Oscilații în jurul poziției de echilibru

Tocmai am considerat energia oscilatorului armonic simplu (OAS) ca o funcție a timpului. O altă perspectivă interesantă a oscilatorului armonic simplu este de a considera energia în funcție de poziție. Figura 15.13 prezintă un grafic al energiei în funcție de poziție a unui sistem supus OAS.

Figura 15.13 Un grafic al energiei cinetice (roșu), al energiei potențiale (albastru) și al energiei totale (verde) a unui oscilator armonic simplu. Forța este egală cu F = −dU/dx. Poziția de echilibru este prezentată ca un punct negru și este punctul în care forța este egală cu zero. Forța este pozitivă când x < 0, negativă când x > 0 și egală cu zero când x = 0.

Curba energiei potențiale din figura 15.13 seamănă cu un bol. Când o bilă este plasată într-un bol, aceasta se stabilește în poziția de echilibru în punctul cel mai de jos al bolului (x = 0). Acest lucru se întâmplă deoarece o forță de restabilire indică spre punctul de echilibru. Acest punct de echilibru este uneori denumit punct fix. Când bila este deranjată într-o poziție diferită (x = +A), bila oscilează în jurul poziției de echilibru. Privind înapoi la graficul energiei potențiale, forța poate fi găsită analizând panta graficului energiei potențiale (F = −dU/dx). Deoarece forța de pe fiecare parte a punctului fix este îndreptată înapoi spre punctul de echilibru, punctul de echilibru se numește punct de echilibru stabil. Punctele x = A și x = −A se numesc puncte de cotitură. (Consultați Energia potențială și conservarea energiei.)

Stabilitatea este un concept important. Dacă un punct de echilibru este stabil, o ușoară perturbare a unui obiect care se află inițial la punctul de echilibru stabil va determina obiectul să oscileze în jurul acelui punct. Punctul de echilibru stabil apare deoarece forța de pe ambele părți este îndreptată spre el. Pentru un punct de echilibru instabil, dacă obiectul este deranjat ușor, acesta nu revine la punctul de echilibru.

Luați în considerare exemplul cu bila din bol. Dacă vasul este cu partea dreaptă în sus, bila, dacă este ușor deranjată, va oscila în jurul punctului de echilibru stabil. Dacă vasul este răsturnat, bila poate fi echilibrată deasupra, în punctul de echilibru în care forța netă este zero. Cu toate acestea, dacă bila este deranjată ușor, aceasta nu se va întoarce la punctul de echilibru, ci se va rostogoli de pe bol. Motivul este că forța de pe ambele părți ale punctului de echilibru este îndreptată departe de acel punct. Acest punct este un punct de echilibru instabil.

Figura 15.14 prezintă trei condiții. Primul este un punct de echilibru stabil (a), al doilea este un punct de echilibru instabil (b), iar ultimul este, de asemenea, un punct de echilibru instabil (c), deoarece forța de pe o singură parte este îndreptată către punctul de echilibru.

Figura 15.14 Exemple de puncte de echilibru. (a) Punct de echilibru stabil; (b) punct de echilibru instabil; (c) punct de echilibru instabil (uneori denumit punct de echilibru pe jumătate stabil).

Procesul de a determina dacă un punct de echilibru este stabil sau instabil poate fi formalizat. Luați în considerare curbele de energie potențială prezentate în Figura 15.15. Forța poate fi găsită analizând panta graficului. Forța este F = −dU/dx. În (a), punctul fix este la x = 0,00 m. Când x < 0,00 m, forța este pozitivă. Când x > 0,00 m, forța este negativă. Acesta este un punct stabil. În (b), punctul fix este la x = 0,00 m. Când x < 0,00 m, forța este negativă. Când x > 0,00 m, forța este de asemenea negativă. Acesta este un punct instabil.

Figura 15.15 Două exemple de funcție de energie potențială. Forța într-o poziție este egală cu negativul pantei graficului în acea poziție. (a) O funcție de energie potențială cu un punct de echilibru stabil. (b) O funcție de energie potențială cu un punct de echilibru instabil. Acest punct este uneori numit semistabil deoarece forța de pe o parte este îndreptată către punctul fix.

O aplicație practică a conceptului de puncte de echilibru stabil este forța dintre doi atomi neutri dintr-o moleculă. Dacă două molecule sunt în imediata apropiere, separate de câteva diametre atomice, ele pot experimenta o forță atractivă. Dacă moleculele se deplasează suficient de aproape astfel încât învelișurile de electroni ale celorlalți electroni să se suprapună, forța dintre molecule devine respingătoare. Forța de atracție dintre cei doi atomi poate determina atomii să formeze o moleculă. Forța dintre cele două molecule nu este o forță liniară și nu poate fi modelată pur și simplu ca două mase separate de un arc, dar atomii moleculei pot oscila în jurul unui punct de echilibru atunci când sunt deplasați o distanță mică de la poziția de echilibru. Atomii oscilează datorită forței de atracție și forței de respingere dintre cei doi atomi.

Luați în considerare un exemplu de interacțiune dintre doi atomi cunoscută sub numele de interacțiunea van Der Waals. Este dincolo de scopul acestui capitol să discutăm în profunzime interacțiunile celor doi atomi, dar oscilațiile atomilor pot fi examinate luând în considerare un exemplu de model al energiei potențiale a sistemului. O sugestie pentru a modela energia potențială a acestei molecule este cu potențialul Lennard-Jones 6-12:

U(x) = 4ε[(σ/x)¹² − (σ/x)⁶].

Un grafic al acestei funcții este prezentat în Figura 15.16. Cei doi parametri ε și σ se găsesc experimental.

Figura 15.16 Funcția de energie potențială Lennard-Jones pentru un sistem de doi atomi neutri. Dacă energia este sub o anumită energie maximă, sistemul oscilează în apropierea poziției de echilibru dintre cele două puncte de cotitură.

Din grafic, puteți vedea că există un puț de energie potențială, care are unele asemănări cu puțul de energie potențială a funcției de energie potențială a oscilatorului armonic simplu discutat în Figura 15.13. Potențialul Lennard-Jones are un punct de echilibru stabil în care energia potențială este minimă, iar forța de pe ambele părți ale punctului de echilibru este îndreptată către punctul de echilibru. Rețineți că, spre deosebire de oscilatorul armonic simplu, puțul de potențial al potențialului Lennard-Jones nu este simetric. Acest lucru se datorează faptului că forța dintre atomi nu este o forță a legii lui Hooke și nu este liniară. Atomii mai pot oscila în jurul poziției de echilibru x_min deoarece atunci când x < x_min, forța este pozitivă; când x > x_min, forța este negativă. Observați că pe măsură ce x se apropie de zero, panta este destul de abruptă și negativă, ceea ce înseamnă că forța este mare și pozitivă. Acest lucru sugerează că este nevoie de o forță mare pentru a încerca să împingă atomii apropiați. Pe măsură ce x devine din ce în ce mai mare, panta devine mai puțin abruptă și forța este mai mică și negativă. Acest lucru sugerează că dacă i se oferă o energie suficient de mare, atomii pot fi separați.

Dacă sunteți interesat de această interacțiune, găsiți forța dintre molecule luând derivata funcției de energie potențială. Veți vedea imediat că forța nu seamănă cu forța lui Hooke (F = −kx), dar dacă sunteți familiarizat cu teorema binomială:

(1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)/2! x² + n(n−1)(n−2)/3! x³ + ⋯,

forța poate fi aproximată de forța legii lui Hooke.