Home » Articole » RO » Știință » Fizica » Mecanica » Viteza unghiulară

Viteza unghiulară

postat în: Mecanica 0

Parc eolianFigura 10.1 Parc eolian. Pe parcursul anului 2019, fermele eoliene din Statele Unite au avut o putere medie de 34 de gigawați, ceea ce este suficient pentru a alimenta 28 de milioane de case.

În capitolele anterioare, am descris mișcarea (cinematica) și cum se schimbă mișcarea (dinamica) și am definit concepte importante precum energia pentru obiecte care pot fi considerate ca mase punctuale. Masele punctuale, prin definiție, nu au formă și, prin urmare, pot suferi doar mișcare de translație. Cu toate acestea, știm din viața de zi cu zi că mișcarea de rotație este, de asemenea, foarte importantă și că multe obiecte care se mișcă au atât translație, cât și rotație. Turbinele eoliene din imaginea de deschidere a capitolului sunt un exemplu excelent al modului în care mișcarea de rotație ne afectează viața de zi cu zi, deoarece piața surselor de energie curată continuă să crească.

Începem să abordăm mișcarea de rotație în acest capitol, începând cu rotația cu axă fixă. Rotația cu axă fixă descrie rotația în jurul unei axe fixe a unui corp rigid; adică un obiect care nu se deformează pe măsură ce se mișcă. Vom arăta cum să aplicăm toate ideile pe care le-am dezvoltat până în acest moment despre mișcarea de translație la un obiect care se rotește în jurul unei axe fixe. În capitolul următor, extindem aceste idei la mișcare de rotație mai complexă, inclusiv obiecte care se rotesc și se translatează și obiecte care nu au o axă de rotație fixă.

I.1.10.1 Variabile de rotație

Până acum, în acest text, am studiat în principal mișcarea de translație, inclusiv variabilele care o descriu: deplasarea, viteza și accelerația. Acum extindem descrierea mișcării la rotație – în special, mișcarea de rotație în jurul unei axe fixe. Vom descoperi că mișcarea de rotație este descrisă de un set de variabile similare cu cele pe care le-am folosit în mișcarea de translație.

Viteza unghiulară

Mișcarea circulară uniformă (discută anterior în Mișcare în două și trei dimensiuni) este mișcarea într-un cerc cu viteză constantă. Deși acesta este cel mai simplu caz de mișcare de rotație, este foarte util pentru multe situații și îl folosim aici pentru a introduce variabile de rotație.

În Figura 10.2, arătăm o particulă care se mișcă într-un cerc. Sistemul de coordonate este fix și servește ca un cadru de referință pentru a defini poziția particulei. Vectorul său de poziție de la originea cercului până la particule mătură unghiul θ, care crește în sens invers acelor de ceasornic pe măsură ce particula se mișcă de-a lungul traseului circular. Unghiul θ se numește poziția unghiulară a particulei. Pe măsură ce particula se mișcă pe calea sa circulară, ea urmărește și o lungime de arc s.

O particulă urmează o cale circularăFigura 10.2 O particulă urmează o cale circulară. Pe măsură ce se mișcă în sens invers acelor de ceasornic, mătură un unghi pozitiv θ în raport cu axa x și trasează o lungime de arc s.

Unghiul este legat de raza cercului și de lungimea arcului prin

(10.1)  θ=s/r.

 

Unghiul θ, poziția unghiulară a particulei de-a lungul drumului său, are unități de radiani (rad). Există 2π radiani la 360°. Rețineți că măsura în radian este un raport al măsurătorilor de lungime și, prin urmare, este o mărime adimensională. Pe măsură ce particula se mișcă de-a lungul traseului circular, poziția sa unghiulară se schimbă și suferă deplasări unghiulare Δθ.

