Exemple și exerciții de echilibru static

O scară sprijinită de un zid

O scară uniformă are L = 5,0m lungime și cântărește 400,0 N. Scara se sprijină pe un perete vertical alunecos, așa cum se arată în Figura 12.14. Unghiul de înclinare dintre scară și podeaua rugoasă este β = 53°. Aflați forțele de reacție de la podea și de la peretele pe scară și coeficientul de frecare statică μ_s la interfața scării cu podeaua care împiedică alunecarea scării.

Figura 12.14 O scară de 5,0 m lungime se sprijină pe un perete fără frecare.

Strategie

Putem identifica patru forțe care acționează asupra scării. Prima forță este forța de reacție normală N de la podea în direcția verticală în sus. A doua forță este forța de frecare statică f = μ_sN direcționată orizontal de-a lungul podelei către perete – această forță împiedică alunecarea scării. Aceste două forțe acționează asupra scării în punctul ei de contact cu podeaua. A treia forță este greutatea w a scării, atașată la CM al ei situată la jumătatea distanței dintre capete. A patra forță este forța de reacție normală F de la perete în direcția orizontală departe de perete, atașată la punctul de contact cu peretele. Nu există alte forțe deoarece peretele este alunecos, ceea ce înseamnă că nu există frecare între perete și scară. Pe baza acestei analize, adoptăm cadrul de referință cu axa y pe direcția verticală (paralel cu peretele) și axa x pe direcția orizontală (paralel cu podeaua). În acest cadru, fiecare forță are fie o componentă orizontală, fie o componentă verticală, dar nu ambele, ceea ce simplifică soluția. Selectăm pivotul în punctul de contact cu podeaua. În diagrama cu corp liber pentru scară, indicăm pivotul, toate cele patru forțe și brațele lor de pârghie și unghiurile dintre brațele de pârghie și forțele, așa cum se arată în Figura 12.15. Odată cu alegerea noastră a locației pivotului, nu există niciun cuplu de la forța normală de reacție N sau de la frecarea statică f, deoarece ambele acționează la pivot.

Figura 12.15 Diagrama corpului liber pentru o scară sprijinită de un perete fără frecare.

Soluție

Din diagrama cu corp liber, forța netă în direcția x este

(12.28)   +f – F = 0

forța netă în direcția y este

(12.29)   +N – w = 0

iar cuplul net de-a lungul axei de rotație la punctul de pivotare este

(12.30)   τ_w + τ_F = 0.

unde τ_w este cuplul greutății w și τ_F este cuplul reacției F. Din diagrama cu corp liber, identificăm că brațul de pârghie al reacției la perete este r_F = L = 5,0 m iar brațul de pârghie al greutății este r_w = L/2 = 2,5 m. Cu ajutorul diagramei cu corp liber, identificăm unghiurile de utilizat în ecuația 12.10 pentru cupluri: θ_F = 180° −β pentru cuplul din forța de reacție cu peretele și θ_w = 180° + (90° − β) pentru cuplul datorat greutății. Acum suntem gata să folosim ecuația 12.10 pentru a calcula cuplurile:

τ_w = r_wwsinθ_w = r_wwsin(180° + 90° − β) = −L/2 wsin(90° − β) = −L/2 wcosβ

τ_F = r_FFsinθ_F = r_FFsin(180° − β) = LFsinβ.

Înlocuim cuplurile în ecuația 12.30 și rezolvăm pentru F:

(12.31)   −L/2 wcosβ + LFsinβ = 0

F = w/2 cotβ = 400,0N/2 cot53° = 150,7 N

Obținem forța de reacție normală cu podeaua rezolvând ecuația 12.29: N = w = 400,0 N. Mărimea frecării se obține prin rezolvarea ecuației 12.28: f = F = 150,7 N. Coeficientul de frecare statică este μ_s = f/N = 150,7/400,0 = 0,377.

