Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Mecanica » Forțe conservative și forțe neconservative

Forțe conservative și forțe neconservative

postat în: Mecanica 0

În Energia potențială și conservarea energiei, orice tranziție între energia cinetică și energia potențială a conservat energia totală a sistemului. Aceasta a fost independentă de cale, ceea ce înseamnă că putem porni și opri în oricare două puncte ale problemei, iar energia totală a sistemului — cinetică plus potențialul — în aceste puncte sunt egale între ele. Aceasta este caracteristica unei forțe conservative. Ne-am ocupat de forțele conservatoare în secțiunea precedentă, cum ar fi forța gravitațională și forța arcului. Când comparăm mișcarea mingii de fotbal din Figura 8.2, energia totală a sistemului nu se modifică niciodată, chiar dacă energia potențială gravitațională a mingii crește, pe măsură ce mingea se ridică față de sol și scade înapoi la energia potențială gravitațională inițială atunci când fotbalistul prinde mingea. Forțele neconservative sunt forțe disipative, cum ar fi frecarea sau rezistența aerului. Aceste forțe iau energie din sistem pe măsură ce sistemul progresează, energie care nu se poate recupera. Aceste forțe sunt dependente de cale; de aceea contează unde începe și unde se oprește obiectul.

FORȚA CONSERVATIVĂ

Lucrul mecanic efectuat de o forță conservativă este independentă de cale; cu alte cuvinte, lucrul mecanic efectuat de o forță conservativă este aceeași pentru orice cale care conectează două puncte:

(8.8)   WAB,calea-1 = ∫AB,calea-1Fcons⋅dr = WAB,calea-2 = ∫AB,calea-2Fcons⋅dr.

Lucrul mecanic efectuat de o forță neconservativă depinde de calea urmată.

În mod echivalent, o forță este conservativă dacă lucrul mecanic pe care îl face în jurul oricărei căi închise este zero:

(8.9)   Wcale închisă = ∮Fcons⋅dr = 0.

 

[În ecuația 8.9, folosim notația unui cerc în mijlocul semnului integralei pentru o integrală de linie pe un drum închis, o notație care se găsește în majoritatea textelor de fizică și inginerie.] Ecuația 8.8 și ecuația 8.9 sunt echivalente deoarece orice cale închisă este suma a două căi: prima care merge de la A la B și a doua care merge de la B la A. Lucrul mecanic efectuat mergând pe o cale de la B la A este negativul lucrului mecanic efectuat mergând pe aceeași cale de la A la B, unde A și B sunt oricare două puncte pe calea închisă:

0 = ∫F⃗cons⋅dr⃗ = ∫AB,calea-1F⃗cons⋅dr⃗ + ∫BA,calea-2F⃗cons⋅dr⃗ = ∫AB,calea-1F⃗cons⋅dr⃗ − ∫AB, calea-2F⃗cons⋅dr⃗ = 0

S-ar putea să întrebați cum demonstrăm dacă o forță este conservativă sau nu, deoarece definițiile implică toate căile de la A la B sau toate căile închise, dar pentru a face integrala pentru lucrul mecanic, trebuie să alegeți o cale anume. Un răspuns este că lucrul mecanic efectuat este independent de cale dacă lucrul mecanic infinitezimal F⋅dr este o diferențială exactă, așa cum lucrul mecanic net infinitezimal a fost egal cu diferențiala exactă a energiei cinetice,

dWnet = mv⃗⋅dv⃗ = d½ mv2,

când am derivat teorema de energie-lucru mecanic în Teorema energie-lucru mecanic. Există condiții matematice pe care le puteți utiliza pentru a testa dacă lucrul mecanic infinitezimal efectuat de o forță este o diferențială exactă, iar forța este conservativă. Aceste condiții implică doar diferențiere și, prin urmare, sunt relativ ușor de aplicat. În două dimensiuni, condiția ca F⃗ ⋅dr⃗ = Fxdx + Fydy să fie o diferențială exactă este

(8.10)   dFx/dy = dFy/dx.

 

Vă puteți aminti că lucrul mecanic efectuat de forța din Exemplul 7.4 depindea de cale. Pentru acea forță,

Fx = (5 N/m)y și Fy = (10 N/m)x.

Prin urmare,

(dFx/dy) = 5 N/m ≠ (dFy/dx) = 10 N/m,

ceea ce arată că este o forță neconservativă. Puteți vedea ce ați putea schimba pentru a deveni o forță conservativă?

PolizorFigura 8.6 O roată de polizor aplică o forță neconservativă, deoarece lucrul mecanic efectuat depinde de câte rotații face roata, deci este dependent de cale. (Credit: Pixabay)

EXEMPLUL 8.5

Conservative sau nu?

Care dintre următoarele forțe bidimensionale sunt conservatoare și care nu? Să presupunem că a și b sunt constante cu unități adecvate:

(a) axy3 + ayx3, (b) a[(y2/x) + 2yln(x/b)], (c) (ax + ayjˆ)/(x2 + y2)

Strategie

Aplicați condiția enunțată în ecuația 8.10, și anume, folosind derivatele componentelor fiecărei forțe indicate. Dacă derivata componentei y a forței în raport cu x este egală cu derivata componentei x a forței în raport cu y, forța este o forță conservativă, ceea ce înseamnă calea urmată pentru energia potențială sau calculele pentru lucrul mecanic dau întotdeauna aceleași rezultate.

Soluție

a. dFx/dy = d(axy3)/dy = 3axy2 și dFy/dx = d(ayx3)/dx = 3ayx2, deci această forță este neconservativă.

b. dFx/dy = d(ay2/x)/dy = 2ay/x și dFy/dx = d(2ayln(x/b))/dx = 2ay/x, deci această forță este conservativă.

c. dFx/dy = d(ax/(x2 + y2))/dy = −ax(2y)/(x2 + y2)2 = dFy/dx = d(ay/(x2 + y2))/dx, din nou conservativă.

