Mișcarea liniară: Probleme de urmărire cu două corpuri

Până în acest moment, ne-am uitat la exemple de mișcare care implică un singur corp. Chiar și pentru problema cu două mașini și distanțele de oprire pe drumuri umede și uscate, am împărțit această problemă în două probleme separate pentru a găsi răspunsurile. Într-o problemă de urmărire cu două corpuri, mișcările obiectelor sunt cuplate, adică necunoscuta pe care o căutăm depinde de mișcarea ambelor obiecte. Pentru a rezolva aceste probleme scriem ecuațiile de mișcare pentru fiecare obiect și apoi le rezolvăm simultan pentru a găsi necunoscuta. Acest lucru este ilustrat în Figura 3.25.

Figura 3.25 Un scenariu de urmărire cu două corpuri în care mașina 2 are o viteză constantă și mașina 1 este în urmă cu o accelerație constantă. Mașina 1 ajunge din urmă mașina 2 mai târziu.

Timpul și distanța necesare pentru ca mașina 1 să prindă din urmă mașina 2 depind de distanța inițială a mașinii 1 față de mașina 2, precum și de vitezele ambelor mașini și de accelerația mașinii 1. Ecuațiile cinematice care descriu mișcarea ambelor mașini trebuie rezolvate. pentru a găsi aceste necunoscute.

Luați în considerare următorul exemplu.

EXEMPLUL 3.13

Ghepardul prind o gazelă

Un ghepard așteaptă ascuns în spatele unui tufiș. Ghepardul observă o gazelă trecând cu 10 m/s. În momentul în care gazela trece de ghepard, ghepardul accelerează din repaus cu 4 m/s² pentru a prinde gazela. (a) Cât timp îi ia ghepardului să prindă gazela? (b) Care este deplasarea gazelei și a ghepardului?

Strategie

Folosim setul de ecuații pentru accelerație constantă pentru a rezolva această problemă. Deoarece există două obiecte în mișcare, avem ecuații separate de mișcare care descriu fiecare animal. Dar ceea ce leagă ecuațiile este un parametru comun care are aceeași valoare pentru fiecare animal. Dacă ne uităm la problemă îndeaproape, este clar că parametrul comun fiecărui animal este poziția lor x la un moment ulterior t. Întrucât ambele încep de la x₀ = 0, deplasările lor sunt aceleași la un moment ulterior t, când ghepardul ajunge din urmă gazela. Dacă alegem ecuația de mișcare care rezolvă deplasarea pentru fiecare animal, putem apoi să stabilim ecuațiile egale între ele și să rezolvăm necunoscuta, care este timpul.

Soluție

a. Ecuația gazelei: Gazela are o viteză constantă, care este viteza sa medie, deoarece nu accelerează. Prin urmare, folosim ecuația 3.10 cu x₀ = 0:

x = x₀ + v^–t = v^–t.

Ecuația pentru ghepard: Ghepardul accelerează din repaus, așa că folosim ecuația 3.13 cu x₀ = 0 și v₀ = 0:

x = x₀ + v₀t + ½ at² = ½ at².

Acum avem o ecuație de mișcare pentru fiecare animal cu un parametru comun, care poate fi eliminat pentru a găsi soluția. În acest caz, rezolvăm pentru t:

x = v^–t = ½ at²

t = 2v^–/a.

Gazela are o viteză constantă de 10 m/s, care este viteza sa medie. Accelerația ghepardului este de 4 m/s². Evaluând t, timpul până când ghepardul ajunge la gazelă, avem

t = 2v^–/a = 2(10 m/s)/4 m/s² = 5 s.

b. Pentru a obține deplasarea, folosim fie ecuația de mișcare pentru ghepard, fie pentru gazelă, deoarece ambele ar trebui să dea același răspuns.

Deplasarea ghepardului:

x = ½ at² = ½ (4 m/s²)(5)² = 50 m.

Deplasarea gazelei:

x = v^–t = 10 m/s(5) = 50 m.

Vedem că ambele deplasări sunt egale, așa cum era de așteptat.

Semnificație

Este important să analizați mișcarea fiecărui obiect și să folosiți ecuațiile cinematice adecvate pentru a descrie mișcarea individuală. De asemenea, este important să aveți o bună perspectivă vizuală a problemei urmăririi cu două corpuri pentru a vedea parametrul comun care leagă mișcarea ambelor obiecte.

EXERCIȚIUL 3.6

O bicicletă are o viteză constantă de 10 m/s. O persoană pornește din repaus și începe să alerge pentru a ajunge la bicicletă în 30 de secunde când bicicleta este în aceeași poziție cu persoana respectivă. Care este accelerația persoanei?

CLIC AICI PENTRU RĂSPUNS