De ce Pământul continuă să se învârtească? Cum a început să se învârtească de la început? De ce atracția gravitațională a Pământului nu aduce Luna să se prăbușească spre Pământ? Și cum reușește o patinatoare să se învârtească din ce în ce mai repede pur și simplu trăgându-și brațele înăuntru? De ce nu trebuie să exercite un cuplu pentru a se învârti mai repede?
Întrebări ca acestea au răspunsuri bazate pe momentul unghiular, analogul de rotație cu momentul liniar (impulsul). În acest capitol, definim mai întâi și apoi explorăm momentul unghiular dintr-o varietate de puncte de vedere. În primul rând, totuși, investigăm momentul unghiular al unei singure particule. Acest lucru ne permite să dezvoltăm moment unghiular pentru un sistem de particule și pentru un corp rigid care este simetric cilindric.
Figura 11.9 prezintă o particulă la o poziție r⃗ cu impuls p⃗ = mv⃗ față de origine. Chiar dacă particula nu se rotește în jurul originii, putem defini totuși un moment unghiular din punct de vedere al vectorului de poziție și al momentului liniar.
| MOMENTUL UNGHIULAR AL UNEI PARTICULE
Momentul unghiular l⃗ al unei particule este definit ca produsul încrucișat al lui r⃗ și p⃗ și este perpendicular pe planul care conține r⃗ și p⃗: (11.5) l⃗ = r⃗ × p⃗ . |
Figura 11.9 În spațiul tridimensional, vectorul de poziție r⃗ localizează o particulă în planul xy cu impuls p⃗ . Momentul unghiular față de origine este l⃗ = r⃗ × p⃗ , care este în direcția z. Direcția lui l⃗ este dată de regula mâinii drepte, așa cum se arată.
Intenția de a alege direcția momentului unghiular pentru a fi perpendiculară pe planul care conține r⃗ și p⃗ este similară cu alegerea direcției cuplului pentru a fi perpendiculară pe planul lui r⃗ și F⃗, așa cum se discută în Rotația cu axă fixă. Mărimea momentului unghiular se găsește din definiția produsului încrucișat,
l = rpsinθ,
unde θ este unghiul dintre r⃗ și p⃗ . Unitățile momentului unghiular sunt kg⋅m2/s.
Ca și în cazul definiției cuplului, putem defini un braț de pârghie r⊥ care este distanța perpendiculară de la vectorul impuls p⃗ la origine, r⊥ = rsinθ. Cu această definiție, mărimea momentului unghiular devine
l = r⊥p = r⊥mv.
Vedem că dacă direcția lui p⃗ este astfel încât să treacă prin origine, atunci θ = 0, iar momentul unghiular este zero deoarece brațul pârghiei este zero. În acest sens, mărimea momentului unghiular depinde de alegerea originii.
Dacă luăm derivata în timp a momentului unghiular, ajungem la o expresie pentru cuplul asupra particulei:
dl⃗/dt = dr⃗/dt × p⃗ + r⃗ × dp⃗/dt = v⃗ × mv⃗ + r⃗ × dp⃗/dt = r⃗ × dp⃗/dt.
Aici am folosit definiția lui p⃗ și faptul că produsul vectorial al unui vector cu sine însuți este zero.. Din a doua lege a lui Newton, dp⃗/dt = ∑F⃗ , forța netă care acționează asupra particulei și definiția cuplului net, putem scrie
| (11.6) dl⃗/dt = ∑τ⃗ . |
Observați asemănarea cu rezultatul liniar al celei de-a doua legi a lui Newton, dp⃗/dt = ∑F⃗ . Următoarea strategie de rezolvare a problemelor poate servi drept ghid pentru calcularea momentului unghiular al unei particule.
| STRATEGIA DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
Momentul unghiular al unei particule 1. Alegeți un sistem de coordonate față de care urmează să fie calculat momentul unghiular. 2. Notați vectorul rază până la particula punctuală în notație vectorială unitară. 3. Scrieți vectorul moment liniar al particulei în notație vectorială unitară. 4. Luați produsul vectorial l⃗ = r⃗ × p⃗ și utilizați regula din dreapta pentru a stabili direcția vectorului moment unghiular. 5. Vedeți dacă există o dependență de timp în expresia vectorului moment unghiular. Dacă există, atunci există un cuplu în jurul originii și utilizați dl⃗/dt = ∑τ⃗ pentru a calcula cuplul. Dacă nu există o dependență de timp în expresia pentru momentul unghiular, atunci cuplul net este zero. |
| EXEMPLUL 11.4
Momentul unghiular și cuplul pe un meteorit Un meteor intră în atmosfera Pământului (Figura 11.10) și este observat de cineva de pe pământ înainte de a arde în atmosferă. Vectorul r⃗ = 25 kmiˆ + 25 kmjˆ dă poziția meteorului față de observator. În momentul în care observatorul vede meteorul, acesta are un impuls liniar p⃗ = 15,0 kg (−2,0 km/s jˆ) și accelerează la o constantă 2,0 m/s2 (−jˆ) de-a lungul traseului său, ceea ce pentru scopurile noastre poate fi luată ca o linie dreaptă. (a) Care este momentul unghiular al meteorului în jurul originii, care se află la locul observatorului? (b) Care este cuplul pe meteorit față de originea?
Strategie Rezolvăm accelerația în componentele x și y și folosim ecuațiile cinematice pentru a exprima viteza în funcție de accelerație și timp. Inserăm aceste expresii în impuls și apoi calculăm momentul unghiular folosind produsul vectorial. Deoarece vectorii poziție și impuls sunt în planul xy, ne așteptăm ca vectorul moment unghiular să fie de-a lungul axei z. Pentru a găsi cuplul, luăm derivata în timp a momentului unghiular. Soluție Meteorul intră în atmosfera Pământului la un unghi de 90,0° sub orizontală, astfel încât componentele accelerației în direcțiile x și y sunt ax = 0 , ay = −2,0 m/s2. Scriem vitezele folosind ecuațiile cinematice. vx = 0 , vy = −2,0 × 103 m/s − (2,0 m/s2)t. a. Momentul unghiular este l⃗ =r⃗ ×p⃗ = (25,0 kmiˆ + 25,0 kmjˆ) × 15,0 kg(0iˆ + vyjˆ) = 15,0 kg[25,0 km(vy)kˆ] = 15,0 kg[2,50 × 104 m(−2,0 × 103 m/s − (2,0 m/s2)t)kˆ]. La t = 0, momentul unghiular al meteorului în jurul originii este l⃗0 = 15,0 kg[2,50 × 104 m(−2,0 × 103 m/s)kˆ] = 7,50 × 108 kg⋅m2/s(−kˆ). Acesta este momentul în care observatorul vede meteorul. b. Pentru a găsi cuplul, luăm derivata în timp a momentului unghiular. Luând derivata în timp a lui l⃗ în funcție de timp, care este a doua ecuație imediat mai sus, avem dl⃗/dt = −15,0 kg(2,50 × 104 m)(2,0 m/s2)kˆ. Atunci, deoarece dl⃗/dt = ∑τ⃗ , avem ∑τ⃗ = −7,5 × 105 N⋅mkˆ. Unitățile de cuplu sunt date ca newtoni-metri, a nu fi confundate cu jouli. Ca o verificare, observăm că brațul de pârghie este componenta x a vectorului r⃗ din Figura 11.10, deoarece este perpendicular pe forța care acționează asupra meteorului, care este de-a lungul traseului acestuia. După a doua lege a lui Newton, această forță este F⃗ = ma(−jˆ) = 15.0 kg(2,0 m/s2)(−jˆ) = 30,0 kg⋅m/s2(−jˆ). Brațul de pârghie este r⃗⊥ = 2,5 × 104 miˆ. Astfel, cuplul este ∑τ⃗ = r⃗⊥ × F⃗ = (2,5 × 104 miˆ) × (−30,0 kg⋅m/s2jˆ) = 7,5 × 105 N⋅m(−kˆ). Semnificație Deoarece meteorul accelerează în jos spre Pământ, raza și vectorul de viteză se schimbă. Prin urmare, deoarece l⃗ = r⃗ × p⃗ , momentul unghiular se modifică în funcție de timp. Cuplul asupra meteorului în jurul originii este însă constant, deoarece brațul de pârghie r⃗⊥ și forța asupra meteorului sunt constante. Acest exemplu este important prin faptul că ilustrează faptul că momentul unghiular depinde de alegerea originii pentru care este calculat. Metodele utilizate în acest exemplu sunt de asemenea importante în dezvoltarea momentului unghiular pentru un sistem de particule și pentru un corp rigid. |
| EXERCIȚIUL 11.2
Un proton care se învârte în spirală în jurul unui câmp magnetic execută mișcare circulară în planul hârtiei, așa cum se arată mai jos. Calea circulară are o rază de 0,4 m, iar protonul are viteza de 4,0 × 106 m/s. Care este momentul unghiular al protonului în jurul originii?
|
Răspuns:
Din figură, vedem că produsul încrucișat al vectorului rază cu vectorul impuls dă un vector direcționat în afara paginii. Inserând raza și momentul în expresia pentru momentul unghiular, avem
l⃗ = r⃗ × p⃗ = (0,4 miˆ) × (1,67 × 10−27 kg(4,0 × 106 m/s)jˆ) = 2,7 × 10−21 kg⋅m2/skˆ
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Lasă un răspuns