Semnificație

Condițiile din ecuația 8.10 sunt derivate ca funcții ale unei singure variabile; în trei dimensiuni, există condiții similare care implică mai multe derivate.

 

EXERCIȚIUL 8.5

O forță conservativă bidimensională este zero pe axele x și y și îndeplinește condiția (dFx/dy) = (dFy/dx) = (4 N/m3)xy. Care este mărimea forței în punctul x = y = 1 m?

 

Înainte de a părăsi această secțiune, observăm că forțele neconservative nu au energie potențială asociată cu ele, deoarece energia este pierdută în sistem și nu poate fi transformată în lucru mecanic util mai târziu. Deci, există întotdeauna o forță conservativă asociată cu fiecare energie potențială. Am văzut că energia potențială este definită în raport cu lucrul mecanic efectuat de forțele conservative. Acea relație, Ecuația 8.1, a implicat o integrală pentru lucru mecanic; începând cu forța și deplasarea, ați integrat pentru a obține lucrul mecanic și schimbarea energiei potențiale. Cu toate acestea, integrarea este operația inversă a diferențierii; ați fi putut la fel de bine să începeți cu energia potențială și să luați derivata ei, în ceea ce privește deplasarea, pentru a obține forța. Creșterea infinitezimală a energiei potențiale este produsul scalar al forței și deplasarea infinitezimală,

dU = −F⋅dl = −Fldl.

Aici, am ales să reprezentăm deplasarea într-o direcție arbitrară prin dl, pentru a nu fi restricționați la o anumită direcție de coordonate. De asemenea, am exprimat produsul scalar în ceea ce privește mărimea deplasării infinitezimale și componenta forței în direcția acesteia. Ambele aceste cantități sunt scalare, așa că puteți împărți cu dl pentru a obține

(8.11)   Fl = −dU/dl.

 

Această ecuație oferă relația dintre forță și energia potențială asociată cu aceasta. Cu cuvinte, componenta unei forțe conservativă, într-o anumită direcție, este egală cu negativul derivatei energiei potențiale corespunzătoare, în raport cu o deplasare în acea direcție. Pentru mișcarea unidimensională, să spunem de-a lungul axei x, ecuația 8.11 dă întreaga forță vectorială, F = Fx = −∂U/∂x .

În două dimensiuni,

F = Fx + Fy = −(∂U/∂x) − (∂U/∂y).

Din această ecuație, puteți vedea de ce ecuația 8.11 este condiția ca lucrul mecanic să fie o diferențială exactă, în ceea ce privește derivatele componentelor forței. În general, se utilizează o notație derivată parțială. Dacă o funcție are multe variabile în ea, derivata este luată numai din variabila pe care o specifică derivata parțială. Celelalte variabile sunt menținute constante. În trei dimensiuni, adăugați un alt termen pentru componenta z și rezultatul este că forța este negativul gradientului de energie potențială. Cu toate acestea, nu ne vom uita încă la exemple tridimensionale.

EXEMPLUL 8.6

Forța datorată unei energii potențiale cuartice

Energia potențială pentru o particulă aflată în mișcare unidimensională de-a lungul axei x este

U(x) = ¼ cx4,

unde c = 8 N/m3. Energia sa totală la x = 0 este 2 J și nu este supusă niciunei forțe neconservative. Găsiți (a) pozițiile în care energia sa cinetică este zero și (b) forțele în acele poziții.

Strategie

(a) Putem găsi pozițiile în care K = 0, deci energia potențială este egală cu energia totală a sistemului dat. (b) Folosind ecuația 8.11, putem găsi forța evaluată la pozițiile găsite din partea anterioară, deoarece energia mecanică este conservată.

Soluție

a. Energia totală a sistemului de 2 J este egală cu energia elastică cuartică dată în problemă,

2 J = ¼ (8 N/m3)xf4.

Rezolvarea pentru xf are ca rezultat xf = ±1 m.

b. Din ecuația 8.11,

Fx = −dU/dx = −cx3.

Astfel, evaluând forța la ±1 m, obținem

F = −(8 N/m3)(±1 m)3iˆ = ±8Niˆ.

În ambele poziții, mărimea forțelor este de 8 N și direcțiile sunt către origine, deoarece aceasta este energia potențială pentru o forță de restabilire.

Semnificație

Găsirea forței din energia potențială este matematic mai ușoară decât găsirea energiei potențiale din forță, deoarece diferențierea unei funcții este în general mai ușoară decât integrarea uneia.

 

EXERCIȚIUL 8.6

Găsiți forțele asupra particulei din Exemplul 8.6 când energia sa cinetică este de 1,0 J la x = 0.

 

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat 45.45 lei157.20 lei Selectează opțiunile
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

Un compendiu care se dorește a fi exhaustiv pentru domeniul fizicii, cu accent pe explicarea fenomenelor și aplicațiilor practice. O carte pentru studiul personal, concisă și ușor de citit, care clarifică aceste teorii ale fizicii, cel mai important domeniu al … Citeşte mai mult

Nu a fost votat 45.45 lei157.20 lei Selectează opțiunile
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O privire de ansamblu asupra mecanicii clasice, care intenționează să ofere o acoperire a principiilor și tehnicilor fundamentale, un domeniu vechi dar care se află la baza întregii fizicii, și care în ultimii ani a cunoscut o dezvoltare rapidă. Se … Citeşte mai mult

Nu a fost votat 22.70 lei Selectează opțiunile

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

%d blogeri au apreciat: