdx + Fydy + Fzdz.
Aici, componentele forței sunt funcții de poziție de-a lungul căii, iar deplasările depind de ecuațiile căii. (Deși am ales să ilustrăm dW în coordonate carteziene, alte coordonate sunt mai potrivite pentru anumite situații.) Ecuația 7.2 definește lucrul mecanic total ca o integrală de linie sau limita unei sume de cantități infinitezimale de lucru. Conceptul fizic al lucrului mecanic este simplu: calculezi lucrul mecanic pentru deplasări mici și le însumezi. Uneori, matematica poate părea complicată, dar următorul exemplu demonstrează cât de curat poate funcționa.
| EXEMPLUL 7.4
Lucru mecanic efectuat de o forță variabilă pe un traseu curbat Un obiect se deplasează de-a lungul unui traseu parabolic y = (0,5 m−1)x2 de la originea A = (0,0) până la punctul B = (2 m,2 m) sub acțiunea unei forțe F⃗ = (5 N/m)yiˆ + (10 N/m)xjˆ (Figura 7.6). Calculați lucrul mecanic efectuat.
Strategie Componentele forței sunt funcții date ale lui x și y. Putem folosi ecuația căii pentru a exprima y și dy în termeni de x și dx; și anume, y = (0,5 m−1)x2 și dy = 2(0,5 m−1)xdx. Atunci, integrala pentru lucrul mecanic este doar o integrală definită a unei funcții a lui x. Soluție Elementul infinitezimal al lucrului mecanic este dW = Fxdx + Fydy = (5 N/m)ydx + (10 N/m)xdy = (5 N/m)(0,5 m−1)x2dx + (10 N/m)2(0,5 m−1)x2dx = (12,5 N/m2)x2dx. Integrala lui x2 este x3/3, deci W = ∫2m0(12,5 N/m2)x2dx = (12,5 N/m2)x3/3∣2m0 = (12,5 N/m2)(8/3) = 33,3 J. Semnificație Această integrală nu a fost greu de realizat. Puteți urma aceiași pași, ca în acest exemplu, pentru a calcula integralele de linii reprezentând lucrul mecanic pentru forțe și trasee mai complicate. În acest exemplu, totul a fost dat în termeni de componente x și y, care sunt cel mai ușor de utilizat în evaluarea lucrului mecanic în acest caz. În alte situații, ar putea fi mai ușor de lucrat cu magnitudinile și unghiurile.
|
| EXERCIȚIUL 7.3
Găsiți lucrul mecanic efectuat de aceeași forță din Exemplul 7.4 pe un drum cubic, y = (0,25 m−2)x3, între aceleași puncte A = (0,0) și B = (2 m,2 m). |
Ați văzut în Exemplul 7.4 că pentru a evalua o integrală de linie, o puteți reduce la o integrală pe o singură variabilă sau parametru. De obicei, există mai multe modalități de a face acest lucru, care pot fi mai mult sau mai puțin convenabile, în funcție de cazul particular. În Exemplul 7.4, am redus integrala dreaptă la o integrală peste x, dar am fi putut la fel de bine să alegem să reducem totul la o funcție a lui y. Nu am făcut asta deoarece funcțiile din y implică rădăcina pătrată și exponenții fracționari, care pot fi mai puțin familiari, dar pentru scopuri ilustrative, facem acest lucru acum. Rezolvând pentru x și dx, în termeni de y, de-a lungul drumului parabolic, obținem
x = √(y/(0,5 m−1)) = √((2 m)y) și x = √(2m) × dy/2√y = dy/√((2 m−1)y).
Componentele forței, în termeni de y, sunt
Fx = (5 N/m)y și Fy = (10 N/m)x = (10 N/m)√((2m)y),
deci elementul de lucru mecanic infinitezimal devine
dW = Fxdx + Fydy = (5 N/m)ydy/√((2m−1)y) + (10 N/m) √((2m)y)dy = (5 Nm−1/2)(1/√2 + 2√2) √ydy = (17,7 Nm−1/2)y1/2dy.
Integrala lui y1/2 este 2y3/2/3, deci lucrul mecanic efectuat de la A la B este
W = ∫2m0(17,7 N⋅m−1/2)y1/2dy = (17,7 N⋅m−1/2)2(2m)3/2/3 = 33,3 J.
După cum era de așteptat, acesta este exact același rezultat ca înainte.
O forță variabilă foarte importantă și aplicabilă pe scară largă este forța exercitată de un arc perfect elastic, care se conformează legii lui Hooke F⃗ = −kΔx⃗, unde k este constanta arcului, iar Δx⃗ = x⃗ − x⃗eq este deplasarea de la poziția arcului neîntins (în echilibru). (Legile mișcării lui Newton). Rețineți că poziția neîntinsă este aceeași cu poziția de echilibru dacă nu acționează alte forțe (sau, dacă sunt, se anulează una pe cealaltă). Forțele dintre molecule, sau în orice sistem care suferă deplasări mici dintr-un echilibru stabil, se comportă aproximativ ca o forță de arc.