Forța netă pe scară la punctul de contact cu podeaua este suma vectorială a reacției normale de la podea și a forțelor statice de frecare:

F⃗_floor = f⃗ + N⃗ = (150,7 N)(−iˆ) + (400,0 N)(+jˆ) = (−150,7iˆ + 400,0jˆ) N.

Mărimea sa este

F_floor = √(f² + N²) = √(150,7² + 400,0²) N = 427,4 N

iar direcția sa este

φ = tan⁻¹(N/f) = tan⁻¹(400,0/150,7) = 69,3°

deasupra podelei.

Ar trebui să subliniem aici două observații generale de utilizare practică. În primul rând, observați că atunci când alegem un punct de pivotare, nu există nicio așteptare ca sistemul să pivoteze efectiv în jurul punctului ales. Scara din acest exemplu nu se rotește deloc, ci stă ferm pe podea; cu toate acestea, punctul său de contact cu podeaua este o alegere bună pentru pivot. În al doilea rând, observați că atunci când folosim ecuația 12.10 pentru calcularea cuplurilor individuale, nu trebuie să rezolvăm forțele în componentele lor normale și paralele în raport cu direcția brațului de pârghie și nu trebuie să luăm în considerare un sens al cuplului. Atâta timp cât unghiul din ecuația 12.10 este identificat corect – cu ajutorul unei diagrame cu corp liber – ca unghi măsurat în sens invers acelor de ceasornic de la direcția brațului pârghiei la direcția vectorului forță, ecuația 12.10 oferă atât mărimea, cât și sensul cuplului. Acest lucru se datorează faptului că cuplul este produsul vectorial al vectorului pârghie-braț intersectat cu vectorul forță, iar ecuația 12.10 exprimă componenta dreptunghiulară a acestui produs vectorial de-a lungul axei de rotație.

Semnificație

Acest rezultat este independent de lungimea scării deoarece L este anulat în a doua condiție de echilibru, ecuația 12.31. Indiferent cât de lungă sau scurtă este scara, atâta timp cât greutatea acesteia este de 400 N și unghiul cu podeaua este de 53°, rezultatele noastre sunt valabile. Dar scara va aluneca dacă cuplul net devine negativ în ecuația 12.31. Acest lucru se întâmplă pentru unele unghiuri când coeficientul de frecare statică nu este suficient de mare pentru a preveni alunecarea scării.

Pentru situația descrisă în Exemplul 12.5, să se determine valorile coeficientului μ_s de frecare statică pentru care scara începe să alunece, având în vedere că β este unghiul pe care scara îl face cu podeaua.

Forțe asupra balamalelor ușii

O ușă batantă care cântărește w = 400,0 N și este susținută de balamalele A și B, astfel încât ușa să se poată balansa în jurul unei axe verticale care trece prin balamale, Figura 12.16. Ușa are o lățime de b = 1,00 m, iar placa ușii are o densitate de masă uniformă. Balamalele sunt amplasate simetric la marginea ușii, astfel încât greutatea ușii să fie distribuită uniform între ele. Balamalele sunt separate prin distanța a = 2,00 m. Găsiți forțele asupra balamalelor când ușa este întredeschisă.

Figura 12.16 O ușă verticală batantă 400 N este susținută de două balamale atașate în punctele A și B.

Strategie

Forțele pe care ușa le exercită asupra balamalelor sale pot fi găsite prin simpla inversare a direcțiilor forțelor pe care balamalele le exercită asupra ușii. Prin urmare, sarcina noastră este să găsim forțele din balamalele de pe ușă. Trei forțe acționează asupra plăcii ușii: o forță necunoscută A⃗ de la balamaua A, o forță necunoscută B⃗ de la balamaua B, și greutatea cunoscută w⃗ atașată la centrul de masă al plăcii ușii. CM este situat în centrul geometric al ușii deoarece placa are o densitate de masă uniformă. Adoptăm un cadru de referință dreptunghiular cu axa y de-a lungul direcției gravitației și axa x în planul plăcii, așa cum se arată în panoul (a) din figura 12.17, și rezolvăm toate forțele în componentele lor dreptunghiulare. În acest fel, avem patru forțe componente necunoscute: două componente ale forței A⃗ (A_x și A_y) și două componente ale forței B⃗ (B_x și B_y). În diagrama cu corp liber, reprezentăm cele două forțe la balamale prin componentele lor vectoriale, ale căror orientări presupuse sunt arbitrare. Deoarece există patru necunoscute (A_x, B_x, A_y și B_y), trebuie să stabilim patru ecuații independente. O ecuație este condiția de echilibru pentru forțele în direcția x. A doua ecuație este condiția de echilibru pentru forțele în direcția y. A treia ecuație este condiția de echilibru pentru cuplurile în rotație în jurul unei balamale. Deoarece greutatea este distribuită uniform între balamale, avem a patra ecuație, A_y = B_y. Pentru a stabili condițiile de echilibru, desenăm o diagramă cu corp liber și alegem punctul de pivot de la balamaua superioară, așa cum se arată în panoul (b) din Figura 12.17. În cele din urmă, rezolvăm ecuațiile pentru componentele forței necunoscute și găsim forțele.

Figura 12.17 (a) Geometria și (b) diagrama corpului liber pentru ușă.

Soluție

Din diagrama cu corp liber pentru ușă avem prima condiție de echilibru pentru forțe:

în direcția x: :−A_x + B_x = 0 ⇒ A_x = B_x

în direcția y:  + A_y + B_y – w = 0 ⇒ A_y = B_y = w/2 = 400,0N/2 = 200,0 N.

Selectăm pivotul în punctul P (balamaua superioară, conform diagramei cu corp liber) și scriem a doua condiție de echilibru pentru cuplurile în rotație în jurul punctului P:

(12.32)   pivot la P: τ_w + τ_Bx + τ_By = 0.

Folosim diagrama cu corp liber pentru a găsi toți termenii din această ecuație:

τ_w = dwsin(−β) = −dwsinβ = −dw b/2d = −w b/2

τ_Bx = aB_xsin90° = +aB_x

τB_y = aB_ysin180° = 0

În evaluarea lui sinβ, folosim geometria triunghiului prezentat în partea (a) a figurii. Acum înlocuim aceste cupluri în ecuația 12.32 și calculăm Bx:

pivot la P: −w b/2 + aBx = 0 ⇒ Bx = w b/2a = (400,0 N)1/(2⋅2) = 100,0 N.

Prin urmare, mărimile forțelor componente orizontale sunt A_x = B_x = 100,0N. Forțele pe ușă sunt

la balamaua superioară: F⃗_{A pe ușă} = −100,0Niˆ + 200,0Njˆ

la balamaua inferioară: F⃗_{B pe ușă} = +100,0Niˆ + 200.0Njˆ.

Forțele pe balamale se găsesc din a treia lege a lui Newton ca

pe balamaua superioară: F⃗_{A pe ușă} = 100,0Niˆ − 200,0Njˆ

pe balamaua inferioară: F⃗_{B pe ușă} = −100.0Niˆ − 200.0Njˆ.

Semnificație

Rețineți că dacă problema ar fi formulată fără ipoteza că greutatea este distribuită egal între cele două balamale, nu am fi capabili să o rezolvăm, deoarece numărul necunoscutelor ar fi mai mare decât numărul de ecuații care exprimă condițiile de echilibru.

Rezolvați problema din Exemplul 12.6 luând poziția pivotului în centrul de masă.

O persoană de 50 kg stă la 1,5 m distanță de un capăt al unei schele uniforme de 6,0 m lungime, cu o masă de 70,0 kg. Găsiți tensiunile în cele două frânghii verticale care susțin schela.

Un semn 400,0-N atârnă de capătul unui stâlp uniforme. Stâlpul este de 4,0 m lungime și cântărește 600,0 N. Stâlpul este susținut de o balama la perete și de un cablu al cărui celălalt capăt este legat de perete într-un punct situat la 3,0 m deasupra capătului stâng al barei. Găsiți tensiunea în cablul de susținere și forța balamalei pe bară.