Mișcarea proiectilului – Rezolvarea problemelor

Mișcarea proiectilelor

1.       Rezolvați mișcarea în componente orizontale și verticale de-a lungul axelor x și y. Mărimile componentelor deplasării s⃗ de-a lungul acestor axe sunt x și y. Mărimile componentelor vitezei v⃗ sunt v_x = vcosθ și v_y = vsinθ, unde v este mărimea vitezei și θ este direcția acesteia față de orizontală, așa cum se arată în Figura 4.12.

2.       Tratați mișcarea ca două mișcări unidimensionale independente: una orizontală și cealaltă verticală. Utilizați ecuațiile cinematice pentru mișcarea orizontală și verticală prezentate mai devreme.

3.       Rezolvați necunoscutele în cele două mișcări separate: una orizontală și una verticală. Rețineți că singura variabilă comună între mișcări este timpul t. Procedurile de rezolvare a problemelor de aici sunt aceleași cu cele pentru cinematica unidimensională și sunt ilustrate în următoarele exemple rezolvate.

4.       Recombinați mărimile în direcțiile orizontale și verticale pentru a găsi deplasarea totală s⃗ și viteza v⃗. Rezolvați mărimea și direcția deplasării și vitezei folosind

s = √(x²+y²), Φ = tan−1(y/x), v = √(v²_x + v²_y),

unde Φ este direcția deplasării s⃗.

Un proiectil de artificii explodează sus și departe

În timpul unui foc de artificii, un mănunchi de artificii este împușcat în aer cu o viteză inițială de 70,0 m/s la un unghi de 75,0° deasupra orizontalei, așa cum este ilustrat în Figura 4.13. Siguranța este setată pentru a aprinde mănunchiul exact când atinge punctul cel mai înalt deasupra solului. (a) Calculați înălțimea la care mănunchiul explodează. (b) Cât timp trece între lansarea obuzului și explozie? (c) Care este deplasarea orizontală a mănunchiului atunci când explodează? (d) Care este deplasarea totală de la punctul de lansare până la punctul cel mai înalt?

Figura 4.13 Traiectoria unui mănunchi de artificii. Siguranța este setată să explodeze carcasa în cel mai înalt punct al traiectoriei sale, care se află la o înălțime de 233 m și la 125 m pe orizontală.

Strategie

Mișcarea poate fi împărțită în mișcări orizontale și verticale în care a_x = 0 și a_y = −g. Putem apoi seta astfel încât x₀ și y₀ să fie zero și să rezolvăm cantitățile dorite.

Soluție

(a) Prin „înălțime” înțelegem altitudinea sau poziția verticală y deasupra punctului de plecare. Cel mai înalt punct din orice traiectorie, numit apex, este atins când v_y = 0. Deoarece cunoaștem vitezele inițiale și finale, precum și poziția inițială, folosim următoarea ecuație pentru a găsi y:

v²_y = v²0y − 2g(y − y₀).

Deoarece y₀ și v_y sunt ambele zero, ecuația se simplifică la

0 = v²_0y − 2gy.

Rezolvarea pentru y dă

y = v²_0y/2g.

Acum trebuie să găsim v_0y, componenta vitezei inițiale în direcția y. Este dat de v_0y = v₀sinθ₀, unde v₀ este viteza inițială de 70,0 m/s și θ₀ = 75° este unghiul inițial. Prin urmare,

v_0y = v₀sinθ = (70,0 m/s)sin75° = 67,6 m/s

iar y este

y = (67,6 m/s)²/2(9,80 m/s²).

Astfel, avem

y = 233 m.

