Home » Articole » Articole » Știință » Fizica » Mecanica » Matematica undelor – Pulsuri

Matematica undelor – Pulsuri

Un puls poate fi descris ca undă constând dintr-o singură perturbare care se deplasează prin mediu cu o amplitudine constantă. Pulsul se deplasează ca un model care își menține forma pe măsură ce se propagă cu o viteză constantă a undei. Deoarece viteza undei este constantă, distanța pe care pulsul se deplasează într-un timp Δt este egală cu Δx = vΔt (Figura 16.8).

PulsulFigura 16.8 Pulsul la momentul t = 0 este centrat pe x = 0 cu amplitudinea A. Pulsul se deplasează ca un model cu o formă constantă, cu o valoare maximă constantă A. Viteza este constantă și pulsul se deplasează pe o distanță Δx = vΔt într-un timp Δt. Distanța parcursă este măsurată cu orice punct convenabil al pulsului. În această figură, este folosită creasta.

Modelarea unei unde sinusoidale unidimensionale folosind o funcție de undă

Să considerăm o coardă menținută la o tensiune constantă FT unde un capăt este fix și capătul liber este oscilat între y = +A și y = −A de un dispozitiv mecanic la o frecvență constantă. Figura 16.9 prezintă instantanee ale undei la un interval de o optime de perioadă, începând după o perioadă (t = T).

Instantanee ale unei unde transversaleFigura 16.9 Instantanee ale unei unde transversale care se deplasează printr-o coardă sub tensiune, începând cu timpul t = T și luate la intervale de 1/8 T. Punctele colorate sunt folosite pentru a evidenția punctele de pe coardă. Punctele care se află la o lungime de undă în direcția x sunt evidențiate cu puncte de aceeași culoare.

Observați că fiecare punct de selectare de pe coardă (marcat prin puncte colorate) oscilează în sus și în jos în mișcare armonică simplă, între y = +A și y = −A, cu o perioadă T. Unda de pe coardă este sinusoidală și se translatează în direcția x pozitivă pe măsură ce trece timpul.

În acest moment, este util să ne amintim din studiul tău algebrei că, dacă f(x) este o funcție, atunci f(x − d) este aceeași funcție translatată în direcția x pozitivă cu o distanță d. Funcția f(x + d) este aceeași funcție translatată în direcția x negativă cu o distanță d. Vrem să definim o funcție de undă care să dea poziția y a fiecărui segment al corzii pentru fiecare poziție x de-a lungul corzii pentru fiecare timp t.

Privind primul instantaneu din Figura 16.9, poziția y a corzii între x = 0 și x = λ poate fi modelată ca o funcție sinus. Această undă se propagă pe coardă cu o lungime de undă într-o perioadă, așa cum se vede în ultimul instantaneu. Prin urmare, unda se mișcă cu o viteză constantă a undei de v = λ/T.

Reamintim că o funcție sinus este o funcție a unghiului θ, oscilând între +1 și −1 și repetându-se la fiecare 2π radiani (Figura 16.10). Cu toate acestea, poziția y a mediului, sau funcția de undă, oscilează între +A și -A și se repetă pentru fiecare lungime de undă λ.

O funcție sinusoidalăFigura 16.10 O funcție sinusoidală oscilează între +1 și -1 la fiecare 2π radiani.

Pentru a construi modelul nostru al undei folosind o funcție periodică, luați în considerare raportul dintre unghi și poziție,

θ/x=2π/λ,

θ=2π/λ·x.

Folosind θ=2π/λ·x și înmulțind funcția sinus cu amplitudinea A, putem modela acum poziția y a șirului ca funcție de poziția x:

y(x) = Asin(2π/λ·x).

Unda de pe coardă se deplasează în direcția x pozitivă cu o viteză v constantă și se deplasează pe o distanță vt într-un timp t. Funcția de undă poate fi acum definită prin

y(x,t) = Asin(2π/λ·(x−vt)).

Este adesea convenabil să rescrieți această funcție de undă într-o formă mai compactă. Înmulțirea cu raportul 2π/λ duce la ecuația

y(x,t) = Asin(2π/λ·x − 2π/λ·vt).

