Momentul unghiular al unui sistem de particule

Momentul unghiular al unui sistem de particule este important în multe discipline științifice, una fiind astronomia. Luați în considerare o galaxie spirală, o insulă rotativă de stele precum propria noastră Cale Lactee. Stelele individuale pot fi tratate ca particule punctiforme, fiecare dintre ele având propriul moment unghiular. Suma vectorială a momentelor unghiulare individuale dă momentul unghiular total al galaxiei. În această secțiune, dezvoltăm instrumentele cu care putem calcula momentul unghiular total al unui sistem de particule.

În secțiunea precedentă, am introdus momentul unghiular al unei singure particule cu o origine desemnată. Expresia pentru acest moment unghiular este l⃗ = r⃗ × p⃗ , unde vectorul r⃗ este de la origine la particulă, iar p⃗ este momentul liniar al particulei. Dacă avem un sistem de N particule, fiecare cu vector de poziție de la origine dat de r⃗_i și fiecare având moment p⃗_i, atunci momentul unghiular total al sistemului de particule în jurul originii este suma vectorială a momentului unghiular individual despre originea. Acesta este,

(11.7)   L⃗ = l⃗1 + l⃗2 + ⋯ + l⃗N.

 

În mod similar, dacă particula i este supusă unui cuplu net τ⃗_i în jurul originii, atunci putem găsi cuplul net în jurul originii datorat sistemului de particule prin diferențierea ecuației 11.7:

dL⃗/dt = ∑_idl⃗_i/dt = ∑_iτ⃗_i.

Suma cuplurilor individuale produce un cuplu extern net pe sistem, pe care îl desemnăm ∑τ⃗ . Prin urmare,

(11.8)   dL⃗/dt = ∑τ⃗ .

 

Ecuația 11.8 afirmă că rata de modificare a momentului unghiular total al unui sistem este egală cu cuplul net extern care acționează asupra sistemului atunci când ambele mărimi sunt măsurate în raport cu o anumită origine. Ecuația 11.8 poate fi aplicată oricărui sistem care are moment unghiular net, inclusiv corpuri rigide, așa cum se discută în secțiunea următoare.

EXEMPLUL 11.5 Momentul unghiular a trei particule Referindu-ne la Figura 11.11, (a) determinați momentul unghiular total datorat celor trei particule în jurul originii. (b) Care este viteza de modificare a momentului unghiular? Figura 11.11 Trei particule în planul xy cu vectori de poziție și moment diferite. Strategie Scrieți vectorii poziție și impuls pentru cele trei particule. Calculați momentele unghiulare individuale și adăugați-le ca vectori pentru a afla momentul unghiular total. Apoi faceți același lucru pentru cupluri. Soluție a. Particula 1: r⃗1 = −2,0 m iˆ + 1,0 m jˆ, p⃗1 = 2,0 kg(4,0 m/s jˆ) = 8,0 kg⋅m/s jˆ, l⃗1 = r⃗1 × p⃗1 = −16,0 kg⋅m2/s kˆ. Particula 2: r⃗2 = 4,0 m iˆ + 1,0 m jˆ, p⃗2 = 4,0 kg(5,0 m/s iˆ) = 20,0 kg⋅m/s iˆ, l⃗2 = r⃗2 × p⃗2 = −20,0 kg⋅m2/s kˆ. Particula 3: r⃗3 = 2,0 m iˆ − 2,0 m jˆ, p⃗3 = 1,0 kg(3,0 m/s iˆ) = 3,0 kg⋅m/s iˆ, l⃗3 = r⃗3 × p⃗3 = 6,0 kg⋅m2/s kˆ. Adăugăm momentele unghiulare individuale pentru a găsi totalul în origine: l⃗T = l⃗1 + l⃗2 + l⃗3 = −30 kg⋅m2/s kˆ. b. Forțele individuale și brațele de pârghie sunt r⃗1⊥ = 1,0 m jˆ, F⃗1 = −6,0 N iˆ, τ⃗1 = 6,0 N⋅m kˆ r⃗2⊥ = 4,0 m iˆ, F⃗2 = 10,0 N jˆ, τ⃗2 = 40,0 N⋅m kˆ r⃗3⊥ = 2,0 m iˆ, F⃗3 = -8,0 N jˆ, τ⃗3 = 16,0 N⋅m kˆ. Prin urmare: ∑iτ⃗i = τ⃗1 + τ⃗2 + τ⃗3 = 30 N⋅m kˆ. Semnificație Acest exemplu ilustrează principiul suprapunerii pentru momentul unghiular și cuplul unui sistem de particule. Trebuie avut grijă atunci când se evaluează vectorii de rază r⃗i ai particulelor pentru a calcula momentele unghiulare, iar brațele de pârghie, r⃗i⊥ pentru a calcula cuplurile, deoarece acestea sunt cantități complet diferite.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2023 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1