Variabile de mișcare unghiulare vs. liniare

Dacă comparăm definițiile rotaționale cu definițiile variabilelor cinematice liniare, constatăm că există o mapare a variabilelor liniare la cele rotaționale. Poziția liniară, viteza și accelerația au omologul lor de rotație, așa cum putem vedea când le scriem una lângă alta:

	Linear	Rotațional
Poziția	x	θ
Viteza	v=dx/dt	ω=dθ/dt
Accelerația	a=dv/dt	α=dω/dt

Să comparăm individual variabilele liniare și rotaționale. Variabila liniară de poziție are unități fizice de metri, în timp ce variabila de poziție unghiulară are unități adimensionale de radiani, așa cum se poate vedea din definiția lui θ = s/r, care este raportul dintre două lungimi. Viteza liniară are unități de m/s, iar omologul său, viteza unghiulară, are unități de rad/s. În Variabilele de rotație, am văzut în cazul mișcării circulare că viteza liniară tangențială a unei particule pe o rază r față de axa de rotație este legată de viteza unghiulară prin relația v_t = rω. Acest lucru se poate aplica și punctelor de pe un corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe. Aici luăm în considerare doar mișcarea circulară. În mișcarea circulară, atât uniformă, cât și neuniformă, există o accelerație centripetă (Mișcarea în două și trei dimensiuni). Vectorul de accelerație centripetă este îndreptat spre interior de la particula care execută mișcare circulară spre axa de rotație. Derivarea mărimii accelerației centripete este dată în Mișcarea în două și trei dimensiuni. Din această derivare, s-a constatat că mărimea accelerației centripete este

(10.14) a_c = v_t²/r,

unde r este raza cercului.

Astfel, în mișcare circulară uniformă când viteza unghiulară este constantă și accelerația unghiulară este zero, avem o accelerație liniară, adică accelerație centripetă, deoarece viteza tangențială din ecuația 10.14 este constantă. Dacă este prezentă o mișcare circulară neuniformă, sistemul de rotație are o accelerație unghiulară și avem atât o accelerație centripetă liniară care se schimbă (pentru că v_t se schimbă), cât și o accelerație tangenţială liniară. Aceste relații sunt prezentate în Figura 10.14, unde prezentăm accelerațiile centripete și tangenţiale pentru mișcarea circulară uniformă și neuniformă.

Figura 10.14 (a) Mișcare circulară uniformă: Accelerația centripetă a_c are vectorul său spre interior, spre axa de rotație. Nu există accelerație tangențială. (b) Mișcare circulară neuniformă: o accelerație unghiulară produce o accelerație centripetă spre interior care se schimbă în mărime, plus o accelerație tangenţială a_t.

Accelerația centripetă se datorează schimbării direcției vitezei tangențiale, în timp ce accelerația tangențială se datorează oricărei modificări a mărimii vitezei tangențiale. Vectorii de accelerație tangențial și centripet a⃗_t și a⃗_c sunt întotdeauna perpendiculari unul pe celălalt, așa cum se vede în figura 10.14. Pentru a completa această descriere, putem atribui un vector de accelerație liniară totală unui punct de pe un corp rigid rotativ sau unei particule care execută mișcare circulară la o rază r de la o axă fixă. Vectorul de accelerație liniară totală a⃗ este suma vectorială a accelerațiilor centripete și tangenţiale,

(10.15) a⃗ = a⃗_c + a⃗_t.

Vectorul de accelerație liniară totală în cazul mișcării circulare neuniforme punctează la un unghi între vectorii de accelerație centripetă și tangențială, așa cum se arată în Figura 10.15. Deoarece a⃗_c ⊥ a⃗_t, mărimea accelerației liniare totale este

|a⃗| = √(a_c² + a_t²).

Rețineți că dacă accelerația unghiulară este zero, accelerația liniară totală este egală cu accelerația centripetă.

Note that if the angular acceleration is zero, the total linear acceleration is equal to the centripetal acceleration.

Figura 10.15 O particulă execută mișcare circulară și are o accelerație unghiulară. Accelerația liniară totală a particulei este suma vectorială a vectorilor de accelerație centripetă și de accelerație tangențială. Vectorul de accelerație liniară totală se află la un unghi între accelerația centripetă și cea tangențială.