Valoarea 2π/λ este definită ca număr de undă. Simbolul pentru numărul de undă este k și are unități de metri inverse, m−1:

(16.2)  k ≡ 2π/λ

 

Reamintim din Oscilații că frecvența unghiulară este definită ca ω ≡ 2π/T. Al doilea termen al funcției de undă devine

2π/λ·vt = 2π/λ·(λ/T)t = 2π/T·t = ωt.

Funcția de undă pentru o undă armonică simplă pe o coardă se reduce la

y(x,t) = Asin(kx ∓ ωt),

unde A este amplitudinea, k=2π/λ este numărul de undă, ω=2π/T este frecvența unghiulară, semnul minus este pentru undele care se mișcă în direcția x pozitivă și semnul plus este pentru undele care se deplasează în direcția x negativă. Viteza undei este egală cu

(16.3)  v = λ/T = λ/T· (2π/2π) = ω/k.

 

Reveniți înapoi la discuția noastră despre o masă pe un arc, când poziția masei a fost modelată ca x(t) = Acos(ωt+ϕ). Unghiul ϕ este o schimbare de fază, adăugată pentru a permite faptul că masa poate avea alte condiții inițiale decât x = +A și v = 0. Din motive similare, faza inițială este adăugată funcției de undă. Funcția de undă care modelează o undă sinusoidală, permițând o defazare inițială ϕ, este

(16.4)  y(x,t) = Asin(kx ∓ ωt + ϕ)

 

Valoarea

(16.5)  (kx ∓ ωt + ϕ)

 

este cunoscută ca faza undei, unde ϕ este faza inițială a funcției de undă. Dacă termenul temporal ωt este negativ sau pozitiv depinde de direcția undei. Mai întâi luați în considerare semnul minus pentru o undă cu o fază inițială egală cu zero (ϕ = 0). Faza undei ar fi (kx − ωt). Luați în considerare urmărirea unui punct de pe o undă, cum ar fi o creastă. O creastă va apărea când sin(kx − ωt) = 1,00, adică atunci când kx – ωt = nπ + π/2, pentru orice valoare integrală a lui n. De exemplu, o creastă anume apare la kx – ωt = π/2. Pe măsură ce unda se mișcă, timpul crește și x trebuie să crească, de asemenea, pentru a menține faza egală cu π/2. Prin urmare, semnul minus este pentru o undă care se mișcă în direcția x pozitivă. Folosind semnul plus, kx + ωt = π/2. Pe măsură ce timpul crește, x trebuie să scadă pentru a menține faza egală cu π/2. Semnul plus este folosit pentru undele care se deplasează în direcția negativă x. În rezumat, y(x,t) = Asin(kx – ωt + ϕ) modelează o undă care se mișcă în direcția pozitivă x și y(x,t) = Asin(kx + ωt + ϕ) modelează o undă care se mișcă în direcția x negativă.

Ecuația 16.4 este cunoscută ca o funcție de undă armonică simplă. O funcție de undă este orice funcție astfel încât f(x,t) = f(x − vt). Mai târziu în acest capitol, vom vedea că este o soluție a ecuației de undă liniară. Rețineți că y(x,t) = Acos(kx + ωt + ϕ’) funcționează la fel de bine deoarece corespunde unei defazări diferite ϕ’ = ϕ – π/2.

Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), https://openstax.org/books/university-physics-volume-1/pages/1-introductionacces gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu

© 2022 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1

Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 2
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 2

Descoperă universul fizicii printr-o perspectivă fenomenologică captivantă!

Nu a fost votat 47.84 lei167.60 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.
Fizica fenomenologică - Compendiu - Volumul 1
Fizica fenomenologică – Compendiu – Volumul 1

O explorare cuprinzătoare a fizicii, combinând perspective teoretice cu fenomene din lumea reală.

Nu a fost votat 47.84 lei167.60 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.
Mecanica fenomenologică
Mecanica fenomenologică

O incursiune captivantă în lumea principiilor fundamentale care stau la baza mișcării și interacțiunilor mecanice.

Nu a fost votat 23.89 lei Selectează opțiunile Acest produs are mai multe variații. Opțiunile pot fi alese în pagina produsului.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *