Timpul de zbor, traiectoria și raza de acțiune ale unui proiectil

De interes sunt timpul de zbor, traiectoria și raza de acțiune pentru un proiectil lansat pe o suprafață orizontală plană și care cade pe aceeași suprafață. În acest caz, ecuațiile cinematice dau expresii utile pentru aceste mărimi, care sunt derivate în secțiunile următoare.

Timpul de zbor

Putem rezolva timpul de zbor al unui proiectil care este lansat și cade pe o suprafață orizontală plană, efectuând unele manipulări ale ecuațiilor cinematice. Remarcăm că poziția și deplasarea în y trebuie să fie zero la lansare și la impactul pe o suprafață plană. Astfel, stabilim deplasarea în y egală cu zero și găsim

y − y₀ = v_0yt – ½ gt² = (v₀sinθ₀)t – ½ gt² = 0

Dând factor comun, avem

t(v₀sinθ₀ – gt/2) = 0.

Rezolvarea pentru t ne dă

(4.24) T_tdz = 2(v₀sinθ₀)/g.

Acesta este timpul de zbor pentru un proiectil lansat și căzut pe o suprafață orizontală plană. Ecuația 4.24 nu se aplică atunci când proiectilul aterizează la o altă altitudine decât ce de la care a fost lansat, așa cum am văzut în Exemplul 4.8 al jucătorului de tenis care aruncă mingea în tribune. Cealaltă soluție, t = 0, corespunde timpului la lansare. Timpul de zbor este liniar proporțional cu viteza inițială în direcția y și invers proporțional cu g. Astfel, pe Lună, unde gravitația este o șesime din cea a Pământului, un proiectil lansat cu aceeași viteză ca pe Pământ ar zvura în aer de șase ori mai mult timp.

Traiectoria

Traiectoria unui proiectil poate fi găsită eliminând variabila de timp t din ecuațiile cinematice pentru t arbitrar și rezolvând pentru y(x). Luăm x₀ = y₀ = 0 deci proiectilul este lansat de la origine. Ecuația cinematică pentru x dă

x = v₀xt ⇒ t = x/v_0x = x/v₀cosθ0.

Înlocuirea expresiei pentru t în ecuația pentru poziția y = (v₀sinθ₀)t – ½ gt² dă

y = (v₀sinθ₀)(x/v₀cosθ₀) – ½ g(x/v₀cosθ₀)².

Rearanjând termenii, avem

(4.25) y = (tanθ₀)x − [g/2(v₀cosθ₀)²]x².

Această ecuație de traiectorie este de forma y = ax + bx², care este o ecuație a unei parabole cu coeficienți

a = tanθ₀, b = −g/2(v₀cosθ₀)².

Raza de acțiune

Din ecuația traiectoriei putem găsi și raza de acțiune, sau distanța orizontală parcursă de proiectil. Dând factor comun în ecuația 4.25, avem

y = x[tanθ₀ − g/2(v₀cosθ₀)² x].

Poziția y este zero atât pentru punctul de lansare, cât și pentru punctul de impact, deoarece luăm din nou în considerare doar o suprafață orizontală plană. Setarea y = 0 în această ecuație oferă soluții x = 0, corespunzătoare punctului de lansare și

x = 2v²₀sinθ₀cosθ₀/g,

corespunzător punctului de impact. Folosind identitatea trigonometrică 2sinθcosθ = sin2θ și setând x = R pentru raza de acțiune, găsim

(4.26) R = v²₀sin2θ₀/g.

Rețineți în special că ecuația 4.26 este valabilă numai pentru lansare și impact pe o suprafață orizontală. Vedem că intervalul este direct proporțional cu pătratul vitezei inițiale v₀ și sin2θ₀ și este invers proporțional cu accelerația gravitației. Astfel, pe Lună, intervalul ar fi de șase ori mai mare decât pe Pământ pentru aceeași viteză inițială. În plus, vedem din factorul sin2θ₀ că intervalul este maxim la 45°. Aceste rezultate sunt prezentate în Figura 4.15. În (a) vedem că cu cât viteza inițială este mai mare, cu atât intervalul este mai mare. În (b), vedem că intervalul este maxim la 45°. Acest lucru este valabil numai pentru condițiile care neglijează rezistența aerului. Dacă se ia în considerare rezistența aerului, unghiul maxim este ceva mai mic. Este interesant că aceeași gamă se găsește pentru două unghiuri inițiale de lansare care însumează 90°. Proiectilul lansat cu unghiul mai mic are un vârf mai mic decât unghiul mai mare, dar ambele au aceeași rază de acțiune.

Figura 4.15 Traiectorii ale proiectilelor pe teren plan. (a) Cu cât viteza inițială v₀ este mai mare, cu atât este mai mare raza de acțiune pentru un unghi inițial dat. (b) Efectul unghiului inițial θ₀ asupra razei de acțiune a unui proiectil cu o viteză inițială dată. Rețineți că raza de acțiune este aceeași pentru unghiurile inițiale de 15° și 75°, deși înălțimile maxime ale acelor căi sunt diferite.

