Am investigat momentul unghiular al unei singure particule, pe care l-am generalizat la un sistem de particule. Acum putem folosi principiile discutate în secțiunea anterioară pentru a dezvolta conceptul de moment unghiular al unui corp rigid. Obiectele cerești, cum ar fi planetele, au moment unghiular datorită rotației lor și orbitelor în jurul stelelor. În inginerie, orice se rotește în jurul unei axe poartă moment unghiular, cum ar fi volantele, elicele și piesele rotative ale motoarelor. Cunoașterea momentului unghiular al acestor obiecte este crucială pentru proiectarea sistemului din care fac parte.
Pentru a dezvolta momentul unghiular al unui corp rigid, modelăm un corp rigid ca fiind alcătuit din segmente mici de masă, Δmi. În figura 11.12, un corp rigid este constrâns să se rotească în jurul axei z cu viteza unghiulară ω. Toate segmentele de masă care alcătuiesc corpul rigid suferă o mișcare circulară în jurul axei z cu aceeași viteză unghiulară. Partea (a) a figurii prezintă segmentul de masă Δmi cu vectorul de poziție r⃗i de la origine și raza Ri până la axa z. Mărimea vitezei sale tangențiale este vi = Riω. Deoarece vectorii v⃗i și r⃗i sunt perpendiculari unul pe celălalt, mărimea momentului unghiular al acestui segment de masă este
li = ri(Δmvi)sin90°.
Figura 11.12 (a) Un corp rigid este constrâns să se rotească în jurul axei z. Corpul rigid este simetric față de axa z. Un segment de masă Δmi este situat în poziția r⃗i, care face unghiul θi față de axa z. Este prezentată mișcarea circulară a unui segment de masă infinitezimal. (b) l⃗i este momentul unghiular al segmentului de masă și are o componentă de-a lungul axei z (l⃗i)z.
Folosind regula mâinii drepte, vectorul moment unghiular indică în direcția prezentată în partea (b). Suma momentelor unghiulare ale tuturor segmentelor de masă conține componente atât de-a lungul cât și perpendiculare pe axa de rotație. Fiecare segment de masă are o componentă perpendiculară a momentului unghiular care va fi anulată de componenta perpendiculară a unui segment de masă identic de pe partea opusă a corpului rigid, deoarece este simetric cilindric. Astfel, componenta de-a lungul axei de rotație este singura componentă care dă o valoare diferită de zero atunci când este însumată pe toate segmentele de masă. Din partea (b), componenta lui l⃗i de-a lungul axei de rotație este
(li)z = lisinθi = (riΔmivi)sinθi = (risinθi)(Δmivi) = RiΔmivi.
Momentul unghiular net al corpului rigid de-a lungul axei de rotație este
L = ∑i(l⃗i)z = ∑iRiΔmivi = ∑iRiΔmi(Riω) = ω∑iΔmi(Ri)2.
Însumarea ∑iΔmi(Ri)2 este pur și simplu momentul de inerție I al corpului rigid în jurul axei de rotație. Pentru un cerc subțire care se rotește în jurul unei axe perpendiculare pe planul cercului, toate Ri-urile sunt egale cu R, astfel încât suma se reduce la R2∑iΔmi = mR2, care este momentul de inerție pentru un cerc subțire găsit în Figura 10.20. Astfel, mărimea momentului unghiular de-a lungul axei de rotație a unui corp rigid care se rotește cu viteza unghiulară ω în jurul axei este
| (11.9) L = Iω. |
Această ecuație este analogă cu mărimea momentului liniar p = mv. Direcția vectorului moment unghiular este direcționată de-a lungul axei de rotație dată de regula mâinii drepte.
| EXEMPLUL 11.6
Momentul unghiular al unui braț robot Un braț robot de pe un rover pe Marte precum Curiosity prezentat în Figura 11.8 are 1,0 m lungime și are forceps la capătul liber pentru a ridica pietre. Masa brațului este de 2,0 kg și masa forcepsului este de 1,0 kg. Vezi Figura 11.13. Brațul robotului și forcepsul se deplasează din repaus la ω = 0,1 πrad/s în 0,1 s. Se rotește în jos și ridică o rocă de pe Marte care are o masă de 1,5 kg. Axa de rotație este punctul în care brațul robotului se conectează la rover. (a) Care este momentul unghiular al brațului robotului singur în jurul axei de rotație după 0,1 s când brațul a încetat să accelereze? (b) Care este momentul unghiular al brațului robotului când are roca lui Marte în forceps și se rotește în sus? (c) Când brațul nu are o piatră în forceps, care este cuplul în jurul punctului în care brațul se conectează la rover atunci când accelerează de la repaus până la viteza sa unghiulară finală?
Figura 11.13 Un braț robot de pe un rover de pe Marte se balansează în jos și ridică o rocă de pe Marte. (credit: modificarea lucrării de către NASA/JPL-Caltech) Strategie Folosim ecuația 11.9 pentru a găsi momentul unghiular în diferitele configurații. Când brațul se rotește în jos, regula mâinii drepte oferă vectorul moment unghiular direcționat în afara paginii, pe care îl vom numi direcția z pozitivă. Când brațul se rotește în sus, regula mâinii drepte indică direcția vectorului moment unghiular în pagină sau în direcția z negativă. Momentul de inerție este suma momentelor individuale de inerție. Brațul poate fi aproximat cu o tijă solidă, iar forcepsul și roca de Marte pot fi aproximate ca mase punctuale situate la o distanță de 1 m de origine. Pentru partea (c), folosim a doua lege a mișcării lui Newton pentru rotație pentru a găsi cuplul pe brațul robotului. Soluție a. Notând momentele individuale de inerție, avem Braț robot: IR = 1/3 mRr2 = 1/3 (2,00 kg)(1,00 m)2 = 2/3 kg⋅m2. Forceps: IF = mFr2 = (1,0 kg)(1,0 m)2 = 1,0 kg⋅m2. Roca de pe Marte: IMR = mMRr2 = (1,5 kg)(1,0 m)2 = 1,5 kg⋅m2. Prin urmare, fără roca de pe Marte, momentul total de inerție este ITotal = IR + IF = 1,67 kg⋅m2 iar mărimea momentului unghiular este L = Iω = 1,67 kg⋅m2(0,1 πrad/s) = 0,17π kg⋅m2/s. Vectorul moment unghiular este îndreptat în afara paginii în direcția kˆ, deoarece brațul robotului se rotește în sens invers acelor de ceasornic. b. Trebuie să includem roca de pe Marte în calculul momentului de inerție, așa că avem ITotal = IR + IF + IMR = 3,17 kg⋅m2 și L = Iω = 3,17 kg⋅m2(0,1π rad/s) = 0,32π kg⋅m2/s. Acum vectorul moment unghiular este direcționat în pagină în direcția −kˆ, prin regula din dreapta, deoarece brațul robotului se rotește acum în sensul acelor de ceasornic. c. Găsim cuplul atunci când brațul nu are roca luând derivata momentului unghiular folosind ecuația 11.8 dL⃗/dt = ∑τ⃗ . Dar, deoarece L = Iω și înțelegând că direcția momentului unghiular și a vectorilor cuplului sunt de-a lungul axei de rotație, putem suprima notația vectorială și găsim dL/dt = d(Iω)/dt = I dω/dt = Iα = ∑τ, care este a doua lege a lui Newton pentru rotație. Deoarece α = 0.1π rad/s/0.1s = π rad/s2, putem calcula cuplul net: ∑τ = Iα = 1,67 kg⋅m2(π rad/s2) = 1,67π N⋅m. Semnificație Momentul unghiular din (a) este mai mic decât cel din (b) datorită faptului că momentul de inerție din (b) este mai mare decât (a), în timp ce viteza unghiulară este aceeași. |
| EXERCIȚIUL 11.3
Care are un moment unghiular mai mare: o sferă solidă de masă m care se rotește la o frecvență unghiulară constantă ω0 în jurul axei z, sau un cilindru solid de aceeași masă și viteză de rotație în jurul axei z? |
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2024 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2
Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1
O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.
Mecanica fenomenologică
O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.
Lasă un răspuns