Putem atribui vectori mărimilor din ecuația 10.1. Unghiul θ este un vector care iese din pagină în Figura 10.2. Vectorul de poziție unghiulară r și lungimea arcului s se află ambele în planul paginii. Acești trei vectori sunt legați între ei prin

(10.2)  s = θ × r.

Adică, lungimea arcului este produsul vectorial dintre vectorul unghi și vectorul de poziție, așa cum se arată în Figura 10.3.VectoriFigura 10.3 Punctele vectorului unghi de-a lungul axei z și vectorul de poziție și vectorul lungimea arcului se află ambele în planul xy. Vedem că s = θ × r . Toți cei trei vectori sunt perpendiculari unul pe celălalt.

Mărimea vitezei unghiulare, notată cu ω, este viteza de schimbare în timp a unghiului θ pe măsură ce particula se mișcă pe calea sa circulară. Viteza unghiulară instantanee este definită ca limita în care Δt→0 în viteza unghiulară medie ω–=ΔθΔt:

(10.3)  ω = limΔt→0Δθ/Δt = dθ/dt,

 

unde θ este unghiul de rotație (Figura 10.2). Unitățile de măsură ale vitezei unghiulare sunt radiani pe secundă (rad/s). Viteza unghiulară poate fi denumită și viteza de rotație în radiani pe secundă. În multe situații, ni se oferă viteza de rotație în rotații/s sau cicluri/s. Pentru a găsi viteza unghiulară, trebuie să înmulțim rotațiile/s cu 2π, deoarece există 2π radiani într-o revoluție completă. Deoarece direcția unui unghi pozitiv într-un cerc este în sens invers acelor de ceasornic, luăm rotațiile în sens invers acelor de ceasornic ca fiind pozitive și rotațiile în sensul acelor de ceasornic ca fiind negative.

Putem vedea cum este legată viteza unghiulară de viteza tangențială a particulei prin diferențierea ecuației 10.1 în raport cu timpul. Rescriem ecuația 10.1 ca

s = rθ.

Luând derivata în raport cu timpul și notând că raza r este o constantă, avem

ds/dt = d/dt(rθ) = θdr/dt+rdθ/dt = rdθ/dt

unde θdr/dt = 0. Aici ds/dt este doar viteza tangențială vt a particulei din Figura 10.2. Astfel, folosind ecuația 10.3, ajungem la

(10.4)  vt = rω.

 

Adică, viteza tangențială a particulei este viteza sa unghiulară înmulțită cu raza cercului. Din ecuația 10.4, vedem că viteza tangențială a particulei crește cu distanța sa față de axa de rotație pentru o viteză unghiulară constantă. Acest efect este prezentat în Figura 10.4. Două particule sunt plasate la raze diferite pe un disc rotativ cu o viteză unghiulară constantă. Pe măsură ce discul se rotește, viteza tangențială crește liniar cu raza de la axa de rotație. În Figura 10.4, vedem că v1 = r1ω1 și v2 = r2ω2. Dar discul are o viteză unghiulară constantă, deci ω1 = ω2. Aceasta înseamnă v1r1 = v2r2 sau v2 = (r2/r1)v1. Astfel, deoarece r2 > r1, v2 > v1.

Viteza unghiularăFigura 10.4 Două particule de pe un disc rotativ au viteze tangențiale diferite, în funcție de distanța lor față de axa de rotație.

Până acum, am discutat despre mărimea vitezei unghiulare ω = dθ/dt, care este o mărime scalară – schimbarea poziției unghiulare în raport cu timpul. Vectorul ω este vectorul asociat cu viteza unghiulară și punctele de-a lungul axei de rotație. Acest lucru este util deoarece atunci când un corp rigid se rotește, dorim să știm atât axa de rotație, cât și direcția în care corpul se rotește în jurul axei, în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. Viteza unghiulară ω ne oferă această informație. Viteza unghiulară ω are o direcție determinată de ceea ce se numește regula mâinii drepte. Regula mâinii drepte este astfel încât, dacă degetele mâinii drepte se înfășoară în sens invers acelor de ceasornic de la axa x (direcția în care crește θ) spre axa y, degetul mare este îndreptat în direcția axei z pozitive (Figura 10.5). O viteză unghiulară ω care indică de-a lungul axei z pozitive corespunde, prin urmare, unei rotații în sens invers acelor de ceasornic, în timp ce o viteză unghiulară ω care indică de-a lungul axei z negative corespunde unei rotații în sensul acelor de ceasornic.