EXEMPLUL 4.9

Compararea loviturilor de golf

Doi jucători de golf se confruntă cu două situații diferite pe găuri diferite. Pe a doua gaură sunt la 120 m de green și vor să lovească mingea la 90 m și să o lase să meargă pe green. Ei înclină lovitura jos la pământ la 30° față de orizontală pentru a lăsa mingea să se rostogolească după impact. Pe cea de-a patra gaură se află la 90 m de green și vor să lase mingea să cadă cu o cantitate minimă de rostogolire după impact. Aici, ei înclină lovitura la 70° față de orizontală pentru a minimiza rularea după impact. În ambele lovituri mingea este lovită și aterizează pe o suprafață plană.

(a) Care este viteza inițială a mingii la a doua gaură?

(b) Care este viteza inițială a mingii la a patra gaură?

(d) Reprezentați grafic traiectoriile.

Strategie

Vedem că ecuația razei de acțiune are viteza și unghiul inițial, deci putem rezolva viteza inițială atât pentru (a) cât și pentru (b). Când avem viteza inițială, putem folosi această valoare pentru a scrie ecuația traiectoriei.

Soluție

(a) R = v²₀sin2θ₀/g ⇒ v0 = √(Rg/sin2θ₀) = √()90,0 m(9,8 m/s²))/sin(2(30°))) = 31,9 m/s

(b) ) R = v²₀sin2θ₀/g ⇒ v0 = √(Rg/sin2θ₀) = √()90,0 m(9,8 m/s²))/sin(2(70°))) =37,0m/s

A doua gaură: y = x[tan30° − 9,8 m/s²/2[(31,9 m/s)(cos30°)]² x] = 0,58x − 0,0064x²

A patra gaură: y = x[tan70° − 9,8m/s²/2[(37,0 m/s)(cos70°)]² x] = 2,75x − 0,0306x²

(d) Folosind o utilitate grafică, putem compara cele două traiectorii, care sunt prezentate în Figura 4.16.

Figura 4.16 Două traiectorii ale unei mingi de golf cu o rază de acțiune de 90 m. Punctele de impact ale ambelor sunt la același nivel cu punctul de lansare.

Semnificație

Viteza inițială pentru lovitura la 70° este mai mare decât viteza inițială a loviturii la 30°. Rețineți din figura 4.16 că, dacă cele două proiectile ar fi lansate cu aceeași viteză, dar la unghiuri diferite, proiectilele ar avea aceeași rază de acțiune atât timp cât unghiurile ar fi mai mici de 90°. Unghiurile de lansare din acest exemplu se adună dând un număr mai mare de 90°. Astfel, lovitura la 70° trebuie sa aibă o viteza de lansare mai mare pentru a ajunge la 90 m, altfel ar ateriza la o distanță mai mică.

EXERCIȚIUL 4.4

Dacă cele două lovituri de golf din Exemplul 4.9 ar fi lansate cu aceeași viteză, care lovitură ar avea cea mai mare rază de acțiune?

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS

Când vorbim de raza de acțiune a unui proiectil pe teren plan, presupunem că R este foarte mic în comparație cu circumferința Pământului. Dacă, totuși, raza de acțiune este mare, contează curbura Pământului și accelerația rezultată din gravitație își schimbă direcția de-a lungul căii. Distanța este mai mare decât cea prezisă de ecuația de distanță dată mai devreme, deoarece proiectilul trebuie să cadă mai departe decât ar fi pe un teren plan, așa cum se arată în Figura 4.17, care se bazează pe un desen din Principia lui Newton. Dacă viteza inițială este suficient de mare, proiectilul intră pe orbită. Suprafața Pământului scade cu 5 m la fiecare 8000 m. În 1 s un obiect cade 5 m fără rezistenta aerului. Astfel, dacă unui obiect i se dă o viteză orizontală de 8000 m/s aproape de suprafața Pământului, acesta va intra pe orbită în jurul planetei, deoarece suprafața se îndepărtează continuu de obiect. Aceasta este aproximativ viteza navetei spațiale pe o orbită joasă a Pământului când este operațională, sau a oricărui satelit pe o orbită joasă a Pământului. Acestea și alte aspecte ale mișcării orbitale, cum ar fi rotația Pământului, sunt acoperite mai în profunzime în Gravitația.

Figura 4.17 Proiectil ca satelit. În fiecare caz prezentat aici, un proiectil este lansat dintr-un turn foarte înalt pentru a evita rezistența aerului. Odată cu creșterea vitezei inițiale, raza de acțiune crește și devine mai lungă decât ar fi pe un teren plan, deoarece Pământul se curbează sub calea sa. Cu o viteză de 8000 m/s, orbita este atinsă.