Pentru a calcula lucrul mecanic efectuat de o forță de arc, putem alege axa x de-a lungul lungimii arcului, în direcția de creștere a lungimii, ca în figura 7.7, cu originea în poziția de echilibru xeq = 0. (Atunci, x pozitiv corespunde unei întinderi și x negativ unei compresiuni.) Cu această alegere de coordonate, forța arcului are doar o componentă x, Fx = −kx, iar lucrul mecanic efectuat atunci când x se schimbă de la xA la xB este
| (7.5) Warc,AB = ∫BAFxdx = −k∫BAxdx = −kx2/2∣BA = −k/2 · (x2B − x2A). |
Figura 7.7 (a) Arcul nu exercită nicio forță în poziția sa de echilibru. Arcul exercită o forță în direcția opusă la (b) o extindere sau întindere și (c) o compresie.
Observați că WAB depinde numai de punctele de început și de sfârșit, A și B, și este independent de calea reală dintre ele, atâta timp cât începe la A și se termină la B. Adică, calea reală ar putea implica mersul înainte și înapoi. înainte de a se termina.
Un alt lucru interesant de observat despre ecuația 7.5 este că, pentru acest caz unidimensional, puteți vedea cu ușurință corespondența dintre lucrul mecanic efectuat de o forță și aria de sub curba forței în funcție de deplasarea acesteia. Reamintim că, în general, o integrală unidimensională este limita sumei infinitezimale, f(x)dx, reprezentând aria benzilor, așa cum se arată în Figura 7.8. În ecuația 7.5, deoarece F = −kx este o linie dreaptă cu panta −k, atunci când este reprezentată în raport cu x, „aria” de sub linie este doar o combinație algebrică de „arii” triunghiulare, unde „ariile” deasupra axei x sunt pozitive, iar cele de mai jos sunt negative, așa cum se arată în Figura 7.9. Mărimea uneia dintre aceste „zone” este doar jumătate din baza triunghiului, de-a lungul axei x, ori înălțimea triunghiului, de-a lungul axei forței. (Există ghilimele în jurul „zonei”, deoarece acest produs cu înălțimea de bază are unitățile de lucru mecanic, mai degrabă decât metri pătrați.)
Figura 7.8 O curbă a lui f(x) față de x care arată aria unei benzi infinitezimale, f(x)dx, și suma acestor arii, care este integrala lui f(x) de la x1 la x2.
Figura 7.9 Curba forței arcului f(x) = −kx față de x, arătând zonele sub linie, între xA și xB, atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale lui xA. Când xA este negativ, aria totală de sub curbă pentru integrala din ecuația 7.5 este suma ariilor triunghiulare pozitive și negative. Când xA este pozitiv, aria totală de sub curbă este diferența dintre două triunghiuri negative.
| EXEMPLUL 7.5
Lucrul mecanic realizat de o forță de arc Un arc perfect elastic necesită 0,54 J de lucru mecanic pentru a se întinde cu 6 cm din poziția sa de echilibru, ca în Figura 7.7(b). (a) Care este constanta sa de arc k? (b) Cât de mult lucru mecanic este necesar pentru a-l întinde încă 6 cm? Strategie Lucrul mecanic „necesar” înseamnă lucrul mecanic efectuat împotriva forței arcului, care este negativul lucrului mecanic din ecuația 7.5, adică W = ½ k(x2B − x2A). Pentru partea (a), xA = 0 și xB = 6cm; pentru partea (b), xB = 6cm și xB = 12cm. În partea (a), lucrul mecanic este dat și puteți rezolva constanta de arc; în partea (b), puteți folosi valoarea lui k, din partea (a), pentru a rezolva lucrul mecanic. Soluție a. W = 0,54 J = ½ k[(6cm)2 − 0], deci k = 3 N/cm. b. L = ½ (3 N/cm)[(12cm)2 − (6cm)2] = 1,62 J. Semnificație Deoarece lucrul mecanic efectuat de o forță a arcului este independent de traseu, trebuie doar să calculați diferența în cantitatea ½kx2 la punctele finale. Observați că lucrul mecanic necesar pentru a întinde arcul de la 0 la 12 cm este de patru ori mai mare decât cel necesar pentru a-l întinde de la 0 la 6 cm, deoarece acest lucru depinde de pătratul cantității de întindere de la echilibru, ½kx2. În această circumstanță, lucrul mecanic de întindere a arcului de la 0 la 12 cm este, de asemenea, egal cu lucrul mecanic pentru o cale compozită de la 0 la 6 cm, urmat de o întindere suplimentară de la 6 cm la 12 cm. Prin urmare, 4W(0 cm la 6 cm) = W(0 cm la 6 cm) + W(6 cm la 12 cm), sau W(6 cm la 12 cm) = 3W(0 cm la 6 cm), așa cum am găsit mai sus. |
| EXERCIȚIUL 7.4
Arcul din exemplul 7.5 este comprimat la 6 cm de la lungimea sa de echilibru. (a) Forța arcului efectuează lucru pozitiv sau negativ? și (b) care este mărimea? |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu
© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Lasă un răspuns