Regula mâinii drepteFigura 10.5 Pentru rotația în sens invers acelor de ceasornic în sistemul de coordonate prezentat, viteza unghiulară indică în direcția z pozitivă după regula mâinii drepte.

Similar cu ecuația 10.2, se poate stabili o relație de produs vectorial cu vectorul vitezei tangențiale așa cum este menționat în ecuația 10.4. Prin urmare, avem

(10.5)  v = ω × r .

Adică, viteza tangențială este produsul încrucișat dintre viteza unghiulară și vectorul de poziție, așa cum se arată în Figura 10.6. Din partea (a) a acestei figuri, vedem că, cu viteza unghiulară în direcția z pozitivă, rotația în planul xy este în sens invers acelor de ceasornic. În partea (b), viteza unghiulară este în direcția z negativă, cu o rotație în sensul acelor de ceasornic în planul xy.

VectoriFigura 10.6 Vectorii prezentați sunt viteza unghiulară, poziția și viteza tangențială. (a) Viteza unghiulară indică în direcția z pozitivă, dând o rotație în sens invers acelor de ceasornic în planul xy. (b) Viteza unghiulară indică în direcția z negativă, dând o rotație în sensul acelor de ceasornic.

EXEMPLUL 10.1

Rotirea unui volant

Un volant se rotește astfel încât mătură un unghi cu o rată de θ = ωt = (45,0 rad/s)t radiani. Roata se rotește în sens invers acelor de ceasornic atunci când este vizualizată în planul paginii. (a) Care este viteza unghiulară a volantului? (b) În ce direcție este viteza unghiulară? (c) Cu câți radiani se rotește volantul în 30 s? (d) Care este viteza tangențială a unui punct de pe volant la 10 cm de axa de rotație?

Strategie

Forma funcțională a poziției unghiulare a volantului este dată în problemă ca θ(t) = ωt, deci luând derivata față de timp, putem găsi viteza unghiulară. Folosim regula mâinii drepte pentru a găsi viteza unghiulară. Pentru a găsi deplasarea unghiulară a volantului pe parcursul a 30 s, căutăm deplasarea unghiulară Δθ, unde modificarea poziției unghiulare este între 0 și 30 s. Pentru a afla viteza tangențială a unui punct aflat la distanță de axa de rotație, înmulțim distanța acestuia cu viteza unghiulară a volantului.

Soluţie

a. ω = dθ/dt = 45 rad/s. Vedem că viteza unghiulară este o constantă.

b. După regula mâinii drepte, îndoim degetele în direcția de rotație, care este în sens invers acelor de ceasornic în planul paginii, iar degetul mare indică în direcția vitezei unghiulare, care este în afara paginii.

c. Δθ = θ(30s) − θ(0s) = 45,0(30,0s) − 45,0(0s) = 1350,0 rad.

d. vt = rω = (0,1 m)(45,0 rad/s) = 4,5 m/s.

Semnificaţie

În 30 s, volantul s-a rotit printr-un număr destul de mare de rotații, aproximativ 215 dacă împărțim deplasarea unghiulară la 2π. Un volant masiv poate fi folosit pentru a stoca energie în acest fel, dacă pierderile datorate frecării sunt minime. Cercetări recente au luat în considerare rulmenții supraconductori pe care se sprijină volantul, cu pierderi de energie zero din cauza frecării.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), acces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $9,99$34,55 Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat $4,99 Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată.