Toate undele transportă energie, iar uneori aceasta poate fi observată direct. Cutremurele pot zgudui orașe întregi punându-le chiar la pământ, efectuând munca a mii de bile de distrugere (Figura 16.15). Sunetele puternice pot pulveriza celulele nervoase din urechea internă, provocând pierderea permanentă a auzului. Ultrasunetele sunt folosite pentru tratamentul la căldură profundă a întinderilor musculare. Un fascicul laser poate arde o tumoare malignă. Undele de apă macină plajele.
Figura 16.15 Efectul distructiv al unui cutremur este o dovadă observabilă a energiei transportate de aceste unde. Evaluarea cutremurelor la scara Richter este o scară logaritmică legată atât de amplitudinea lor, cât și de energia pe care o transportă.
În această secțiune, examinăm expresia cantitativă a energiei în unde. Acest lucru va fi de o importanță fundamentală în discuțiile ulterioare despre unde, de la sunet la lumină și la mecanica cuantică.
Energia undelor
Cantitatea de energie dintr-o undă este legată de amplitudinea și frecvența acesteia. Cutremurele de mare amplitudine produc deplasări mari ale solului. Sunetele puternice au amplitudini de înaltă presiune și provin din vibrații de la surse de amplitudine mai mare decât sunetele slabe. Talazurile mari ale oceanelor răscolesc țărmul mai mult decât cele mici. Luați în considerare exemplul pescărușului și al undei de apă de mai devreme în capitol (Figura 16.3). Lucrul mecanic al undei acționează asupra pescărușului când acesta este ridicat, schimbându-i energia potențială. Cu cât amplitudinea este mai mare, cu atât pescărușul este ridicat de val mai sus și cu atât este mai mare modificarea energiei potențiale.
Energia undei depinde atât de amplitudine, cât și de frecvență. Dacă energia fiecărei lungimi de undă este considerată a fi un pachet discret de energie, o undă de înaltă frecvență va furniza mai multe dintre aceste pachete pe unitate de timp decât o undă de joasă frecvență. Vom vedea că rata medie de transfer de energie în undele mecanice este proporțională atât cu pătratul amplitudinii, cât și cu pătratul frecvenței. Dacă două unde mecanice au amplitudini egale, dar o undă are o frecvență egală cu dublul frecvenței celeilalte, unda cu frecvență mai mare va avea o rată de transfer de energie cu un factor de patru ori mai mare decât rata de transfer de energie a undei de frecvență joasă. Trebuie remarcat faptul că, deși rata de transfer a energiei este proporțională atât cu pătratul amplitudinii, cât și cu pătratul frecvenței în undele mecanice, rata transferului de energie în undele electromagnetice este proporțională cu pătratul amplitudinii, dar independentă de frecvență.
Puterea undelor
Luați în considerare o undă sinusoidală pe o coardă care este produsă de un vibrator cu coarde, așa cum se arată în Figura 16.16. Vibratorul cu corzi este un dispozitiv care vibrează o tijă în sus și în jos. O coardă cu densitate uniformă de masă liniară este atașată de tijă, iar tija oscilează coarda, producând o undă sinusoidală. Tija lucrează asupra coardei, producând energie care se propagă de-a lungul coardei. Luați în considerare un element de masă al coardei cu o masă Δm, așa cum se vede în Figura 16.16. Pe măsură ce energia se propagă de-a lungul coardei, fiecare element de masă al coardei este condus în sus și în jos la aceeași frecvență cu unda. Fiecare element de masă al coardei poate fi modelat ca un simplu oscilator armonic. Deoarece coarda are o densitate liniară constantă μ = Δm/Δx, fiecare element de masă al coardei are masa Δm = μΔx.
Figura 16.16 Un vibrator cu coarde este un dispozitiv care vibrează o tijă. O coardă este atașată de tijă, iar tija lucrează asupra coardei, împingând coarda în sus și în jos. Aceasta produce o undă sinusoidală în coardă, care se mișcă cu o viteză a undei v. Viteza undei depinde de tensiunea din coardă și de densitatea de masă liniară a coardei. O secțiune a coardei cu masa Δm oscilează la aceeași frecvență cu unda.
Energia mecanică totală a undei este suma energiei sale cinetice și a energiei potențiale. Energia cinetică K = ½ mv2 a fiecărui element de masă al coardei de lungime Δx este ΔK = ½ (Δm)v2y, deoarece elementul de masă oscilează perpendicular pe direcția mișcării undei. Folosind densitatea de masă liniară constantă, energia cinetică a fiecărui element de masă al coardei cu lungimea Δx este
ΔK = ½ (μΔx)v2y.
O ecuație diferențială poate fi formată lăsând lungimea elementului de masă al coardei să se apropie de zero,
dK = limΔx→0 ½ (μΔx)v2y = ½ (μdx)v2y.
Deoarece unda este o undă sinusoidală cu o frecvență unghiulară ω, poziția fiecărui element de masă poate fi modelată ca y(x,t) = Asin(kx − ωt). Fiecare element de masă al coardei oscilează cu o viteză vy = ∂y(x,t)/∂t = −Aωcos(kx − ωt). Energia cinetică a fiecărui element de masă al coardei devine
dK = ½ (μdx)(−Aωcos(kx − ωt))2,
= ½ (μdx)A2ω2cos2(kx−ωt).
Unda poate fi foarte lungă, constând din mai multe lungimi de undă. Pentru a standardiza energia, luați în considerare energia cinetică asociată cu o lungime de undă a undei. Această energie cinetică poate fi integrată pe lungimea de undă pentru a găsi energia asociată cu fiecare lungime de undă a undei:
dK = ½ (μdx)A2ω2cos2(kx),
∫0KλdK = ∫0λ ½ μA2ω2cos2(kx)dx = ½ μA2ω2∫0λcos2(kx)dx,
Kλ = ½ μA2ω2[1/2 x + 1/4k sin(2kx)]0λ = ½ μA2ω2[1/2 λ + 1/4k sin(2kλ) – 1/4k sin(0)],
Kλ = ¼ μA2ω2λ.
Există și energie potențială asociată cu unda. La fel ca masa care oscilează pe un arc, există o forță conservatoare de restabilire care, atunci când elementul de masă este deplasat din poziția de echilibru, conduce elementul de masă înapoi în poziția de echilibru. Energia potențială a elementului de masă poate fi găsită luând în considerare forța de restabilire liniară a coardei. În Oscilații, am văzut că energia potențială stocată într-un arc cu o forță de restabilire liniară este egală cu U = ½ ksx2, unde poziția de echilibru este definit ca x = 0,00 m. Când o masă atașată de arc oscilează în mișcare armonică simplă, frecvența unghiulară este egală cu ω = √(ks/m). Deoarece fiecare element de masă oscilează în mișcare armonică simplă, constanta elastică este egală cu ks = Δmω2. Energia potențială a elementului de masă este egală cu
ΔU = ½ ksx2 = ½ Δmω2x2.
Rețineți că ks este constanta resortului și nu numărul de undă k = 2πλ. Această ecuație poate fi folosită pentru a găsi energia pe o lungime de undă. Integrând pe lungimea de undă, putem calcula energia potențială pe o lungime de undă:
dU = ½ ksx2 = ½ μω2x2dx,
Uλ = ½ μω2A2∫0λsin2(kx)dx = ¼ μA2ω2λ.
Energia potențială asociată cu o lungime de undă a undei este egală cu energia cinetică asociată cu o lungime de undă.
Energia totală asociată cu o lungime de undă este suma energiei potențiale și a energiei cinetice:
Eλ = Uλ + Kλ,
Eλ = ¼ μA2ω2λ + ¼ μA2ω2λ = ½ μA2ω2λ.
Puterea medie în timp a unei unde mecanice sinusoidale, care este rata medie de transfer de energie asociată cu o undă pe măsură ce trece de un punct, poate fi găsită luând energia totală asociată undei împărțită la timpul necesar pentru a transfera energie. Dacă viteza undei sinusoidale este constantă, timpul de trecere a unei lungimi de undă pe lângă un punct este egal cu perioada undei, care este de asemenea constantă. Pentru o undă mecanică sinusoidală, puterea medie în timp este, prin urmare, energia asociată cu o lungime de undă împărțită la perioada undei. Lungimea de undă a undei împărțită la perioadă este egală cu viteza undei,
(16.10) Pmed = Eλ/T = ½ μA2ω2 λ/T = ½ μA2ω2v.
Rețineți că această ecuație pentru puterea medie în timp a unei unde mecanice sinusoidale arată că puterea este proporțională cu pătratul amplitudinii undei și cu pătratul frecvenței unghiulare a undei. Reamintim că frecvența unghiulară este egală cu ω = 2πf, deci puterea unei unde mecanice este egală cu pătratul amplitudinii și pătratul frecvenței undei.
EXEMPLUL 16.6
Alimentare furnizată de un vibrator cu corzi Luați în considerare o sfoară de doi metri lungime cu o masă de 70,00 g atașată la un vibrator cu coarde, așa cum este ilustrat în Figura 16.16. Tensiunea din coardă este de 90,0 N. Când vibratorul cu coarde este pornit, acesta oscilează cu o frecvență de 60 Hz și produce pe coardă o undă sinusoidală cu o amplitudine de 4,00 cm și o viteză constantă a undei. Care este puterea medie în timp furnizată undei de vibratorul cu coarde? Strategie Puterea furnizată undei ar trebui să fie egală cu puterea medie în timp a undei de pe coardă. Cunoaștem masa coardei (ms), lungimea coardei (Ls) și tensiunea (FT) din coardă. Viteza undei pe coardă poate fi derivată din densitatea liniară a masei și din tensiune. Coarda oscilează cu aceeași frecvență ca și vibratorul cu coarde, din care putem găsi frecvența unghiulară. Soluție 1. Începeți cu ecuația puterii medii în timp a unei unde sinusoidale pe o coardă: P = ½ μA2ω2v. Amplitudinea este dată, așa că trebuie să calculăm densitatea de masă liniară a coardei, frecvența unghiulară a undei pe coardă și viteza undei pe coardă. 2. Trebuie să calculăm densitatea liniară pentru a găsi viteza undei: μ = ms/Ls = 0,070 kg/2,00 m = 0,035 kg/m. 3. Viteza undei poate fi găsită folosind densitatea liniară a masei și tensiunea coardei: v = √(FT/μ) = √(90,00 N/0,035 kg/m) = 50,71 m/s. 4. Frecvența unghiulară poate fi găsită din frecvența: ω = 2πf = 2π(60s−1) = 376,80 s−1. 5. Calculați puterea medie în timp: P = ½ μA2ω2v = ½ (0,035 kg/m)(0,040 m)2(376,80 s−1)2(50,71 m/s) = 201,59 W. Semnificație Puterea medie în timp a unei unde sinusoidale este proporțională cu pătratul amplitudinii undei și cu pătratul frecvenței unghiulare a undei. Acest lucru este valabil pentru majoritatea undelor mecanice. Dacă fie frecvența unghiulară, fie amplitudinea undei ar fi dublate, puterea ar crește cu un factor de patru. Puterea medie în timp a undei de pe o coardă este, de asemenea, proporțională cu viteza undei sinusoidale de pe coardă. Dacă viteza s-ar dubla, prin creșterea tensiunii cu un factor de patru, s-ar dubla și puterea. |
EXERCIȚIUL 16.6
Este puterea medie în timp a unei unde sinusoidale pe o coardă proporțională cu densitatea liniară a coardei? |
Ecuațiile pentru energia undei și puterea medie în timp au fost derivate pentru o undă sinusoidală pe o coardă. În general, energia unei unde mecanice și puterea sunt proporționale cu amplitudinea la pătrat și cu frecvența unghiulară la pătrat (și deci cu frecvența la pătrat).
O altă caracteristică importantă a undelor este intensitatea undelor. Undele pot fi, de asemenea, concentrate sau răspândite. Undele de la un cutremur, de exemplu, se răspândesc pe o zonă mai mare pe măsură ce se îndepărtează de o sursă, astfel încât fac mai puține daune cu cât se îndepărtează de sursă. Schimbarea zonei acoperite de unde are efecte importante. Toți acești factori pertinenți sunt incluși în definiția intensității (I) ca putere pe unitatea de suprafață:
(16.11) I = P/A,
unde P este puterea transportată de undă prin zona A. Definiția intensității este valabilă pentru orice energie în tranzit, inclusiv cea transportată de unde. Unitatea SI pentru intensitate este wați pe metru pătrat (W/m2). Multe unde sunt unde sferice care se deplasează dintr-o sursă ca o sferă. De exemplu, un difuzor de sunet montat pe un stâlp deasupra solului poate produce unde sonore care se îndepărtează de sursă ca o undă sferică. Undele sonore sunt discutate mai detaliat în capitolul următor, dar, în general, cu cât ești mai departe de difuzor, cu atât sunetul pe care îl auzi este mai puțin intens. Pe măsură ce o undă sferică iese dintr-o sursă, aria suprafeței undei crește pe măsură ce raza crește (A = 4πr2). Prin urmare, intensitatea pentru o undă sferică este
(16.12) I = P4πr2.
Dacă nu există forțe disipative, energia va rămâne constantă pe măsură ce unda sferică se îndepărtează de sursă, dar intensitatea va scădea pe măsură ce suprafața crește.
În cazul undei circulare bidimensionale, unda se mișcă în afară, mărind circumferința undei pe măsură ce raza cercului crește. Dacă aruncați o pietricică într-un iaz, ondulația de suprafață se mișcă precum o undă circulară. Pe măsură ce ondulația se îndepărtează de sursă, amplitudinea scade. Energia undei se răspândește în jurul unei circumferințe mai mari, iar intensitatea scade proporțional cu 1/r, care este aceeași și în cazul unei unde sferice, deoarece intensitatea este proporțională cu amplitudinea pătratului.
Sursa: Physics, University Physics (OpenStax), gratuit sub licență CC BY 4.0. Traducere și adaptare de Nicolae Sfetcu. © 2023 MultiMedia Publishing, Fizica, Volumul 1
Lasă un răspuns