Teorema variației de impuls în mecanică

O variație de impuls aplicată unui sistem modifică impulsul sistemului și acea modificare a impulsului este exact egală cu variația de impuls care a fost aplicată:

(9.7)    J⃗ = Δp⃗ .

Teorema variație de impuls-impuls

1. Exprimați variația de impuls ca forța înmulțită cu intervalul de timp relevant.

2. Exprimați variația de impuls ca schimbare de impuls, de obicei mΔv.

3. Echivalați acestea și rezolvați pentru cantitatea dorită.

Deplasarea lui Enterprise

Figura 9.11 Nava fictivă Enterprise din aventurile Star Trek a funcționat cu așa-numitele „motoare de variație de impuls” care combinau materia cu antimateria pentru a produce energie.

Când căpitanul Picard ordonă „Scoate-ne”, nava spațială Enterprise (Figura 9.11) pornește din repaus până la o viteză finală v_f = 7,5 × 10⁷ m/s. Presupunând că această manevră este finalizată în 60 de secunde, ce forță medie au aplicat motoarele cu variație de impuls navei?

Strategie

Ni se cere o forță; știm vitezele inițiale și finale (și, prin urmare, schimbarea vitezei) și știm intervalul de timp în care s-a întâmplat totul. În special, știm cât timp a acționat forța. Aceasta sugerează utilizarea relației variație de impuls-impuls. Pentru a folosi asta, totuși, avem nevoie de masa Enterprise. O căutare pe internet oferă cea mai bună estimare a masei Enterprise (în filmul din 2009) ca 2 × 10⁹ kg.

Soluție

Deoarece această problemă implică o singură direcție (adică direcția forței aplicate de motoare), avem nevoie doar de forma scalară a teoremei variație de impuls- impuls Ecuația 9.7, care este

Δp = J

cu

Δp = mΔv

și

J = FΔt.

Echivalarea acestor expresii dă

FΔt = mΔv.

Rezolvarea mărimii forței și introducerea valorilor date duce la

F = mΔv/Δt = (2 × 10⁹ kg)(7,5 × 10⁷ m/s)/60 s = 2,5 × 10¹⁵ N.

Semnificație

Folosind a doua lege a lui Newton, această forță determină o accelerație de 1,25 × 10⁶ m/s². Aceasta este de 130.000 de ori gravitația, ceea ce este inimaginabil de mare. Este aproape de la sine înțeles că o astfel de forță ar ucide instantaneu pe toți cei aflați la bord, precum și ar distruge orice echipament. Din fericire, Enterprise are „amortizoare inerțiale”. Este lăsat ca un exercițiu imaginației cititorului să determine cum funcționează acestea.

U.S. Air Force folosește „10gs” (o accelerație egală cu 10 × 9,8 m/s²) ca accelerație maximă pe care o poate suporta un om (dar doar pentru câteva secunde) și să supraviețuiască. Cât timp trebuie să petreacă Enterprise accelerând dacă oamenii de la bord vor experimenta o medie de cel mult 10 g de accelerație? (Să presupunem că amortizoarele inerțiale sunt offline.)

Căderea unui iPhone

Apple și-a lansat iPhone 6 Plus în noiembrie 2014. Potrivit multor rapoarte, inițial trebuia să aibă un ecran din safir, dar acesta a fost schimbat în ultimul moment pentru un ecran din sticlă călită. Se pare că acest lucru s-a întâmplat pentru că ecranul de safir s-a crăpat când telefonul a fost scăpat. Ce forță a experimentat iPhone 6 Plus ca urmare a căderii?

Strategie

Forța pe care o experimentează telefonul se datorează impulsului aplicat acestuia de podea atunci când telefonul se ciocnește de podea. Strategia noastră este atunci să folosim relația variație de impuls-impuls. Calculăm variația de impuls, estimăm timpul de impact și îl folosim pentru a calcula forța.

Trebuie să facem câteva estimări rezonabile, precum și să găsim date tehnice ale telefonului însuși. În primul rând, să presupunem că telefonul este cel mai adesea scăpat de la aproximativ înălțimea pieptului la o persoană de înălțime medie. În al doilea rând, presupunem că este aruncat din repaus, adică cu o viteză verticală inițială zero. În cele din urmă, presupunem că telefonul sare foarte puțin – se presupune că înălțimea săriturii sale este neglijabilă.

Soluție

Definim în sus direcția +y. O înălțime tipică este de aproximativ h = 1,5 m și, după cum s-a menționat, v⃗_i = (0 m/s)iˆ. Forța medie asupra telefonului este legată de variația de impuls pe care podeaua o aplică în timpul coliziunii:

F⃗med = J⃗ Δt.

Impulsul J⃗ este egal cu variația de impuls,

J⃗ = Δp⃗

deci

F⃗med = Δp⃗ Δt.

În continuare, variația de impuls este

Δp⃗ = mΔv⃗ .

Trebuie să fim atenți cu vitezele aici; aceasta este modificarea vitezei datorată ciocnirii cu podeaua. Dar telefonul are și o viteză inițială de cădere [v⃗_i = (0 m/s)jˆ], așa că ne etichetăm vitezele. Să considerăm:

·         v⃗_i = viteza inițială cu care a fost scăpat telefonul (zero, în acest exemplu)

·         v⃗₁ = viteza pe care a avut-o telefonul chiar înainte de a atinge podeaua

·         v⃗₂ = viteza finală a telefonului ca urmare a lovirii cu podeaua

Figura 9.12 arată vitezele în fiecare dintre aceste puncte din traiectoria telefonului.

Figura 9.12 (a) Viteza inițială a telefonului este zero, imediat după ce persoana îl scapă. (b) Chiar înainte ca telefonul să atingă podeaua, viteza sa este v⃗₁, care este necunoscută în acest moment, cu excepția direcției sale, care este în jos (−jˆ). (c) După ce a sărit de pe podea, telefonul are o viteză v⃗₂, care este, de asemenea, necunoscută, cu excepția direcției sale, care este în sus (+jˆ).

Cu aceste definiții, variația de impuls a telefonului în timpul coliziunii cu podeaua este

mΔv⃗ = m(v⃗₂ − v⃗₁).

Deoarece presupunem că telefonul nu sare deloc atunci când lovește podeaua (sau cel puțin, înălțimea de respingere este neglijabilă), atunci v⃗₂ este zero, deci

mΔv⃗ = m[0 − (−v₁jˆ)]

mΔv⃗ = +mv₁jˆ.

Putem obține viteza telefonului chiar înainte de a atinge podeaua utilizând fie cinematica, fie conservarea energiei. Vom folosi conservarea energiei aici; ar trebui să repetați această parte a problemei folosind cinematica și să demonstrați că obțineți același răspuns.

Mai întâi, definiți zero al energiei potențiale care urmează să fie situat la podea. Conservarea energiei ne oferă atunci:

E_i = E₁

K_i + U = K₁ + U₁

½ mv²_i + mgh_cădere = ½ mv²₁ + mgh_podea.

Definind h_podea = 0 și folosind v⃗_i = (0 m/s)jˆ obținem

½ mv²₁ = mgh_cădere

v₁ = ±√(2gh_cădere).

Deoarece v₁ este o mărime vectorială, trebuie să fie pozitivă. Astfel, mΔv = mv₁ = m√(2gh_cădere). Inserarea acestui rezultat în expresia pentru forță dă

F⃗ = Δp⃗/Δt = mΔv⃗/Δt = +mv₁jˆ/Δt = m√(2gh)/Δt jˆ.

În cele din urmă, trebuie să estimăm timpul de coliziune. O modalitate obișnuită de a estima timpul de coliziune este de a calcula cât de mult i-ar trebui obiectului să parcurgă propria lungime. Telefonul se mișcă cu 5,4 m/s chiar înainte de a atinge podeaua și are o lungime de 0,14 m, ceea ce oferă un timp estimat de coliziune de 0,026 s. Inserând numerele date, obținem

F⃗ = ((0,172 kg) √(2(9,8 m/s²)(1,5m))/0,026 s) jˆ = (36 N)jˆ.

Semnificație

iPhone-ul în sine are greutatea de doar (0,172 kg) (9,81 m/s²) = 1,68 N; forța pe care o aplică podeaua este deci de peste 20 de ori greutatea sa.

Dacă am fi presupus că telefonul a sărit la impact? Ar fi crescut acest lucru forța pe iPhone, ar fi redus-o sau nu ar fi făcut nicio diferență?