Rețineți că, deoarece în sus este pozitivă, viteza verticală inițială este pozitivă, la fel ca înălțimea maximă, dar accelerația rezultată din gravitație este negativă. De asemenea, rețineți că înălțimea maximă depinde doar de componenta verticală a vitezei inițiale, astfel încât orice proiectil cu o componentă verticală inițială a vitezei de 67,6 m/s atinge o înălțime maximă de 233 m (neglijând rezistența aerului). Cifrele din acest exemplu sunt rezonabile pentru artificii mari, ale căror mănunchiuri ajung la asemenea înălțimi înainte de a exploda. În practică, rezistența aerului nu este complet neglijabilă, astfel încât viteza inițială ar trebui să fie ceva mai mare decât cea dată pentru a ajunge la aceeași înălțime.

(b) La fel ca în multe probleme de fizică, există mai multe moduri de a rezolva pentru timpul în care proiectilul atinge punctul cel mai înalt. În acest caz, cea mai ușoară metodă este să folosiți v_y = v_0y − gt. Deoarece v_y = 0 la vârf, această ecuație se reduce la simplu

0 = v_0y − gt

sau

t = v_0y/g = 67,6 m/s/9,80 m/s² = 6,90 s.

Acest timp este, de asemenea, rezonabil pentru artificii mari. Dacă puteți vedea lansarea artificiilor, observați că trec câteva secunde înainte ca mănunchiul să explodeze. O altă modalitate de a găsi timpul este folosind y = y₀ + ½ (v_0y + v_y)t. Acesta vă este lăsat ca un exercițiu de finalizat.

(c) Deoarece rezistența aerului este neglijabilă, a_x = 0 și viteza orizontală este constantă, așa cum s-a discutat mai devreme. Deplasarea orizontală este viteza orizontală înmulțită cu timpul dat de x = x₀ + v_xt, unde x₀ este egal cu zero. Prin urmare,

x = v_xt,

unde v_x este componenta x a vitezei, care este dată de

v_x = v₀cosθ =(70,0 m/s)cos75° = 18,1 m/s.

Timpul t pentru ambele mișcări este același, deci x este

x = (18,1 m/s)6,90 s = 125 m.

Mișcarea orizontală este o viteză constantă în absența rezistenței aerului. Deplasarea orizontală găsită aici ar putea fi utilă pentru a împiedica fragmentele de artificii să cadă asupra spectatorilor. Când obuzul explodează, rezistența aerului are un efect major și multe fragmente aterizează direct dedesubt.

(d) Componentele orizontale și verticale ale deplasării tocmai au fost calculate, așa că tot ce este necesar aici este să găsiți mărimea și direcția deplasării în punctul cel mai înalt:

s⃗ = 125iˆ + 233jˆ

|s⃗| = √(125² + 233²) = 264 m

Φ = tan⁻¹(233/125) = 61,8°.

Rețineți că unghiul pentru vectorul deplasare este mai mic decât unghiul inițial de lansare. Pentru a vedea de ce se întâmplă acest lucru, consultați Figura 4.11, care arată curbura traiectoriei către nivelul solului.

O piatră este aruncată orizontal de pe o stâncă de 100,0 m înălțime cu o viteză de 15,0 m/s. (a) Definiți originea sistemului de coordonate. (b) Care ecuație descrie mișcarea orizontală? (c) Ce ecuații descriu mișcarea verticală? (d) Care este viteza pietrei în punctul de impact?

Calcularea mișcării proiectilului: jucătorul de tenis

Un jucător de tenis câștigă un meci pe stadionul Arthur Ashe și lovește o minge în tribune la 30 m/s și la un unghi de 45° deasupra orizontalei (Figura 4.14). În coborâre, mingea este prinsă de un spectator la 10 m deasupra punctului în care mingea a fost lovită. (a) Calculați timpul necesar mingii de tenis pentru a ajunge la spectator. (b) Care sunt mărimea și direcția vitezei mingii la impact?

Figura 4.14 Traiectoria unei mingi de tenis lovită în tribune.

Strategie

Din nou, rezolvarea acestei mișcări bidimensionale în două mișcări unidimensionale independente ne permite să rezolvăm cantitățile dorite. Timpul în care un proiectil este în aer este guvernat doar de mișcarea lui verticală. Astfel, rezolvăm mai întâi pentru t. În timp ce mingea se ridică și coboară pe verticală, mișcarea orizontală continuă cu o viteză constantă. Acest exemplu solicită viteza finală. Astfel, recombinăm rezultatele verticale și orizontale pentru a obține v⃗ la momentul final t, determinat în prima parte a exemplului.

Soluție

(a) În timp ce mingea se află în aer, aceasta se ridică și apoi coboară până la o poziție finală cu 10,0 m mai sus decât altitudinea de pornire. Putem găsi timpul pentru aceasta folosind ecuația 4.22:

y = y₀ + v₀yt – ½ gt².

Dacă luăm poziția inițială y₀ ca fiind zero, atunci poziția finală este y = 10 m. Viteza verticală inițială este componenta verticală a vitezei inițiale:

v_0y = v₀sinθ0 = (30,0 m/s)sin45° = 21,2 m/s.

Înlocuind în ecuația 4.22 cu y, ne dă

10,0 m = (21,2 m/s)t − (4,90 m/s²)t².

Rearanjarea termenilor dă o ecuație pătratică în t:

(4,90 m/s²)t² − (21,2 m/s)t + 10,0 m = 0.

Utilizarea formulei pătratice dă t = 3,79 s și t = 0,54 s. Deoarece mingea se află la o înălțime de 10 m de două ori pe parcursul traiectoriei sale — o dată la urcare și o dată la coborâre — luăm soluția mai lungă pentru timpul necesar mingii pentru a ajunge la spectator:

t = 3,79 s.

Timpul pentru mișcarea proiectilului este determinat complet de mișcarea verticală. Astfel, orice proiectil care are o viteză verticală inițială de 21,2 m/s și aterizează la 10,0 m deasupra altitudinii de pornire petrece 3,79 s în aer.

(b) Putem găsi vitezele finale orizontale și verticale v_x și v_y folosind rezultatul de la (a). Apoi, le putem combina pentru a găsi mărimea vectorului viteză totală v⃗ și unghiul θ pe care îl formează cu orizontala. Deoarece v_x este constantă, putem rezolva în orice locație orizontală. Alegem punctul de plecare deoarece cunoaștem atât viteza inițială, cât și unghiul inițial. Prin urmare,

v_x = v₀cosθ₀ = (30 m/s)cos45° = 21,2 m/s.

Viteza verticală finală este dată de ecuația 4.21:

v_y = v₀y − gt.

Deoarece v_0y a fost găsit în partea (a) ca fiind 21,2 m/s, avem

v_y = 21,2 m/s − 9,8m/s²(3,79 s) = −15,9 m/s.

Mărimea vitezei finale v⃗ este

v = √(v²_x + v²_y) = √((21,2m/s)² + (−15,9m/s)² = 26,5 m/s.

Direcția θ_v se găsește folosind tangenta inversă:

θ_v = tan⁻¹(v_y/v_x) = tan⁻¹(−15.9/21.2) = 36.9° sub orizont.

Semnificație

(a) După cum am menționat mai devreme, timpul pentru mișcarea proiectilului este determinat complet de mișcarea verticală. Astfel, orice proiectil care are o viteză verticală inițială de 21,2 m/s și aterizează la 10,0 m deasupra altitudinii de pornire petrece 3,79 s în aer. (b) Unghiul negativ înseamnă că viteza este cu 36,9° sub orizontală în punctul de impact. Acest rezultat este în concordanță cu faptul că mingea ajunge la impact într-un punct de cealaltă parte a vârfului traiectoriei și, prin urmare, are o componentă y negativă a vitezei. Mărimea vitezei este mai mică decât mărimea vitezei inițiale pe care o așteptăm, deoarece ajunge la impact cu 10,0 m deasupra cotei de lansare.